Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Более общим образом, рассмотрим представление группы 6 в снмыетрическую группу Як множества Е и обозначим через ги подстановку множества Е, относимую элементу ар 6 этны представленном; образ Г группы 6 прн представлении а — ь Ги есть группа преобразований множества' Е,' изоморфная факторгруппе 6/К группы 6 по ее нормальной подгруппе К, образованной теми зломентами ай 6, для которых )и — тождественная подстановка (ь сб, теорема 3). 120 гл, е17 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Таким образом, можно сказать, что Г есть реализация 6/К в виде группы преобразований. Представление сс — ь1„определяет на множестве Е внешний закон композиции операторов а~ 6 и элементов хй Е, при котором колшозициейсеи х служит/„(х) (см.
тЗ, и'1); этот законудовлотворяет следующим двум условиям; а) он ассоциативен относительно закона группы 6 (т 5, п' 2), поскольку Г„офд = т„а, б) нейтральный элемент е группы 6 является нсйтр льным оператором рассматриваемого внешнего закона, поскольку уо есть тождественная подстановка множества Е. В частности, задавне любой еруппы ореосрвеоеаьий Г множества Е определяет на Е ннешннй закон, удонлетноряющнй указанным услоэняле, нрн котором композицией оператора об Г н элемента хб Л служит о (х).
Покажем, что условия а) и б) характеризуют внешниезаконы, полученные описанным способом, а именно: Пгедложепие 1. Пусть Š— множество, наделенное внешним законом композиции (а, х) — осех, имеющим своей областью операторов группу 6 и удовлетворяющим следующим условиям: а) этот внешний закон ассоциативен относительно закона группы С (иными словами, прн мультипликатпввой записи группы С, а(рх)=.(ир)х, каковы бы ни были и, р, х); б) нейтральный элемент з группы 6 есть нейтральный оператор внешнего закона (иными словами, гх=х для всех хбЕ). При этих условиях отобразкснис /„, порождаемое каждым и ~ С, является подстановкой множества Е, а отображение а — ь ~,„ есть представление 6 в симметрическую группу ~е. В самом деле, у=ах влечет и ~у=а '(ах) =(и 'и)х= ех=х, и обратно, так что х —.
их действительно есть подстановка множества Е; вторая же часть предложения вытекает из ассоциативности внешнего закона относительно закона группы. Множество Е, наделенное структурой, определяемой внешншн законом, удовлетворяющим условиям предложения 1, называют для краткости множеством, наделенным группой операторов 6; говорят также, что в множестве Е действует группа 6. ГРуппы пвнопглэоилнин 3. Рагпроет>транетвим ву)уптзез преобразований Важный пример представлений группы на группу преобразований доставляют распространения групп преобразований.
Если заданы (скажем) трн множества г'„ЄÄих подстановки Х„1„1з н множество М шкалы множеств (Теор. мн., Вез., 9 8), имеющей в качестве базы множества г"„г"з, г'„то можно, следуя шаг за шагом по шкале, определить подстановку множества ЛХ, называемую распространением Х„Хз, Хз на М; будем обозначать ее грм (1„1з, 1з). Напомним вкратце, как строится это определение. Следует различать два случая: ('М=. ф(1), где й — множество шкалы, для которого Ч>ь(!> 1з 1з) Уже опРеделено; тогда Чм(1„(м 1>) есть ве что ивов, кав РаспРостРанеиие >(>ь (1„1„1>) па млея<естес подмножеств (Теор. мн., Рез., 4 2, и' 9); 2' М= Р х С>, где Р в 9 — множества шкалы, для которых 'рг(1>,1з й) и ч>о (1> 1> 1>) уже опр делены; тогда >ум(1> 1> !з) есть распространение этих отображений па произведения множеств (Теор.
