Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 41
Текст из файла (страница 41)
курсами 184 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Н,3 !(гедложвник 7. Каковы бы ни были хй Е, уб Е и иб А, Ус, (х+ у) = Ус„(х) + к, (у). й, (ах) = а/с„(х). (8) (4) Действительтн с одной стороны, х+ у-.—. ~ й, (х+ у), з г лру гой, согласно (1), х+у=-~~' й, (х)+ ~' й, (у)= ~ (Л', (х)+ Ь, (у)); 6 из определения 10 следует тогда (3) для каждого ы Аналогично доказывается (4). Пусть модуль Е есть прямая сумма семейства (ЛХ,)ии своик подмодулей; если (УА)геь — любое разбиение множества Х и АХА означает (тоже прямую) сумму ~~~ М„то Е есть прямая сумма ВЗВА подмодулей Л'ы Обратно, если (М„),ег --- семейство подмодулей модуля Е такое, что сумма ХА каждого подсемейства (М„)мг, прямая, а Е есть прямая сумма семейства (Л'А)ьеь, то Е есть также прямив сумма семейства (ЛХ„),вь Для любого семейства (ЛХ„)ит А-модулей можно определить А-модуль, являющийся прямой суммой семейства своих подмодулей, соответственяо пзоморфных модулям ЛХ„; достаточно взять в произведении Ц ЛХ, модулей М„подмодуль М', являюмт щийся сулнмой модулей-компонент М; (и' 4), которая будет очевидно прямой; допуская вольность речи, мы будем (если это ие сможет привести к путанице), отождествляя каждое М„ с модулем ЛХ„', отыеченным тем же индексом, называть М прямой суммой семейства (ЛХ,)„у, если Х конечно, то ЛХ' совпадает с произведением 11 М„модулей ЛХ„.
Если все ЛХ, совпадают с одним ыг и тем же модулем ЛХ, то их прямая сумма обозначается ЛХИ'. Пгедложенив 8. Пусть (М„) — семейство подмодулей модуля Е и М вЂ” прямая сумма этого семейства. Тогда сумма Х подмодулей М, игоморфна некоторому фактормодулю модуля М. Действительно, каждый элемент из М имеет вяд (х,), где х, бМ, для каждого ~ и х„=О для всех кроме конечного числа мод, лм индексов. Поставив ел(у в соответствие элемент ~, х, суммы ст'. сгс в силу формул (!) и (2) и предложения 5 получим прсдставление М на сч', откуда н следует справедчивость утверждения (гл. !. Я 6. теорема 5). Отметим, наконец, что соли модуль Е есть нрныая сумл(а ссыейства (ЛХ,)сгс своих подмодулей и каждьп( модуль Л1с обладает базисом Вс.
то объединение всех В, будет оазисом модули Е. 3 а и е ч а н и е. За исключением носэсднс( о сво((ство. вге определения и предложения, сформулированные и этом и', бев всяких нэыенений распрострвоясотс» пв любые коммуоганвоыс группы с операторами. ((, Модултс и!оуьна сьзсььг,стлссемтсььг ссснибитса(4ми !(сснятс(е примой суммы позволяет дать другое пстолкованис понятиям свободного семейства и базиса.
Для того чтобы семейство (а,) элементов унитарного А-модуля Е было свободным, необходимо и достаточно, чтобы нажд(сй иэ элеменспов а„был гвободнылс, а су.нма моногенных под.иодулей А о, (порожденных соответственно элементамн а,) — нря.мой. Предложение (!. Л(ля того чтобы унитарный А-модуль Е обладал базисом (ас)х,ь, необходимо и достат«чно, чтобы он был «зоморфен модулю А( !. (ь) Действительмо, отображение, относя(цее каждому хрЕ семейство Ях)хгь его компонент относительно базиса (ах)хеь модуля Е, в силу предложения 7 и определения базиса сеть нзоыорфнэм Е на А„ь!.
