Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 17
Текст из файла (страница 17)
«8) Пусть на Е заданы (ассоцнатквное и коммутативное) сложение, относительно которого все элементы из Е симмстригуемы, и умвожание, ие ассоциативное, однако коммутативное н двояко дистрибутивное относительно сложения. Предположим, кроме того, что в Е отиожение л х=О (где л — любое целое 4=0) влечет х=О. Положим [х, у, х]=(ху) х — х(ус). Показать, что если имеет место тождество [ху, и, с)+[у», и, х]+[ах, и, у]=0, то хо"+л =х"'х" для всех х В Р. [Показать с помощью индукции по р, что при» ~( д «.р имеет место тождество [хз, у, ха «]=0.] у 6.
Группы и группы с операторами 1. Рртутпь« Опгндклкпик $. Говорят, что всюду определенный внутренний закон композиции на множестве (' определяегп в Г» структуру 'группы (или групповую структуру), если т' он ассоциативен; 2' он обладает нейтральным элементом; 3' для каждого элемента 85 ГРуппы и ГРуппы с опиРАтоРАми из 6 в 6 существует элемент, симметричный ему относительно этого закона. Множество, нааглгнное групповой структурой, называют группой.
В силу предло>некий 3 н 4 $2, то же самое можно выразить, сказав, что группа 6 — это непустой моноид (з ее, и' 3), такой, что левый и правый переносы у„и б„являются для каждого хб6 отобраисепияь>и 6 на 6: тогда оии являются взаимно однозначными отображениями 6 на 6 (см. упражнение 2). П риме р ы. 1) В произвольном мовоиде Е, обладающем нейтральным элементом, множество всех симметризуемых элементов, наделенное иидуцироваиной структурой, есть группа. В частности, множество всех взаимно однозначных отображений р на себя (т. е. всех нодстаноеок множества Р) есть группа относительно закона >ау; оиа называется симметрической еруапой множества р; мы еще вернемся к этой группе и более детально рассмотрим ее в $7.
2) Если Š— множество, наделенное коммутативиым ассоциативным закоиомТ, иŠ— рееулынат сзмметр«еацаи множества Е (З 2, в' 4) относительно Т, то множество всех регулярных элементов из и образует группу относительно индуцированного на нем из Е закона. В частности, множество 2, наделенное сложением, есть группа; она называется аддиенионой ерузлой рациональных целых чисел; точно так же и множество (~у рациояалькых чисел ) О, наделенное умножением, есть группа.
Группа 6 называется конечной, если множество ее элементов конечно, и бесконечной — в противном случае. Число элементов конечной группы называют порядком этой группы. Коли закон композиции ~а 6 определяет в 6 структуру группы, то зто же верно и для противоположного закона; две определенные так группы называются противоположными. Отображение группы 6 па себя, относящее канадо>иу элементу иэ 6 симметричный ему элемент, есть игоморуцизм группы 6 на противоположную группу (з 2, предложение 5); опо называется симметрией илн отображением симметрии группы 6 на себя и является ннволютинной подстановкой этой группы. В настоящем параграфе всюду, где явно не оговорено противное, мы обозначаем закон коьшозиции группы мультипликативнон а нейтральный элемент записываемого так группового закона гл.
г, 3 6 АлгеБРАичесние стРунтуРы обозначаем в (напомним, что в этом случае в часто называется единичным элементом группы); симметрия группы 6 на себя записывается тогда х- х '. Следуя нашим общим соглашениям (Теор. ма„рез., 4 2, и'4), всы обозначаем образ множества А ~ С прн снмметрнн л-+ л с через А''. Но важно отметлть, что, несмотря на сходство обозначений, А ' отнюдь не является элементом, обратным А отпослтельяо закона композпцнн (Х, У) — ь ХУ подмножеств множества С (напомннм, что ХУ есть множество всех зу, где з Р Х, у б У); действительно, нейтральным элемеятом относительно этого аакона слусклт се), а едннствепными элементами нз ф (С), обратнмымн относительно этого аакона, лвллются множества А = (а), сводлщнеся к одному элементу (прячем такое А действительно имеет сваям обратным А ').
1(мест место тождество (АВ) '=.В 'А ' (А Г С, В г" С). Коли Л= — А ', то А яазываетсл симмелсрлчнмм подмножеством группы С. Каково бы ни было А г. С, Л()Л ', АДА ' н АА ' симметричны. М. ХХо()груптсьс Опведеление 2. Подгруппой группы 6 называется всякое непустовмножвство Нс 6 такое,чтоструктура, индус)ированная в нглс из 6, есть струтпура группы. ПРкдложеник 4. 11усть ХХ вЂ” непустог подмножество группы 6; следуюи(ив утверждения равносильны: а) ХХ вЂ” подгруппа группьс 6.
