Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 44
Текст из файла (страница 44)
равен ~ Р1,. ЕО1 гл.п, ( 2 линвнная длгиБРА Действительно, поскольку все Нд с индексами )г чь ! аннулируются на ))гг, то для того, чтобы иии ~~~ ~идо)зд аннулировалось д=! на М,, необходимо н достаточно, чтобы и!ой!=(!. Еще более спецнализнруя наши предположения, допустим, наконец, что, с одной стороны, Е есть прямая сумма конечного семейства (М!)г<! -,„своих подмодулей и, с другой стороны, Е есть также пряман сумма конечного семейства (Ж )! „своих подмодулей. Предложенин 2 и 3 показывают тогда, что модуль .л (Е, Р) нзоморфен произведению тп модулей Х (Мз, Л ).
Говоря точнее, каждое линейное отображение и модуля Е в Е определяется своими т сужениями и, ва Мг, каждое же и! определяется л отображениями д, из=и,! по формуле иг(и)=~~ и.;(и); ид — линейное отображение М! в Ф!, и атв з=! игл отображений могут быть выбраны произвольно. Пусть С вЂ” третий Л-модуль, прямая сумма семейства (Р„), своих подмодулей, и е — линейное отображение Р в С, а (эд!) — соответствующие ему ир линейных отображений (где гд! — отобран!ение Ж! в Рд). Для каждого х 6 М! имеем п и с с(и!(*))=.~ "(и)г(*))= Х 'Х сд!(и (*)) !=1 г=! д=! Полагая вд! — — ~~ од! ь им, видим, что семейство, образованное тир линейнымв отображениями в!„, соответствует линейному отображению в=иа и модуля Е в С (см.
а 6, и' 4). 3 а м е ч а н и е. Все предыдущие определения и предложения (кроме определения структуры С-модуля в Х(Е, Е), следствия 2 предложения 3 н сделанных вслед за ннм замечаний) применимы беа изменения к произвольным коммутативным группам с операторами.
5. Эндоэаотзфтазмы лзодулл Пусть Š— А-модуль; в соответствии с общими определениями (гл. д, 3 4, и' 4), эндоморфиэм модуля Š— это линейное отображение Е е Е; таким образом, множеством всех этих эндоморфнзмов служит множество, которое мы обозначили Ж (Е,Е) и будем в дальнейшем для краткости обозначать с (Е). Очевидно, закон линейные Отоврлжения композиции (и, о) — » ив о определяет в Ж (Е) вместе со сложением структуру кольца, единичным элементом которого служит тождествонное отображение Е на себя. с (Е), наделенное, кроме того, внеяшим законом композиции (у, и) — » уи операторов у, принадлежащих центру С кольца А, и эндоморфизмов и модуля Е, есть кольцо с операторами (гл. 1, э 8, и' 2), ибо для любых двух андоморфизмов и, о имеем (уи) о=ив(уо)=у(ив о), Автоморфизмы модуля Š— это но что иное, как обратимые .тгмгнты кольца г, (Е); они образуют группу, которую обозначают С>1 (Е) и называют линейной группой модуля Е; при Е=А", ячесто 61.
(Е) ппшут 61„(А). Кольцо (без операторов) Ж(Е) есть подкольцо кольца б всех эвдоиорфязиоз адди ливней с>тяпы (без операторов) Е; ояо состоят яз тех элементов кольца е, которые нерестановввни св всеми ввмвтетивми модуля Е (гл. 1, 1 3, следствие 2 предложения 2). Кзк было уже отмечено (1 1, п' 1, и гз.