Обратно, пусть Л вЂ” произвольное множество и ех длн каждого ХЕс. — элемент ив А, , компонента которого с индексах( Х равна (ю единице е кольца А, а все остальные компоненты равны нулю; для каждого х= Ях) нз А( имеем х=- ~ 5ьех, так что эле- (И хее менты ех образуют базис модуля 4,; оп называется нанон((чески.ч (ь! баас(сом этого модули. Следствие. Моногснныи подмодуль Аа унитарного А-.ч«дуля Е, ссс(рожденный свободны.и элг..чентом аб Е, иэо.парфен А,.
!3' гл. )>,1 ) лннкйнля ллгквРА Пусть Т вЂ” произвольное множество; так как его отображение ( — + е, на канонический базис модуля А, взаимно однозначно, <т> то часто Т отождествляют посредством указанного отображения с этим базисом. Иныын словами, элементы модуля А( записы(т) еают в виде ~„. $>г вместо ~ $„е<.
При этом соглашении элементы (ет <е> модуля А<г) называют форлшльными линейными комбинациями (с коэффициентами из А) элементов л<ножества Т, а модуль А, <т> модулем, формальных ли>ссйных кол>бинаций (с коэффициентами кз А) элементов множества Т. Пгкдложкник 10. Пусть (а„),(> — любое непустое семейство влементов у>штарново А-модуля Е. Псдмодуль М модуля Е, порожденный семейством (а„), иэоморфен факторл<одулю модуля А, по .ео подмодулю ><>, образованному теми элел(энтими $„), (Х) для которых ~~, ~,а, =О.
Действительно, отнесение каждому элементу Я„) из А, зле(>) мента ~~ Ц,а„из Е, в силу формул (1) и (2) и предложения 2, В определяет представление и модуля А< ) на М. Так как, по своему ц) -1 определению, >г = и (0), то справедливость предлоя<ения вытекает из теоремы 5 з 6 главы 1. Допуская вольность речи, цодмодуль >)> модуля А, часто (г> яазывают модулел< линейных соотношений мелсду элел>ентами семейства (а,). 9.
Аннулнгпоры. Точные гиодулн, С>проенне моногенньт модулей Опгкдклкннк 11. Ашсуляторсм подмножества Р А-модуля Е называется множество тех влементов >яр А, для которых ах=О, каково бм ни было х~Р. Очевидно, аннул ягор любого множества Р < Е есть левый идеал кольца А. Если РС Е, 6С:.Е и Р<. <г, то аннулятор 6 содержится в аннуляторе Р.
Аннулятор объединения Ц Р„любо- МОДУЛИ го семейства (Р„) подмножеств модуля Е есть пересечение аннуляторов этих подмножеств. В частности, аннулятор множества Р есть пересечение аннуляторов его элементов. Сказать, что элемент модуля Е свободный, — все равно что сказать, что его аннулзтор нулевой, т. е. сводится к элементу О (гл. 1, 1 8, и' 5). В частности, так как каждый ненулевой элемент векторного прь. странства свободный (и' 6), то аннулнтор любого множества элы ментов векторного пространства, нз которых хоть один ФО, нулевой Аннулятор иодмодулл М модуля Е есть доусторонний идеал кольца А: действительно, если ах= — О для каткдого хр М, то также а(()х)=О для каждого хрМ и каждого ()р А, так что а() припал.
лежит аннулятору подмодуля М для каждого р к А. В частности, аннулятор а модуля Е есть двусторонний идеал кольца А. Обозначим через их для каждого а б А гомотетию х — ь ат. порожденную оператором а; рассмотрим отображение а — я и, кольца А в кольцо й всех эндоморфнзмов коммутативной группь: (без операторов) Е; аксиомы (Мп) и (Мцт) показывают, что зто отображение есть иргдстпавлгние кольца А в кольцо Е; прообраз нулевого эндоморфизма относительно этого отображения есть как раз анкуллтор а модуля Е; поэтому образ А при отображении а-ьих изоморфен факторкольцу А)а.
Мы называем модуль Е точным, если его аннулятор а пулевое, Пусть Š— пе точный модуль н и — произвольный элемент фактор- кольца А!о; для каждого хбЕ элемент ах будет одними тем же для всех и, прннгдлежаптнх классу а (юод а); обозначим его нх; лагко видеть, что отображение (а, х) - ах определяет в Е (вместе со сложекием) структуру точного модуля относвтельно факторкольца А/о; множество Е, наделенное этой структурой, называется точным модулем, ассоциированным с заданным А-модулем Е. Заметны, что каждый подмодуль А-модуля Е есть также подмодуль ассоциированного с Е точного модуля, и обратно.