б) Н вЂ” устойчивоелсножество(инымисловаыи, отношения хбН, у б Н влекут ху б Н) и отношение хб Н влечет х с ц ХХ. в) Отношения хцН, уйН влггут ху сц Н, Покажем сначала, что из а) следует б). Поскольку заков композиции, индуцированный в 1Х из 6, должен быть всюду определенным, Н должно быть устойчивым множеством в С. При этом, поскольку нпдуцировапный закон доляген обладать невтральным элементом и, последний удовлетворяет условию и и= и, откуда и=и и ' =в, так что Н. содернсит г; следовательно, если элемент хб ХХ обратим в Н, его обратный в 11 совпадает с его обратным х ' в 6; тем самым б) полностью доказано. Обратно, нз б) следует а); действительно, для каждого хб 1Х имеем х с б Н и, значит, х х '= гц Н; тем самым закон композиции, индуцированный в Н пз 6, определяет в ХХ структуру группы.
87 ГРУППЫ И'ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ Наконец, ясно, что из 6) следует в); обратно, если в) выполнено, то хЕ Н влечет х х г=еЕ Н и, далее, е х т=-х 'ЕН; следовательно, отношения хЕН, уЕН влекут х(у г) "=хуЕН, чем доказано, что пз в) следует 6). 3 а м е ч а н и я. 1) Так же доказывается, что утверждение б) предложения 1 равносильно следующему: в') Отношенол х Е Н, у Е Н влекут у 'х Е Н. 2) Утверждение б) может быть также аапнсано в виде Н.Н 1 — Н н Н 'С Н. Таким образом, в случае нваустово множества Нс С из этих отношений следует, что Н вЂ” подгруппа; тогда в Е Н, откуда Х с- Н Х для каждого Х с: С и, в частности, Н с Н Н; с другой стороны, отображение симметрии группы С преобразует включение Н ' С Н в Н 1 — Н '.
Тем самым для каждой подгруппы Н грузны С выполняются отношения Н Н=Н, Н г=Н. (1) Утверждение в) завнсыаается также в виде Н Н ' ~ Н; такам образом, для непустого множества П ~ С это отношение равносильно отношениям (1); то же верно и для отношения Н 'Н с Н. Ясно, что если Н вЂ” подгруппа группы 6, а К вЂ” подгруппа группы Н, то К вЂ” подгруппа группы 6.
Множество (е) есть подгруппа группы 6, очевидно, нанменьшан (ибо содержится во всех подгруппах). Пересечение Н семейства подгрупп (Н„) есть подгруппа, ибо опо не пусто (еЕ Н, для каждого с) иотнотиепняхЕН, уЕ Н, влекущнеху тЕН„для каждого м влекут тем самым ху 'ЕН. Следовательно, существует наименьшая подгруппа 6, содержащая заданное множество Х Е 6; она называется подгруппой, поролсденной множеством Х, а Х вЂ” систпемой образующих этой подгруппы.
П р и м е р. Найдем все подгрупвы адднтнвной группы 2 рациональных целых чисел. Исаи П вЂ” такая подгруппа, не сводящаяся к одному элементу О, то пусть х Е П таково, что х ~ О; тогда либо х г О, либо, прл х < О, х'= — х г О и х' Е Н; таким образом, множество всех элементов ь О из Н не пусто; пусть а — его наименьший элемент. Индукцией по т Е Г1о убеждаемся в том, что та Е Н для всех т Е Ио; значит, также — та Е Н для всех т Е Но, и так как О Е Н, то, следовательно, ла Е Н, каково бы нн было н Е Х. Пусть х Е Н, тогда (4 4, в' 3) х= дал г, где д Е 7. и О < г < а; так как оа Е Н, то г=х — да Е Н; но, по определеяию элемента а, О < г < а влекло бы г д Н; значит, г=о и х= да, Тем самым Н совпа- АлгеБРАические стРуктуРы гл.
к $ б дает с множеством всех за, где и С Е, иными словами, И=а Е. Обратно, очевидно, аЕ есть подгруппа группы Е для всякого а С й»; если а=о, то а.Е=(О); если а ( О, то а'= — а ь О н аЕ=»'Е„Из проведенного выше доказательства видно также, что »Е есть подгрупиз, порозкденная множеством (а), и что устойчивым подмножеством множества Е, порожденным (а), служит множество ан» всех жа, где ж пробегает и». Этот пример показывает, что следует остерегаться смешения устойчивого подмножества группы С, порэкденного множеством Х ~ С, с подгруппой, порожденной зтнм множеством: первое всегда содержатся во второй, но вообще отлично от нее.