1, 1 6, п' 12), если кольцо А яекоммутзтявяо, гомотетяя модуля Е, вообще говоря, не является эвдоиорфизмом структуры модуля в Е. Если у принадлежит центру С кольца А, то гомотетия х- — »ух ест>, эндоморфизм модуля Е. Эти гомотетни называются центральными гомо>пгтиями модуля Е; они образуют нодкольцо кольца 'с (Е) и перестановочны со всеми эндоморфизмами в>одуля Е. Г! ря этом: Певдложвние 5. Если Е -- свободнь>й А-модуль, имс>ощий базис, содержащий нс менее двух элементов, то каэсдый зндоморфизм лсодуля Е, псргстановочный со всеми автоморфизмалси этого модуля, является центральной гомотетисй. Пусть (ах) — базис модуля Е и г' — эндоморфизм, перестаиовочиый со всеми автоморфизмами этого модуля. Зафиксируем какая-нибудь индекс Л, и пусть 1(ах)= — ухая+ ~ уь>,аи; для каждого изх индекса р~ Л обозначим через иьв автол>орфизм модуля Е, определяемый (следствие 2 предложения 3) условиями их (ая) =ах+аз, иь.„аа,==а, при т Ф р; записывая, что 1(иья(ах))=их (1(ах)), получаем ухи=О; поскольку это верно для всех р Ф Л, имеем 1(ах)=Узах дли каждого индекса Л.
ПУсть тепеРь ох длЯ каждой нары различных индексов (Л, р) означает автоморфизм модуля Е, >Ь и. втрое гл ы,хз 2ЛО ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ОПРЕДЕЛЯЕМЫЙ УСЛОВИЯМИ РХР (аь) — ат иь„(а„)=-аь И РХВ (а,.) = ав для всех т, отличных от А и (х; записывая, что з ( ихэ (ах)) == иъэ (У (ах)) получаем ух=-у, так что все ух равны одному н тому же элементу у б Л. Наконец, пусть и для каждого иб Л означает автоморфизм, определяемый условиями юы(ах)=аз —,сга„п и (а„)=ав для всех т Ф Х (где Х п (х — любые два фиксированных различных индекса); записывая, что у(юа(ах))=-ю () (ах)), получаем ау=-усв.
так что у принадлежит центру С кольца А. Тогда для каждого х = л $хах бЕ имеем х з (х) = ~~' ЕД (ах) = лз охрах =- л Уехах = Ух, х х х чеч и доказано, что ( — центральная гомотетия. Следствие Ь Если Š— свободный А-модуль, то центр кольца Х (Е) есть кольцо всех центральных гомотгтий модуля Е, которог тогда нзоморувно центру С кольца А. То, что каэкдый эндоморфизм, принадлезкахцнй центру кольца Ж (Е), является центральной гомотетией, в случае, когда Е илвеет базис, содеряхащнп не менее двух элементов, вытекает пз предложения 5; если Е нзоморфно А„то, поскольку каждый эпдоморфизм и модули Л, имеет вид ~ — > $св, где и= и (г), два таких эндоморфизма перестановочны тогда и только тогда, когда перестаповочпы 'их значения для $ = г, так что центр кольца Х (Е) и в этом случае образован центральнымп гомотетиями.
Остается показать, что если Š— свооодный А-модуль, то кольцо его центральных гомотетий изоморфно С; по отображение у †. ~рх, где врх — центральная гомотстия х †:- ух, есть представление С в Ж (Е), н срт — — О, имея своим следствием уах =- О дчя каждого элемента бааиса (ах) модуля Е, влечет у =О. Слгдствие 2, Если Š— свободный А-модуль, имекпций базис, содгрлсаи(ий нг менее двух элементов, то игнтром линейной группы влЬ(Е) слумсит группа обратимых центральных гомотетий модуля Е, изоморфная тогда группе обратимых элементов аентра С кольца А. 3 а и е ч а н в е. Это следствие остается еще верным для ыовогев- НОГО ввквгорнвгв простраНства К; но оао не распространяется на А- модуль А, с произвольным кольцом А, вбо можно указать примеры нексымутгтввных колец„каждый элемент которых пгрестаковочев ЛИНБННЫИ ОТОБРЛЖБНтгя 211 со всеми обратнмыми элементами кольца; 'так, этим свойством обладает тензорная алгебра векторного пространства размерности >1 (гл.