Пгвдложвник 11. Лусть А — кольцо с единицей. Каждый унитарный моноггнный А-модуль игоморфен фактормодулю А,/а, гдв а — некоторый левый идеал кольца А; обратно, каждый фактормодуль модуля А, есть унитарный моноггнный А-модуль. )98 гл. ы, $ ! :п>н>>Аз нан алгивга Первое утверждение есть следствие предложения 10, принс пенного к случаю, когда 1 сводится к одному элементу: унитарнь>й А-модуль Е, порожденный элементом а, изоморфен А,!а, где а — апнулятор а. Обратное очевидно, ибо если а — левый идеал кольца А с единицей с, то модуль Л,)а порождается классом". е (жой а). Поэтому, в сиду теоремы 6 3 6 главы !, каждый подмодуль унитарного моногенного А-модуля Е нзоморфен фактормодулю 6(а, где а н 6 — левые идеалы кольца Л такие, что аС '(>; каждый факторлгодуль модуля Е изол>орфен факторлгодулю А,)г> и, значит.
сам является моногенным. Пе следует думать, что подыодуль ыоногенного модуля всегда являвгся моногенным модулем; например, неглавные ндеалм комму. тативного кольца А с единицей явля>отся немоногеняыми подмодулямл моногенного А-модуля А. У п р з ж и е н и я. $) Пусть А — произвольное кольцо и А ' —. кольцо, полученное путем присоединения к А единицы по методу упражнения 3 $ 8 главы П Показать, что структуру жобогоА-модуля Е можно рассматривать как получающуюся путем сужения до А области операторов структуры унитарного А '-модуля. Е, наделенное как той. твк и другой структурамп, имеет одинаковые подмодули. 2) Пусть Š— А-модуль н р — центральный элемент кольца А такой, что рх=-рех для каждого хбЕ (что, в частности, имеет место, если р — идсмаожент (гл.
П 4 4, л' 4) кольца А); показать, что Е есть прямая сумма своего подмодуля рЕ и подмодуля М, обравованного теми убЕ, для которых ру=О. В частности, если А обладает единицей е, Е есть прямая сумма унитарного подмодуля еЕ и подмодуля М такого, что аМ=>О) для каждого п8 А. 3) Моногенвый подмодуль, порожденный элементом а произвольного А-модуля Е. совпадает с множеством всех элементов вида па+ Ла, где л б Х и Л бА. 4) Пусть М н >у — - подмножества А-модуля Ь', и и и — нх аннуляторы, 'показать, что аннулятор пересечения М П >У содержит >а+и, н привести пример, где он отличен от ш+п.
5) Аннулятор подмножества Е произнедеапя ЦЬ', модулей Е, > сть пересечение аннуляторов проекций этого подмножества. 6) Аниулятор любого ненулевого элемента свободного унитарного А-модуля содержит лишь О н левые делители нуля кольца А; в частности, все элементы свободного А-модуля, где А — кож,цо без делителей пуля, свобопные. модули 190 7) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу. Показать, что модуль А» при н > 1 не может быть моногениым. [Вм.
1 Л, упражнение 8, и гл. П!, 1 5.) 8) Пусть .4 — факторкольцо с/(6), (г„г,) — канонический базис А модуля А' и ай 2г> л Згэ; показать, что хотя г, и г, образуют свободную систему, а н г„равно как а и гэ, образуют зависимые системы. 9) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу, по не допускающее тела левых отношений (см. гв. 1, 1 9, упражнение 8). Показать, что для всякого свободного элемента а унитарного А-модуля Е существуют элементы Ь=ра и с=уа мовогенного подмодуля, порожденного элементом а, образующие свободную систему. 10) Пусть А — кольцо с единицей, допусишощее тело левых отношений (гл. 1, 1 9, упражнение 8), и Š— унитарный А-модульб показать, что если (к!), ! „— свободная система в Е и элементы у, г таковы, что как х„, х>, у, так и х>, ..., зю " — зависимые системы, то также к>, ..., к>, у, г — зависимая система.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
