Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Очевидно, зто кольцо коммутатипно и имеет +1 своим единичным элементом. П. 'Пола номы вещественного переменного с вещественными (иш 'не целыми) коэффициентами образуют коммутатнвное кольцо, имеющее своим единичным элементом постоянную 1 (см. главу 1Ч), Более общим образом, вещественные функции вещественного переменного образуют комиутатнвяое кольцо, имеющее постоянную 1 снонм единичным элементом., П!. В любой (аддитивно записываемой) комиутативной группе С можно определить структуру коммутативвого кольца, привяв за умножение заков (х, у) -~. О,который ассоцнативен, комиутативен и дистрибутивеи относительно сложения. Можно татке сказать, что зто умножение определено условием СС =-(0); кольца, удовлетворяющие этому условию, называются кольцами с нулееьсм аеадротоэц такое кольцо, если только оно не сводится к одному нулю, очевидно, не имеет единичного элемента.
1тг. Кольцо эндоморфизмов комлеутативн о й г р у п п ы. Пусть 6- аддитивно записываемая коммутативная группа. Множество 6О всех ее отображений в себя наделено двумя ассоциативными законами композиции: с одной стороны, законом (1, д) — >1+у (напомним, что Ь=1+ д есть отображение 6 в 6 такое, что Ь(х)=~(х)+д(х) для всех хр6), определяющим в 6О структуру коммутативной группы (з б, и' 5), и, с другой стороны, законом (1, д) — >/од, который мы будем обозначать здесь 1 д, Множество Ь' всех эндоморфизмов группы 6 есть подгруппа коымутативной группы 6; действительно, если 1 и Р— эндоморфизмы и Ь=1 — д, то Ь(х+ у) =/(х+ у) — е (х+ у) = = 1 (х) + 1 (у) — (д (х) + д (у)) = (/ (х) — д (х)) + (1 (у) — я (у)) = Ь (х) + + Ь(у), так что Ь вЂ” эпдоморфизы. Очевидно, прн этом Е устой шве относительно закона (1, д) — ьу у; наконец, закон, индуцируемый на Е этим последним законом, двояко дистрибутивен относительно закона (/, д)ь(+д; действительно, если гр=(у+ Ь).1, то ц(х) = АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гп.ь $8 = д (1(х)) + Й (1 (х)), так что «р = д.у+ Й.у; с другой стороны, если >р= 1 (у+ Ь), то >р(х) =/(л(х)+ Ь(х)) =1(д(х)) +1(Ь(х)) (поскольку 1 — эндоморфизм), и значит, >)>=7' у+1 Ь.
Таким образом, структура, индуцированная в Е рассмотренными двумя законами, есть структура коль>та; наделенное этой структурой, Е называется кольцом эндомору>измов группы 6, Кольцо эндоморфизмов коммутативной группы С всегда обладает единицей, а именно тождественным отображением С на себя; но оно, вообще говоря, не коммутативно (см.
упражнение 2). Кольца, определенные описанным способом, играют в алгебре важную роль (см. главы 11 и 1>П1). Заметим, что кольцо зидоморфизмов коммутативиой группы Х изоморфио кольцу Х рациональных целых чисел (1 2, и' 8). 2. Кольца е оззератаорамтз Опгкдклкнив 2. Кольцом с операторами называют .кножество А, наделенное структурой кольца и одним или несколькими внешними законами композиции, дистрибутивными относительно ааохсения в А и такими, ипо для любого иг них, если записывать его в виде (и, х) ьах, тождественно а (ху) = (ах) у = х (ау) . (7) Вкешяие законы композиции кольца с операторами А вместе с двумя внешними законами, получающимися путем раздвоевиа задаяиого в А умножения, определяют в А (вместе со сложением в качестве внутреннего закона) структуру хв.нмутатавнвй еруппы в операторами; условие (7) выражает, что внешние аакокы кольца А переса>анввечнь> (1 5, в' 3) с каждым из двух внешних законов, получающихся путем раздвоекия умно>кения.
Зядоморфизмы х — ьох структуры азвнтнвнвй группе> (без операторов) в А, порождаемые операторами а кольца А, часто называются его вне>анима евмвтеп>аамн; таким образом, оии перестаиовочвы (з кольце звдоморфизмов аддитизной группы А) с левыми и правыми гомотетиями кольца А; можно также сказать, что зто есть зндоморфизмы структуры еруппы е опера>парана в А, определяемой сложением и двумя внешними законами, получающимися путем раздзоеиия умио>кекия.
П р и м е р. Если А — кольцо и К вЂ” подмножество его центра, тэ закон композиции (а, х) — > ах операторов а Е К в.элементов х В А определяет в А (вместе с задааиой в А структурой кольца) структуру 139 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПВРАТОРАМИ кольца с оператораии; свойства етой структуры существенно зависят от рассматриваемого множества К, и следует тщательно отличать друг от друга различные структуры кольца с операторами, которые могут быть получены таким способом (см. главы 11 и у1П). Закон, про>пивоположмый заданному в кольце с операторамн А умножению, как вытокает из (7), вместе со сложением и заданнымп на А внешними законами также определяет в А структуру кольца с операторюпц она называется >гротивоиоложной первоначально заданной; кольцо с операторами, получающееся пря наделении А этой структурой, называется противоположна>ьч кольцу А.