Ш. 4 4)., У п р а ж н е и н я. 1) Пусть Š— А-модуль и Р=) Г Р, — прог изведепие А-модулей Р,; показать, что Х (Е, Р) пзоморфно произведению Ц.й(Е, Р,). 2) Пусть Š— свободный А-модуль, 1' — произвольный А-мо. дуль, Л1 — подмодуль модуля Е, /т' — подмодуль модуля Р. Пусть. далее, à — подмодуль модуля й (Е, р), образованный теми линей.
ными отображениями и, для которых и(й/) г /у, и Г, — подмодул> модуля Г, образованный теми линейными отображенннми и, для кото. рых и (Е) г Л. Показать, что модуль Х (Е/М, Р//Ч) пзоморфен фвв. тормодулю Г/Г,. [Показать, что каждому линейному отображению Е в Р/Л можно наставать в соответствие класс (шой Г,) лннсйкыь отображений Е в Р.) 3) Пусть Р и Р— Л-модули к и — линейное отображение Е в 1 Показать, что отображение (х, у) -= (х, у — и (х)) модули ЕХЕ в себя есть его аатемерфизм. Иывестк отсюда, что если существуют о( бЯ(р, Е) и а 4 Е такие, что и (и (а))=а, то существует такой автомор. физм в модуля ЕХР, что в (а, О) =(О, и(а)).
4) а) Изоморфнзм и модуля Е в 11 не может быть левым делителем пуля в кольце Х (Е). б) Если Š— свободный модуль н и б Ж (Е) не является левым делителем нуля в Ж (Е), то и — пзоморфпзм Е в Е. в) Пусть С вЂ” подгруппа аддитивяой группы () рациональных чнсел, образованная рациокалькыми числами Л/ри, где р — фиксирг. ванное простое число, и пробегает множество всех целых чисел, О. а й — множество всех рациональных целых чисел. Пусть, далее.
Š— факгоргруппа С/Х. Показать, что эндоморфвзм *- рх Х-модуле Е не есть левый делитель нуля в Х (Е), .по не есть также нзоморфизк Е в Е. 5) а) Эндоморфизм и модуля Е на себя пе келяетса правым делетелем нуля в кольце Х(Е). б) Показать, что если Š— свободкый Х-модуль, то существуют его андоморфнзмы и такие. что и(Е)тьЕ, ко и не явлнется правым делителем нуля з Х(Е).
6) а) Пусть Š— свободный А-модуль н и, и — его эндоморфизмы. Показать, что если и(Е) Г' и(Е), то существует эндоиорфитм в модула Е такой, что и — -- и в. б) Пусть Š— Х-модуль упражнения 4в, и — тождественное отображенне Е на себя и и — эндоморфием х — «рх. Показать, что ~(Е) =- и (Е)=.Е, но Е не обладает никаким эндоморфнзмом в, дла которого бы и= и в. 14" 2! 2 'гинайнАЯ АЛГЕБРА гл. и, 13 7) Показать, что Е-модуль Х обладает зндоморфизмами и, ге -1 -1 такими, что л(0) =ге (О) —.— О, но не сущестлуег никакого зндоморфизме и, лля которого бм и= е ге.
й 3. Строение векторных пространств Относительно тел операторов, участвующих в рассмотрениях этого парагра(ба, не делаетсл никаких специальных предположений; они могут быть как коммутативными, так и некоммутативными. Х. Бавегоы вегспгорзгово тгросгггразгспгва Пгедложкник 1. Ели того чтобы семейство (аг) элементов векторного пространства было свободным, необходимо и достаточно, чтобы а„ни длл какого индекса к не было линейной комбинацией элементов а, с индексами Фк. Мы видели ($ 1, и' 6), что зто условие необходимо (но не достаточно) для любого унитарного модуля. Чтобы убедиться в его достаточности для векторных пространств, нужно только заметить, что соотношение вида )гкак+„~~~ ега,=О, где )егФО, равноьгя :ильно соотношению ая = ~ ( — Х~'Х,) а,. гФя Сформулированное условие можно выразить и иначе: для гого чтобы (а„) было свободным семейством, необходимо и достаточно, чтобы а„ни для какого к не принадлежало подпространспгву, порожденному элементами а, с индексами гак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
