Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Можно показать, что в этом случае при п ) 1 ие существует «аноничес«ого изоморфизма Е на его сопряженное, понимая под этам изоморфизм, зависящя11 ляжь от структуры векторного пространства Е (см. упражнение 16). В главе 1Х будут изучены язоморфизмы Е яа Е*, тесно связаяиые с теорией б«л«ьсбнмх форм на ЕХЕ. Пгедложеннв 6. Сопряженное к п-мерному левому векторному пространству Е над телом К есть и-мерное правое векторное пространство над К; каноническое отображение х — «х пространства Е в его второе сопряженное Еее есть изоморфизм Е на Еее. двоиствкнность Пгкдложкние 7.
Пусть Š— векторное пространство конечной размерности п; если >> — его подпростра»ство размерности р, то подпространсп>во г" сопряженного пространства Е*, ортогональное к И, имеет размерность и — р; подпространство пространства Е, ортогональное к У', совпадает с )г. Действительно, К' изоморфно сопряженному к Е/г' (предложение 4), а зто факторпространство имеет размерность п — р, значит, согласно предложению 6, и г" имеет размерность п — р.
Отсюда (вследствие отождествимости Е с Е**) вытекает, что подпространство г" пространства Е, ортогональное к $", имеет размерность р; а так как оно содержит И, которое тоже имеет размерность р, то они'совпадают. Пгкдложкник 8. Пусть >> и И> — надпространства конечно- мерного векторного пространства Е, а г" и И"' — ортогональные к ним надпространства е Е*. Подпространством в Ее, ортогональным к И+ И>, служит г" ПИ'", подпространством в Е*, ортогональным к г' ПИ>, служит г' + И .
Первая часть предложения является частным случаем предлои>ения 3. Для доказательства второй заметим, чтоподпрострапством в Е, ортогональным к г" + И", является г'П И>; отождествляя Е** с Е, заключаем из предложения 7, что Ф" + И"' есть надпространство пространства Ев, ортогональное к УПИ'. 6. Двойепзве>еноепчь д.ию проелввольннх вектпортеьех проетпринепчв Пусть Š— произвольное векторное пространство над телом К.
Предложение 7 обобщается следующим образом: Ткогкмл 1. а) Пусть И вЂ” подпространство векторного пространппва Е. Для того чтобы надпространство е Ев, ортогональное к Г, имело конечную размерность р, необходимо и достаточно, чтобы >> имело в Е факторразмерность р. б) Длл того чтобы подпространство в Е, ортогональное к заданному подпространстзу >>' пространства Е*, имело конечну>о факторразмерность р, необходимо и достаточно, чтобы >>' имело размерность р.
в) Пусть Я вЂ” множество всех подиространс>ив пространства Е, имеющих конечную факторразмерность, и $' — множество всех 2З0 гл. и, 14 ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА конечномернмх надпространств пространства Ее; отображение, относяи1ее каждому подиространству Уб ~~ ортогональное к нему подпространгтво Г6~', есть взаимно однозначное отобраэкение ~ на 5', обратное отобразкезсие относит каждому надпространству Г б $ ортогональное к нему подпространство а) Подпространство Г пространства Е*, ортогональное к подпространству Р пространства Е, изоморфно пространству, сопряженному к факторпростракству е1 'Р" (предложение 4); значит, если Е/У конечномерно, Г имеет размерность, равную размерности Е(У (предложение 6).
С другой стороны, если Г имеет конечную размерность р, то Е1 р не может быть бесконечномерным, ибо Р содержалось бы тогда в некотором подпространстве И' факторразмерности р+1 п Г содержало бы подпространство И" пространства Е*, ортогональное к И', имеющее размерность р+ 1, что невозможно.
б) Пусть à — р-мерное подпространство пространства Ее и (аз)1<1<» — его базис. Рассмотрим отображение х — э ((х, а1))1<1<» пространства Е в К»; зто — линейное отображение и ранга -1 р'<р. Подпространство у=и(0) есть не что иное, как подпространство пространства Е, ортогональное к Г; в силу предложения 10 з 3, оно имеет факторразмерность р'<р. Согласно а), подпространство в Е*, ортогональное к Р', имеет размерность р', так как оно содержит Г, то они необходимо совпадают, и р'=р. Обратно, предположим, что подпространство К пространства Е, ортогональное к Г, имеет конечную факторраамериость р; тогда, согласно а), ортогональное к К надпространство У" в Ее имеет размерность р; так как оно содержит Г, то Г конечномерно, и следовательно, факторразмерность К равна размерности Г.
в) При доказательстве утверждения б) мы уже видели, что если à — подпространство в Ее размерности р и Р' — ортогональное к нему подпространство в Е, то Г совпадает с подпространством в Е*, ортогональным к Р. Точно так же, если Г— подпространство в Е, имеющее факторразмерность р, то ортогональное к нему подпространство Г в Ее имеет размерность р, значит, надпространство Г в Е, ортогональное к Г, имеет факторразмерность р; поскольку оно содержит р, они совпадают. 231 ДВОЙСТВЕННОСТЬ Тем самым два отображения, рассматриваемые в третьей части теоремы, действительно взаимно однозначны и обратны друг к другу.
3 а и е ч а к и я. 1) В силу предложения 2, два взаимно обратвые отображгяия, определенные в теореме 1, являются убиевююими. когда 5 и 0' упорядочены по включению; поэтому оки откосят сумме (соответствекко пересечекято) двух подпростравств пвресечеяие (соответставвяо сумму) соответствующих им подпростргястг (обобщевие предложения 8). 2) Первая часть теоремы 1 показывает, в частности, что если совряжеяяое Еч к векторному пространству Л квнечномерна, то гто же верно и для л: достаточно применить теорему 1 к случаю, когда и = (0).
Теорема 1 позволяет охарактеризовать гипгрплоскости векторного пространства Е: Пгкдложкник 9.,7лл каждой гипгрплоскости Н векторного пространства Е существует линейная форма х,' на Е такая, что Н=х,(0); для того чтобы линейная форма х'б Е* обладала тем -1 свойством, ипо Н = х' (0), необходимо и достаточно, чтобы х' = х,'и, где ссФО. Обратно, для каждой линейной формы х'ФО на Е -1 подпространство х' (0) есть гипгрплоскость.
Справедливость этих утверждений сразу следует из теоремы 1, примененной к случаю р=1. Коли Н вЂ” гиперплоскость и х,' — любая линейная форма, -1 для которой Н = х,' (0), то Отношение х,' (х) = О, характеризующее элементы хбН, называют уравнением гипгрплоскости Н. Более общим образом, если (х'„) — семейство ненулевых линейных форм на Е и г' означает пересечение семейства гиперпло- -1 скостей х'„(0), то отношение «каково бы ни было 1, х'„(х)=01 характеризует элементы хб К; говорят, что отношения х'„(х)=0 образуют систему уравнений надпространства К В силу предложения 9 3 3, каждое подпространство векторного пространства Е может быть определено системой уравнений.
Пусть, в частности, г' — подпространство конечной фактор- размерности р, так что ортогональное к нему подпространство К', по теореме 1, имеет размерность р; если (а,') — его базис, гл. и, $4 232 ЛИНЕЙНАЯ ЛЛГКБРА то у есть пересечение р гнперплоскостей аг (О); иными словами, $ р уравнений а,'(х)=0 (1<1<р) образуют систему уравнений надпространства (г, левые части которых являются линейно независимымн формами. Отметим еще, что предложение 9 93 равносильно следующему утверждению, обобщающему часть утверягдения в) теоремы 1: Пгкдложкник 10. Пусть У вЂ” произвольное надпространство векторного пространства Е; если г" — подпространство в Е*, ортогональное к Е, то подпространство в Е, ортогональное к К', совпадает с г'.
Действительно, г' есть множество тех линейных форм х', для 1 которых У~ х' (О); принимая во внимание предложение 9, видим, что надпространство в Е, ортогональное к У', есть пересечение всех гиперплоскостей, содержащдх у, и, значит, совпадает с у. 3 а м е ч а и и е. Для подпрострапстз пространства Е* не существует аяалога предложения 10; если г" — подпростраяство в Е', имеющее бе«в«печную размеряость, то надпространство в Ь""', ортогояальное к подпростраяству г" пространства Е, ортогональному к г', может яе совпадать с Г (упражяеяле 9) «). Наконец, если принять во внимание предложение 9, из третьей части теоремы 1 вытекает, что если надпространство У векторного пространства Е есть пересечение конечного числа гиперплос-! костей х; '(О), то каждая линейная форма на Е, аннулируюгцался на У, есть линейная комбинация форм х,'.
7. Лннейные тгравненпя Пусть Е и Р— А-модули. Каждое уравнение вида и(х) = у„ где неизвестное х принимает значения из Е, и — линейное отображение Е в Р и у, — заданный элемент из Р, называется линейным уравнением; у«называется свободным членом (или правой «) Как мм позже угяаем, можно, наделяя Е и Е" надлежащими топологпямя к рассматривая в Е и Ь" лишь подпростраяства, «амппутие в ятях гопологпях, восстановить полную скммгтршо в свойствах Ь' я Ь'* также в случае, когда Е бескояечномерво. гзз двонстввнность частью) этого уравнения; линейное уравнение, в котором уе=О, называется однородным.
П р и м е р ы. 1) Линейное уравнение и (х) = у„в котором и— линейная ьборма на Е (и, следовательно, Р= А), называется скалярным. Система уравнений (7) (х, х„) = й„ (е б 1), где (х,'),ы — заданное семейство линейных форм на Е, (Ч1)мг— заданное семейство элементов из А, имеющее то же множество индексов, а неизвестное х принимает значения ид Е, называется системой линейных (скалярных) уравнений или просто линейной системой; элементы Л, называются свободными членами системы; если все онн равны нулю, система называется однородной. Система (7) линейных уравнений равносильна одному линейному уравнению и(х) = у„где за Р принято А~, за у принято (тв), а и означает отображение х — ь((х, х',)) модуля Е в Р.
Более общим образом, каждая система линейных уравнений ", (э) =у, (е б 7) где и,— ликейкое отобРажение Е в модУль Ро а У, (Лла каждого ~ б 1) — звдеквмй элемент иэ Ро разяоскльяа одному линейному уравнению к(х)=у, где и — отображение (е) модуля Е в Р=~~Рв~ а в=-(у,). Пусть Š— унитарный А-модуль, обладающий базисом (аь)ьеь. Если положить х = ~ $ьаь н ам = (аю х'„), то система (7) примет вид Х эьаь =Ч, (ьб1). (8) хеь Обратно, отыскание семейства ($ь)ьеь скаляров такого, что $ь = О для всех кроме конечного числа индексов Х и соотношение (8) выполняется для каждого ь р 1, равносильно отысканию решения системы линейных уравнений (7) с Е=А~~~, х= ~~' ааааа (где (аь)— ь канонический базис прямой суммы Е) и х'„, означающими гл.
и, 14 234 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА соответственно линейные формы х — + ~~~ зьаь„, $А называются нсиз- А вестпяыми системы (3), аа„— ее коэффициентами. В случае, когда кольцо А некоммутатввно, во избежание всяких недоразуменнй систему (8) называют системой левых скалярных линейных уравнений. Аналогично система ч~~ аАДА=Ч„(сб1) АЗЬ называется системой правых скалярных линейных уравнений, относительно неиэеестных зь (лншь конечное число которых отлично от нуля); аьл по-прежнему называются коэффициентами, ц, — свободными кленами такой системы, которая, впрочем, сводится к системе вида (8), если считать $А, в), в а „прянадлежащвмн кольцу Ае, прсепивопвлагкнсму А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
