Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 26
Текст из файла (страница 26)
мн„Рез., у 8). Это — элемент некоторого множества М шкалы, имеющей в качестве базы множество Е и некоторое число вспомогательных множеств. Каждая подстановка / множества Е, образ которой в Я>н (при каноническом отображении Яв в Ям) оставляет элемент г инвариантным, есть, по определению (Теор.
мн., Рез„т 8, п' 5), автоморфиэлс структуры сУ'. Таким образом: ГРУППЫ ПРКОВРАЗОВАНИЙ Пгкдложкник 2. Автоморфизмы структуры гУ, заданной в множестве Е, образуют группу преобразований этого множества (называемую группой автоморфизмов структуры еУ, или множества Е, наделенного структурой вУ). Пусть «У' — изоморфная еУ структура, определенная в множестве Е', ~р — изоморфизм У иа еУ' и г(г — обратный изоморфнзм; очевидно, отображение р †>гр рог(г есть изоморфизм группы автоморфизмов структуры еУ на группу автоморфизмов структуры еУ'.
Пример. Группа автоморфизмов группы, Пусть С вЂ” заданная группа. Ге автоморфнзмы, согласно предло>пению 2, образуют подгруппу Г симметрической группы Со. Внутренние аетоморфивмы ае группы С (4 6, п' 4) образуют подгруппу Л группы Г, как следует нз непосредственно цроверяевгого тождества а„е — а„а„. Опо показывает, кроме того, что отображение х — ° а» есть представление С па бб для того чтобы а было тождественным отображением С иа себя, необходимо и достаточно, чтобы хух '=у для кахщого у б С, т. е. ху=ух для каждого у б С; иными словами, х должно принадлюяать центру 2 группы С; в силу теоремы 3 4 6, это снова показывает, что 2 — нормальная подгруппа группы С, и мы видим вместе с тем, что группа Л всех внутренних автоморфязмов группы С взоморфиа факторгруппе С!Х.
Заметим, что группа Л может совпадать с Г; опа может также сводиться к тождественному отображению; для этого необходимо и достаточно, чтобы 2=С, т. е. чтобы С была колглгутатиена. Автоморфизмы группы С, не являющиеся ее внутренними автоморфязмами, иногда называют внешними автоморфвзмами этой группы. Если С наделена структурой группы с опер«торана, автоморфизмы этой структуры образуют группу Г', очевидно являюгауюся подгруппой группы Г всех автоморфязмое задавяой в С структуры группы; заметим, что, вообще говоря, группа Ь внутренних автоморфазмов не есть подгруппа группы Г'.
$. Хранвнтнвные гртг»зпы Пусть à — группа преобразований множества Е. Отношение «существует рб Г ~акое, что у=~(х)» есть отношение эквивалентности в Е; действительно, оно рефлексивно, ибо тождественная подстановка и принадлежит Г и х=-и (х); оно симметрично, ибо если рр Г таково, что у=~(х), то обратное ему отображение д принадлежит Г и х=у(у); наконец, оно трамзитивно, ибо из у=)'(х) и х= =д(гу) следует а=у() (х)), а еслиридпринадлежатГ,то и уау принадлежит Г. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гл, т, 1 7 126 Лхасса« по этому отношению эквивалентности называются классами интранлстивности группьс Г; класс интранзитивности, которому принадлежит элемент ар Е,— это множество всех /(а), где ) пробегает Г; его называют такьке орбитой элемента а относительно группы Г.
Если существует только один класс пнтранэитнвностн (совпадасощий тогда с Е), то группу Г называгот транзитивной; в противном случае — интранзитивной. Условие трапзитивностп группы Г могкет быть выражено следующим образом: при любом заданном а б Е для как дого х б Е существует Г'р Г такое. что х=-7'(а). П р сс м е р ы. 4) Симвсетричесвая группа Е„очезвдко травзитивпа; то же верно и для зиакоперемеввой группы т(„, если л ) 2, або для любых трех различных целых чисел с, с', в вз вятервала [Е я) его подстановка о, определяемая условкямв а(с)=с, а(С)=)с, а(я)=с и о(Ь)=й для асс х й, отличных от с, С', й («круговая подстановка«).
как легко убедиться, †четк. 2) Группа всех левых перекосов группы С тракаитавпа, ибо для нейтрального злеыепта « этой группы имеем у„(«)=-х; точка так же и группа всех правых переносов тракзитявяа. 3) Группа Л всех внутренних азтоморфизмов группы С (содержа. щесй более одного элемента) ивтракзитивяэ, жбо ая(е)=«, каково бы ки было х б С; элементы одного и того же класса иктракзитквпости группы Л пазывасотся сслряженнылса элементами группы С; каждый злемект центра группы С уже сам образует класс кятраязитивиостм группы Ь.
4) Если à — ивтравзитизпая группа преобразованиймссожества Ь и Л вЂ” ее класс иктраязиткзяости, множество су>кеяий вал всевозможкых подставовок из Г есть трзизитпвяая группа прсобразоваяий мвоясестза Л. 6. Однородныв тгроспгранствес Пусть Š— множество, наделенное группой оператороп 6 (и' 2): говорят, что 6 транзитивно действует в Е, если (в обозначениях п' 2) образ 6 в ые при представлении и — >)х есть транзитивная группа подстановок множества Е. Опгеделение 3.
Однородным пространством называется лсноэссество Е, наделенное транзитивно действующей в нем группой операторов 6. ггуцпы пвкоБРАзовлний 127 Таким образом, каждая транзитивнзя группа Г подстановок множества Е определяет в Ь' структуру однородного пространства с внешним законом ков1позицин, относящим подстановке о р Г и элеыенту х р Е элемент а (х). П р и ы е р. 'Всякое евклндово пространство есть однородное пространство, группой операторов которого служит группа двшкенпй (см.
главу !Х)., 3 в м е ч а н н е. Можно также сказать, что однородное пространство — зто множество Е с группой операторов С, внешний закон которого удовлетворяет следующему услови|о: каковы бы ни были х б Е и у с Е, существует о б С такое, что у=ох. Заметим, что из этого условия, в соедвнепнп с ассоциативностью внешнего закона относительно законе группы С, следует, что нейтральный элемент е группы С являетсн нейтральным оператором: действительно так квк существует ХбС такое, что х=Хх, то ах= е (Хх)=(ей) х=Хх=х. Какова бы ни была группа 6, левый внспемий лаком (з 3, и' 2), порождаемый законом группы, определяет в 6 структуру однорооь ного пространства, группой операторов которого служит сама группа 6 (пбо группа подстаповок Г, являющаяся образом 6 в Яо, есть не что иное, как группа левых переносов группы 6).
Рассмотрим теперь однородное пространство Ь', имеющее 6 своей группой операторов, и пусть а — произвольный фиксированньш элемент пз Е; отображение сс — ь па есть представление 6 (наделенного определенной выше структурой однородного пространства) в однородное пространство Е, и это — представление на Ь', поскольку 6 действует в Е транзитивно. Поэтому (з 4, теорема 1) Е изоморфно результату факторизацтш 6 (рассматриваемого как однородное пространство) по отношению эквивалентности сса=ра. Но это отношение, согласуясь слева с законом группы 6, имеет вид р р аХХ„, где Н, — подгруппа группы 6, образованная всеми и р 6, оставляюп(ими а инвариантным; а результат факторизации 6 по этому отношению есть множество всех левых классов по Н„наделенное внешним законом композиции, относящим каждому оператору ар 6 и наждому левому классу $Н, левый класс асН,.
Обратно, пусть Н вЂ” произвольная подгруппа группы 6 и 6/Н— фактормножество множества 6 по отношению эквивалентности (з раН (согласующемуся слева с групповым законом); фактор- закон левого внешнего закона, порожденного законом группы, заданным в 6, по этому отношению определяет в 6/Н структуру АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гч, 1, $7 однородного пространства, имеющего 6 своей группой операторов; действительно, достаточно показать, что 6 транзитивно действует в 6/Н; но для любых двух элементов и=-аН н Р=(гН фактор- множества 6/Н имеем о=(ра г)и. Множество 6/Н, наделенное этой структурой, называется однородным иространством, определяемым подгрутгпой Н группы 6. В случае произвольной подгруппы Н множество С/Н, вообще говоря, ее наделено никаким енупгренннм законом; если же Н— нормольноп подгруппа, то, как мы видели, внутренний закон яа С/Н, являющийся факторзакопом закона группы С по Н, есть закон группы; з зтоы случае не следует смешивать углкторерупггу С/Н, опредезяемуго этим заковом, с однородным проотроногпеом С/Н.
Резюмируя полученные результаты, приходим к следующей теореме: ТеОРемА 2. Пусть Š— однородное ггространство и 6 — его группе операторов. Пусть, далее, а — любой элемент иг Е и Н вЂ” подгруппа групиы 6, образованная всеми операторами и, оставляющими а инвариантным. Тогда однородное пространство Е игоморугно однородному пространству 6/Н, определяемому подгруппой Н . Взяв другой элемент Ь р Е, получим, что Е изоморфно также однородному пространству 6/Нь; при этом для () р 6 такого, что Ь = ра, отношения иЬ = Ь н )) гара =- а эквивалентны н потому Н, = ()Н„р '.
Пересечение всех Х„, где х пробегает Е, есть пе что иное, как группа К всех нейтральных операторов однородного пространства Е; таким образом, можно сказать, что К вЂ” наибольгиая нормальная подгруппа группы 6, содержащаяся во всех ТТ,. Отсюда получается характеристика всех реализаций (и' 2) группы 6 как транзитивной группы преобразований (нлн, как мы будем еще говорить, транзитивных реализаций группы 6): предложение 3. Всякая транзитивная ре ливация группы 6 есть (с точностью до изоморфизма) группа, образованная подстановками, порождаемыми операторами однородного пространства 6/Н, где Н вЂ” некоторая подгруппа группы 6, нв содержащая никакой ге нормальной подгруппы, отличной от (е].
Ваяв, в частности, Н=(е), получим в качестве трапзативпой реализации группы С группу всех ее левых перекосов. ГРУППЫ ПРБОБРАЗОВАНЛЙ с. Лрнмнтнвньсе еуэуппьс Олределиы факторструктурьс структуры однородного пространства; в силу теоремы 2, можно ограничиться случаем однородного пространства 6/Н, определяемого подгруппой Н группы С, Если наделить 6 структурой однородного пространства, определяемой левым внепшнм законом, порожденным законом группы, структура однородного пространства в 6/Н будет факторструктурой этой структуры однородного пространства в 6 ло отношению у р хН; пусть  — это отношение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
