Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра

Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 17

Файл №947357 Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики) 17 страницаБурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357) страница 172013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

«8) Пусть на Е заданы (ассоцнатквное и коммутативное) сложение, относительно которого все элементы из Е симмстригуемы, и умвожание, ие ассоциативное, однако коммутативное н двояко дистрибутивное относительно сложения. Предположим, кроме того, что в Е отиожение л х=О (где л — любое целое 4=0) влечет х=О. Положим [х, у, х]=(ху) х — х(ус). Показать, что если имеет место тождество [ху, и, с)+[у», и, х]+[ах, и, у]=0, то хо"+л =х"'х" для всех х В Р. [Показать с помощью индукции по р, что при» ~( д «.р имеет место тождество [хз, у, ха «]=0.] у 6.

Группы и группы с операторами 1. Рртутпь« Опгндклкпик $. Говорят, что всюду определенный внутренний закон композиции на множестве (' определяегп в Г» структуру 'группы (или групповую структуру), если т' он ассоциативен; 2' он обладает нейтральным элементом; 3' для каждого элемента 85 ГРуппы и ГРуппы с опиРАтоРАми из 6 в 6 существует элемент, симметричный ему относительно этого закона. Множество, нааглгнное групповой структурой, называют группой.

В силу предло>некий 3 н 4 $2, то же самое можно выразить, сказав, что группа 6 — это непустой моноид (з ее, и' 3), такой, что левый и правый переносы у„и б„являются для каждого хб6 отобраисепияь>и 6 на 6: тогда оии являются взаимно однозначными отображениями 6 на 6 (см. упражнение 2). П риме р ы. 1) В произвольном мовоиде Е, обладающем нейтральным элементом, множество всех симметризуемых элементов, наделенное иидуцироваиной структурой, есть группа. В частности, множество всех взаимно однозначных отображений р на себя (т. е. всех нодстаноеок множества Р) есть группа относительно закона >ау; оиа называется симметрической еруапой множества р; мы еще вернемся к этой группе и более детально рассмотрим ее в $7.

2) Если Š— множество, наделенное коммутативиым ассоциативным закоиомТ, иŠ— рееулынат сзмметр«еацаи множества Е (З 2, в' 4) относительно Т, то множество всех регулярных элементов из и образует группу относительно индуцированного на нем из Е закона. В частности, множество 2, наделенное сложением, есть группа; она называется аддиенионой ерузлой рациональных целых чисел; точно так же и множество (~у рациояалькых чисел ) О, наделенное умножением, есть группа.

Группа 6 называется конечной, если множество ее элементов конечно, и бесконечной — в противном случае. Число элементов конечной группы называют порядком этой группы. Коли закон композиции ~а 6 определяет в 6 структуру группы, то зто же верно и для противоположного закона; две определенные так группы называются противоположными. Отображение группы 6 па себя, относящее канадо>иу элементу иэ 6 симметричный ему элемент, есть игоморуцизм группы 6 на противоположную группу (з 2, предложение 5); опо называется симметрией илн отображением симметрии группы 6 на себя и является ннволютинной подстановкой этой группы. В настоящем параграфе всюду, где явно не оговорено противное, мы обозначаем закон коьшозиции группы мультипликативнон а нейтральный элемент записываемого так группового закона гл.

г, 3 6 АлгеБРАичесние стРунтуРы обозначаем в (напомним, что в этом случае в часто называется единичным элементом группы); симметрия группы 6 на себя записывается тогда х- х '. Следуя нашим общим соглашениям (Теор. ма„рез., 4 2, и'4), всы обозначаем образ множества А ~ С прн снмметрнн л-+ л с через А''. Но важно отметлть, что, несмотря на сходство обозначений, А ' отнюдь не является элементом, обратным А отпослтельяо закона композпцнн (Х, У) — ь ХУ подмножеств множества С (напомннм, что ХУ есть множество всех зу, где з Р Х, у б У); действительно, нейтральным элемеятом относительно этого аакона слусклт се), а едннствепными элементами нз ф (С), обратнмымн относительно этого аакона, лвллются множества А = (а), сводлщнеся к одному элементу (прячем такое А действительно имеет сваям обратным А ').

1(мест место тождество (АВ) '=.В 'А ' (А Г С, В г" С). Коли Л= — А ', то А яазываетсл симмелсрлчнмм подмножеством группы С. Каково бы ни было А г. С, Л()Л ', АДА ' н АА ' симметричны. М. ХХо()груптсьс Опведеление 2. Подгруппой группы 6 называется всякое непустовмножвство Нс 6 такое,чтоструктура, индус)ированная в нглс из 6, есть струтпура группы. ПРкдложеник 4. 11усть ХХ вЂ” непустог подмножество группы 6; следуюи(ив утверждения равносильны: а) ХХ вЂ” подгруппа группьс 6.