мв., Рез., $ 3, и' 44). Если яз, дз, дз,— еще три подстановки соответственно множеств г'„г'„г'з, то, как непосредственно следует из предыдущего определения, 'рз>(Х>" Кз Хзсез Хз'сз)=>рвт(Х> Хз Хз)'грз>(ез йз Кз)) пнымн словами, грз> есть представление группы Яг>ХЯгзХ(8л з в группу Язп Если Гт, Äà — группы преобразований соответственно множеств г'„Гз, Р„то сужение грм на группу Г,Х Г,Х Г„ называется каноническим представлением этой группы в Ям, образ группы Г,ХГзХГз при этом представлении называется распространением этой группы на мноп ество т)Х. Пусть теперь 6 — произвольная группа и Ьс — ее представление и группу Г, преобразований множества Хгс (>=1, 2, 3); положив для каждого об 6 ам= >рм(Ь,(о), Ь, (о), Ьз(п)), мы получим представление о — ом группы 6 в Ям, называемое распространением представлений Ь„Ь„Ь, на множество М.
В частности, если за о принята группа Г, преобразований множества Уп за Ь,— тождествепвое отобрз>кение Г, ва себя, а за Аз и )>з — постоянные отобрзжеиия Г, ва группы Гз и Г„сводящиеся к тождестееивым подстановкам соответственно множеств гз и Рз,, распространение этих представлеиий па >>> по-прежиему иазывзетсл Алгкврянчкскик стРуктуРы гл, к г 7 еаненкчссзил лредстселеннем Г, в Сн, легко видеть (кдя шзг зз шагом по шкале), что зто -.
ннъектннный гомоморфнзм Г, н Ялы если только М не прннздлежнт к~кале, имеющей в качестве базы одни множества ее, ез. Может оказаться, что множество Р С 71л таково, что сужение ом на Р есть подстановка этого Р для каждого вб6; обозначив эту подстановку вр, мы будем иметь тогда представление в — ь вр группы 6 в Яр, по-прежнему называемое распространением представлений Ь„Ь„Ь на Р. Важнып пример этого имеем, когда .1Х вЂ” множество всех подмножеств произведения К хе' множеств К п Л шкалы, а Р— множество всех отображений К в Е, отождествимое с подмножеством множества М, образованным графикалси этих отображений (Теор.
мн., Рез., з 3, и' 5); элемент множества И, относимый представлением вм графику отобрансения ш множества К в Е, будет графиком отображения вк(г) — ь вь(ш(г)). 4. Инварианты группьг операторов. Группки автолгорфнамов Опркдклкник 2. !1усть Š— множество, наделенное группой операторов 6, Говорят, что влвмвнт хб Е есть инвариант группы 6 (или что х инвариантен относительно 6, нлн что 6 оставляет х инвариантным), если х инвариантсн относительно всех операторов группы 6 (иными словаки, если ах = х длн каждого и б 6) ° Задание представления 1 группы 6 на группу Г преобразований множества Е превращает 6 в группу операторов на Е (и' 2); инвариант этой группы операторов называется также инвариантом грз ппы 6 относительно представления 7'.
Более общим образом, пусть, скажем, ЄЄРз — три множества, Гг (1=1, 2, 3) — группа преобразований множества Ре, Ьг— представление 6 на Г, и ЛХ вЂ” множество шкалы, имеюшей в качестве базы множества Рю Рз, Рз (пли инвариантное подмножество множества этой шкалы). Если в — > вм — распространение представлений Ь„Ь, Ь, на ЗХ (и'3), инвариант группы 6 относительно этого представления называют (допуская вольность речи) ее ннвариантом относительно представлений Ь„Ь„Ьз. Важным частным случаем этого понятия является, понятие инвариантного отображения относительно группы 6.
Пусть К 123 ГРуппы 11РЕОБРАЗОнАний и Ь вЂ” два множества шкалы, имеющей в качестве базы множества Р„Гз, Ге', отображение щ множества ел в Л называют инвариаыллноллл относительно 6, если О1, (и (г)) = ил(сл(г)) для всех гЕ !л и ОЕ 6. В этом случае говорят также, что пл(г) есть ковариилли элемента г (относительно группы 6 и представлений Ь„Ь, Ьз). Рассматриная группу преобразований Г, мнояеества Р, и говоря, без дальнепшнх уточненвй, о ее инеорианте в множестве М шкалы, имеющей в качестве базы множества Р, и, скажем, Рю Рю имеют в виду инвариант группы Г, относительно канонического представления (и' 3) Г, в С».
П р н м е р ы. 1) Пусть à — группа преобразовавнй множества Ь и а — произвольный элемент нз Е. Множество всех злементов а(а), где а пробегает Г, есть подлщолнество множества Е, инвариантное олносительно Г (см. и' 5). 2) Пусть в множестве Р задан аддитивно записываемый коммутативный ассоциативный закон композиции. Рассмотрим множество Р всех носледовательностей (х;) 1 и по я злементоа нз Р, т. е. множество всех отображений интервала 1=(1, л) Г у( в Р; относя каждому элементу (хл) из Р элемент ~~ хе из Р, мы получим отображение Р в Р, 1=-1 являющееся, как вмтекает нз теоремы коммутатнвностн (! 1, теорема 3), инеариантом симметрической грузны С„= — Сг"). Точно так же, если, в частности, ваять за Р множество 2 рациональных целых чисел '(плн конмутативное кольцо)„произведение (х,— хе), рассматриваеллое как отображение Р в Е, является 1<1<1<о инеариантом знакопеременной группы «1 (но не симметрической грул"гы юо).
'Э) В трехмерном вещественном евклидовом пространстве Е=Н" ров«таяние РГ(х' — х)«+(у' — Н)1+ (з — е)л между точками (х, у, е) и (х', у', е'), рассматриваемое кап отображение Е'МЕ в К, есть нпнариант группы двпжепий (см. главу !Х).„ и е) Выражение ~' хл есть только одна из так называемых «симметриче;=1 ких функций» от х„хм ..., х„(см. главы !!! н у), которые все являются инеаРиантами отноеительно гРУппы юо; от этого свойства и пРоисхоДИт наименование «симметрическая группа«.
124 гл. >,$7 АЛГВВРАНЧВСКИВ СТРУКТУРЫ 3 а м е ч а н и е. Если заданы группа преобразований Г множества Е и множество М шкалы, имеющей в качестве базы Е (и, возможно, еще некоторые другие множества), то не следует смешивать подмял хсестео множества М, инвариантное ою посиглелсно Г (элемент яз се (М). инвариантный отпосательпо Г), и множество елсиеитое нз М, иисориаитиих относительно Г (такое множество очевидно является влементом из $ (М), инзариантпым относнтельно Г, но обратное, вообще говоря, неверно).
Тяогяз>А 1. Нусть Š— множество, наделенное группой опериторов 6, и А — его непустое подмножество. Множество Н всех операторое а Е 6, остаеляющих инвариантным налсдый элемент из А, есть подгруппа группе> 6. Действительно, если ах= х и рх=х, то также (сс())х=а(рх)=- =их= х и а'х=а '(ах) =(а 'а)х=ех=х (где е — нейтральный злеыент группы 6). Каково бы ни было уб С, множество всех операторов и б С, оставляющих ннвариантным каждый элемент из УА, есть подгруппа уНУ ', поскольку отношение пух=ух эквивалонтво отношевию (у 'ау)х=х.
Допуская вольность речи, говорят, что так определенная подгруппа Н есть подгруппа группы 6, оставляющая инеариантными элемгнтьс множества А. 3 а и е ч а н и е. Множество всех инвариантов атой подгруппы очевидно содерн;пт А, но может содержать и элементы из Е, не принадлежащие А. П р и м е р. 'Подгруппа группы движений евклидова пространства, оставляющая ияварнантными две различные точки,— это группа всех вращений вокруг соединяющей зтн точки прямой и, значит, оставляет инварнаятными все точки этой прямой. Рассмотрпы, в частности, структуру сУ', заданную в ьгно>кестве Е (Теор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
