Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Действительно, согласно (12), атно>пение «(и (х), у') =0 для каждого хс Е» равносильно отнопгению «(х, 'и (у'))=0 для кая«дога хЕ Е», т. е. отнов>ению 'и(у')=О. В случае, когда Е и Р— векторные пространства, из предложений 13 и 10 вытекает следу>ощая харакп>еристика подпространства и (Е): Теогеыл 3. Пусть и — линейное отображение векторного >ространства Е в векторное пространен>во Р и о='и — сопряженное отображение Р" в Е*. Для тово чтобы уравнение и(х)=у» имело хотя бы одно решение (т. е. чтобы у ба(Е)), необходимо и достаточно, чтобы у, было ортогонально к подпрострапству -1 Г= о (0) пространен>ва Р*.
Действительно, согласно предложению 13, У' есть надпространство в Р*, ортогональное к и(Е), и значит (предложение 10) и(Е) есть надпространство в Р, ортогональное к У'. ь,ледствие. Для того чтоб»1 линейное отображение и векторного пространства Е в векторное пространен>во Р было отображением Е на Р, необходимо и достаточно, чтобы 'и было игоморфиэмом Р* в Ев. й4О гл.
и, 14 ЛИНЕЙНАЯ АЧГКБГА Будем далее предполагать, что Е и Р— векторные пространства, и сохраним обозначения теоремы 3; в силу предложения 5, сопряженное к подпространству и (Е) пространства Р нзоморфно Р*/1и (поскольку и(Е) обладает в Р дополнением); но, согласно определению У', Ре/У' изоморфно 'и (Р*); таким образом: Тиогвмл 4. Если и — линейное отображение векторного пространства Е в векторное пространство Р, то сопряженное к надпространству и(Е) пространства Р изоморфно подпространству 'и (Р*) пространства Еь. В частности, если и — отображение конечного ранга, то и и 'и имеют одинаковый ранг. МО.
Контрагредиентпньсе изоморфизмьс Пгкдлонсвнис 14. Пусть и — изоморфизм модуля Е на модуль Р; тогда 'и есть изоморфизм Р* иа Е*; если о — изоморфизм, обратный к и, то 'о — изоморфизм, обратный к 'и. Действительно, так как х'=у'о о влечет у'=х'о о, то и есть изоморфичм Р* на Е*, а 'о — обратный вму изоморфизм. Опгвдвлвник 6. Пусть и — изоморфизм модуля Е на модуль Р.
Изоморфизмом, контрагредиентным к и (кли отображением, контрагредиентным к и), назьсвасот изоморфизм й, сопряженный к изоморфизму, обратному и (равный, согласно предложению 14, нзоморфизму, обратному к 'и). Таким образом, изоморфизм и определяется тождеством относительно хб Е и х' б Е* (и (х), й (х')) = (х, х ). (16) Если Е и Р обладают конечными базисами н, значит, отождвствнмы каждое со своим вторым сопряженным, то и есть отображенив, сопряженное к 'и, и, значит, изомбрфизм, контрагредиентный к и.
У п р а ж н е и и я. С) Пусть А — кольцо без делителей нуля. Показать, что если Š— А-модуль, имеющий ненулевой аннулятор, то сспряясевиый модуль Е* сводится х О. 2) Показать, что модуль, сопряженный н полю 9 рациональных чисел (рассматриваемому нак Х-модуль), сводится и О. 3) Показать, что прообраз нуля стпосительио канонического отображения х -~ х А-модуля Е в его второй сопряженный Еьч есть ДВОЙСТВЕННОСТЬ 24( подмодуль Е„в .Е, ортоговальный к Е". Привести пример, где Е» и Е, не сводились бы к О.
(Рассмотреть модуль, содержащий алемент, в аннуляторе которого имеется элемент, пе являющийся делителем нуля.) 4) Пусть Š— модуль, М вЂ” его подмодуль и М' — подмодуль в Е*, ортогональный к М. Пусть, далее, х,' для каждой линейной формы х' на Е есть сужение х' на Л1; отяошенпе х' = узз равносильно отношению х' — у' б М", х' — х' есть линейное отображение Е* з модуль М*, сопряженный к М, а ассоциированное взаимно однозначное отображение есть взоморфизм Е»1М' в М».
Привести пример, где этот изоморфизм не отображал бы Е»1М' на М», т. е. где существовала бы линейная форма на М, не продолжаемая до линейной формы аа Е. (Принять Е=.4, где А — кольцо целостности, и в качестве Л1 взять главный идеал кольца А, отличный от А.) 5) Пусть Е означает А-модуль, а Е, — его подмодуль, ортогональный кЕ*; привести промер, где Е = (О'„но существует подмодуль М модуля Е такой, что подмодуль Л1" в Е, ортогональвый к подмодулю М ' в Е», ортогональному к М, отличен от М. (См. упражнение 4.) 6) Пусть Л' — модуль, являющийся прямой суммой своих подмодулей М и 1»'.
Обозначии через Е„(соответственно М„Л'») подмодуль в Е (соответстненпо и М, Е), ортогональвыв к Е» (соответственно к М*, Л'»); пусть, далее, М' (соответственно 17') — подиодуль в Ь'», ортогональный к М (соответственно к 1т), и М" (соответственно )у")— подмодуль в Е, ортогональный к М' (соответственно к Х'). Показать, что Л»=М»+ У» Ме:=М П 1У 1У»= )о П М М"=М+ а1»=М+Ее 7) Пусть Р п И' — подпрострапства произвольного векторного пространства Ь', а Р' и И"' — ортогональные к ннм подпростраяства сопряженного пространства Е*.
Покааать, что подпространством в Е», ортогональным к У г) И', является Р'+И". 8) Привести пример модуля Е, обладающего подмодулями М и )У таквмн, что подмодуяь в Е», ортогональный к М П )У, отличен от М'+)У', где М' н Л" — подмодулн в Е*, ортогональные соответственно к М и Д~. (Взять Е=-А», где А — кольцо беа делителей нуля, обладающее единицей, во не допускающее тела левых отношений (см.
гл. 1, 9 9, упражнение 9).] »9) Пусть Š— бесконечномерное векторное пространство. Показать, что: а) Каноническое отображение х — х простраяства Е в Е»» есть иаоморфизм Л в Ь»*, но не отображает Е на Е'*. б) В Е» существует бескокечвомерное подпрострапство Г' такое, что подпространство в Ь'*, ортогональное н подпространстеу Р в Е, ортогональному к Р', отлично от Р'.
(Принять за И' подпростравство, порожденное координатными формамн, соответствующими базису пространства Л'.) Вывести отсюда существование такого бесконечного семейства (1',) подпространств пространства Е, что подпрострапство н. Взрезая ЛИНЖЙНАЯ АЛРББРА гл. ы. 5 в Е*„ортогональное к П Гп отлично от ~~ У(, где У, — подпроз з странство в Ее, ортогональное к У,. в) Показать, что з Еэ существуют такие бесконечвомерные подпространства г' и И", что подпространство в Е, ортогональное к $" Г) И", отлично от У+И', где г' и И' — подпространства в Е, ортогональные соответственно к г" н И". (Использовать б).) 10) Показать, что теорема 2 для частного случая ванечкой системы линейных уравнений есть следствие теоремы 3.
Напротив, для линейкой системы (7) конечного ранга, образованной бесконечным множеством уравнений, критерии, получаемые путем применения теоремы 2, с одной стороны, и теоремы 3, с другой (еслн принять за и отображение х (<х, х,1) и взять у,=(г)„)), различны. (Заметать, что при каноническом отобРажении на свое втоРое сопРЯжение Кл<г) отождествляется с подпространством сопряженного к Кг и что, с другой сторояы, подпространство сопряженного к К,, на котором аннулируется 'и, имеет факторразмерность г.) 11) Пусть и — линейное отображение модуля Е в модуль Р и и= 'и; показать, что для каждого подмодуля М модуля Е подмоду- -1 лем в Е*, ортогональным к и (М), служит и(М'), где М' — подмодуль в Е*, ортогональный к М; для каждого подмодуля У' модуля Р" — 3 подмодулем в Е, ортогональным к э(Ж'), служит и(Д<), где Ж- подмодуль в Е, ортогональный к )т'.
12) Пусть Е и Р— векторные пространства, и — линейное отображение Е в Р, У в подпространство пространства Е и à — подпространство пространства Е*, ортогональное к У. Показать, что сопряженное к и(У) изоморфпо факторкространству <и(Р")/(Г П'и(Р*)). Если И" — подпространство в Р*, для которого 'и (И") ковечномерно, а И" — подпространство в Р, ортогональное к И', та 'и (И") ивом орфзо сопряженному к факторпространству -(ЕИИ П.(Е))- 13) Пусть и — линейное отображение векторного пространства Е в векторное пространство Р. Для того чтобы и было изоморфизмом Е в Р, необходимо и достаточно, чтобы 'и было отображением Р' на Е*.
(Для установления необходимости условия показать, что для любой линейной формы х' на Е и базиса (а,) пространства Е существует линейная форма у' на Р такая, что <а„,х')=<а„'к(у')) для каждого ь) 14) Пусть М вЂ” простой А-модуль. а) Если аМ=(0) для каждого а б А и М состоит из р элементов (где Р— простое; см. $ 1, упражнение 20), то модуль, сопряженный к М, изоморфев правому идеалу кольца А, образованному всеми элементамя Р-го порядка правого аниулятора атого кольца. 243 сулккнив т1лл а скалягов б) Если М=Аа для некоторого а Р М ($1, упражнение 20) н а — аннулятор элемента а, чо л~одуль, сопряженный к М, изоморфен правому аннулятору Ь множества а в 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