В соответствип с общимн обозначениями ($ 2, и' 7), в произвольном кольце А через п х или пх, где пЕ Х и хЕ А, обозначают обычно сумму последовательности из п членов, равных х, если и ) О, элемент О, если я=О, и элемент — И вЂ” п).х), если п ( О. Этим определяется внешний закон композиции рациональных целых чисел и элементов из А (который не следует смешивать с умножением в А); этот закон дистрибутивен относительно сложения и, в силу двоякой дистрпбутивности умножения в А относительно сложения, удовлетворяет тождествам (7); тем самым он определяет в А вместе с заданными там сложением и умноженном структуру коль>)а с операторами.
Но эта структура по сути ничеы не отличается от заданной в А кольцевой структуры, ибо все относящиеся к алгебраическим структурам основные понятия, определенные в 5 4 (устойчивые множества, согласующиеся со структурой, отношения эквивалентности, гомоморфизмы), одинаковы для обеих структур. Более общим обрааом, структуру кольца с операторами не отличают от получающейся путем присоединения к ее внеппшм законам еще внешнего закона (и, х) -+ лх. Это замечание позволяет рассматривать кольца без операторов как частные случаи колец с операторами; поэтому во всей оставшейся части настоящего параграфа будут рассматриваться только эти последние.
Там, где не будет опасности путаницы, мы будем, допуская вольность речи, употреблять термин «кольцо» в смысле «кольцо с операторами»; в тех же случаях, где утверждаемый результат справедлив ли>пь для колец бел операторов (или, что гл. г, $8 (40 АлгеБРАическне стРунтуэы то же, для козгец с операторами, единственным внешним законом которых является (и, х) — »пх), это будет специально отмечаться. З. Дел»«пге.ггг гггглл.
Ио,гьг(а г(елосгпностгг Пусть А — кольцо. Обобщая терминологию, употребляемую в случае натуральных чисел (Теор. мн., гл. П1), элемент аЕ А называют левым (соответственно правим) кратным элемента Ь Е А, если существует с Я А такое, что а = сЬ (соответственно а =. Ьс); при этом говорят также, что Ь есть правый (соответственно левый) делитель элемента а или что а делится слева (соответственно справа) на Ь. Коли А коммутативно, то, поскольку порядок следования множителей безразличен, говорят просто «кратное» и «делитель». Заметам, что если з А нет единицы, элемент е ~А не обязательно является делителем (празын нкн левым) самого себя, как зто показывает пример кольца с нулевым квадратом (крамер Н1).
Точно тзн же, если А не содержит единицы, то кз, где н Е л, не будет вообще кратныи х. Напротив, если А обладает единицей е, то я х=к «з=(ке) з= =е (не). Для каждого элемента х кольца А имеем х' = х(х+ 0) = х'+ +хО, откуда х0=0; точно так же и Ох=-.О: всякое (левое или правое) кратное элемента 0 равно О. Следовательно, каковы бы ни были х и у, имеем ( — х) у=х( — р)= — (хр), ибо ( — х) р-(- +хр= ( — х+х) у=О((=-0; отсюда ( — х) ( — у)=ху. С помощью индукции по целому п>0 заключаем, что ( — х)"=х", если и четко, и ( — х)"= — х", если и нечетно. Отношение хО = 0 показывает также, что если кольцо А не сводится к 0 и обладает единицей с, то вФ О.
В соответствии с введенной выше терминологией каждый элемент хЕ А должен был бы рассматриваться как (правый и левый) делитель нуля; но, допуская вольность речи, наименование левый (соответственно правый) делитель нуля сохраняют за 0 и каждым элементом а,, отличным от О, для которого существует Ь, отличное от О, удовлетворяющее соотношению аЬ = 0 (соответственно Ьа=О). Можно еще сказать, что левые и правые делители нуля — это не рсгулярпьсе элементы ($2, и' 2) кольца А (если только А не сводится к одному элементу 0); действительно, 141 КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ отношение ах= ау (соответственно ха=- уа) равносильно отношению а (х — у) = 0 (соответственно (х — у) а = 0). Элемент а б А называют нильпотентныл>, если существует целое и .ь О, для которого а" = 0; взяв наименьшее целое и, обладающее зтпм свойством, убеждаемся в том, что тогда а — делитель нуля в А.
Если в А нет делителей нуля, отличных О, то, допуская вольность речи, А называют кольцом без делителей нуля, В кольце без делителей нуля отношение а(>=0 равносильно «а=О нли 6=0»; отношение а"=-0 (где и — целое ) 0) равносильно а = О. Оп> еделение 3. Кольцол«целостности называется коь>л>утагнвное кольцо без делителей нуля, нс сводящееся к О. П р и м е р ы. 1) Кольцо Е рзциоиальвых целых чисел есть кольцо целостности; напротив, кольцо зццоморфизмов произзольвой коммутативкой группы, вообще говоря, содержит делители куля, отличные ото (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