б) Н вЂ” устойчивоелсножество(инымисловаыи, отношения хбН, у б Н влекут ху б Н) и отношение хб Н влечет х с ц ХХ. в) Отношения хцН, уйН влггут ху сц Н, Покажем сначала, что из а) следует б). Поскольку заков композиции, индуцированный в 1Х из 6, должен быть всюду определенным, Н должно быть устойчивым множеством в С. При этом, поскольку нпдуцировапный закон доляген обладать невтральным элементом и, последний удовлетворяет условию и и= и, откуда и=и и ' =в, так что Н. содернсит г; следовательно, если элемент хб ХХ обратим в Н, его обратный в 11 совпадает с его обратным х ' в 6; тем самым б) полностью доказано. Обратно, нз б) следует а); действительно, для каждого хб 1Х имеем х с б Н и, значит, х х '= гц Н; тем самым закон композиции, индуцированный в Н пз 6, определяет в ХХ структуру группы.

87 ГРУППЫ И'ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ Наконец, ясно, что из 6) следует в); обратно, если в) выполнено, то хЕ Н влечет х х г=еЕ Н и, далее, е х т=-х 'ЕН; следовательно, отношения хЕН, уЕН влекут х(у г) "=хуЕН, чем доказано, что пз в) следует 6). 3 а м е ч а н и я. 1) Так же доказывается, что утверждение б) предложения 1 равносильно следующему: в') Отношенол х Е Н, у Е Н влекут у 'х Е Н. 2) Утверждение б) может быть также аапнсано в виде Н.Н 1 — Н н Н 'С Н. Таким образом, в случае нваустово множества Нс С из этих отношений следует, что Н вЂ” подгруппа; тогда в Е Н, откуда Х с- Н Х для каждого Х с: С и, в частности, Н с Н Н; с другой стороны, отображение симметрии группы С преобразует включение Н ' С Н в Н 1 — Н '.

Тем самым для каждой подгруппы Н грузны С выполняются отношения Н Н=Н, Н г=Н. (1) Утверждение в) завнсыаается также в виде Н Н ' ~ Н; такам образом, для непустого множества П ~ С это отношение равносильно отношениям (1); то же верно и для отношения Н 'Н с Н. Ясно, что если Н вЂ” подгруппа группы 6, а К вЂ” подгруппа группы Н, то К вЂ” подгруппа группы 6.

Множество (е) есть подгруппа группы 6, очевидно, нанменьшан (ибо содержится во всех подгруппах). Пересечение Н семейства подгрупп (Н„) есть подгруппа, ибо опо не пусто (еЕ Н, для каждого с) иотнотиепняхЕН, уЕ Н, влекущнеху тЕН„для каждого м влекут тем самым ху 'ЕН. Следовательно, существует наименьшая подгруппа 6, содержащая заданное множество Х Е 6; она называется подгруппой, поролсденной множеством Х, а Х вЂ” систпемой образующих этой подгруппы.

П р и м е р. Найдем все подгрупвы адднтнвной группы 2 рациональных целых чисел. Исаи П вЂ” такая подгруппа, не сводящаяся к одному элементу О, то пусть х Е П таково, что х ~ О; тогда либо х г О, либо, прл х < О, х'= — х г О и х' Е Н; таким образом, множество всех элементов ь О из Н не пусто; пусть а — его наименьший элемент. Индукцией по т Е Г1о убеждаемся в том, что та Е Н для всех т Е Ио; значит, также — та Е Н для всех т Е Но, и так как О Е Н, то, следовательно, ла Е Н, каково бы нн было н Е Х. Пусть х Е Н, тогда (4 4, в' 3) х= дал г, где д Е 7. и О < г < а; так как оа Е Н, то г=х — да Е Н; но, по определеяию элемента а, О < г < а влекло бы г д Н; значит, г=о и х= да, Тем самым Н совпа- АлгеБРАические стРуктуРы гл.

к $ б дает с множеством всех за, где и С Е, иными словами, И=а Е. Обратно, очевидно, аЕ есть подгруппа группы Е для всякого а С й»; если а=о, то а.Е=(О); если а ( О, то а'= — а ь О н аЕ=»'Е„Из проведенного выше доказательства видно также, что »Е есть подгрупиз, порозкденная множеством (а), и что устойчивым подмножеством множества Е, порожденным (а), служит множество ан» всех жа, где ж пробегает и». Этот пример показывает, что следует остерегаться смешения устойчивого подмножества группы С, порэкденного множеством Х ~ С, с подгруппой, порожденной зтнм множеством: первое всегда содержатся во второй, но вообще отлично от нее.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
8,54 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее