Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 53
Текст из файла (страница 53)
так как ц =-1 для некоторого х, то Х($)=(А, и следовательно, Х(~т),)=ХЯ)ть для каждого индекса ь, каждого $~ К и каждого !~вы; это означает, что коьшоненты каждого первичного элемента из У принадлежат у(гй), откуда, принимая во внимание определение 2, н вытекает справедливость предложения. Следствие. Если еК вЂ” некоторое множество таких изоморфизмов структуры тела К на ппрутпуру его подтела, что !(У) С, У для каждого ХЕ ввв, то каждый элемент ассоциированного с У подтела тела К инвариантен относительно всех изоморфизчов !чья. Теперь мы в состоянии решить вопрос, поставленный в начале этого и'. Теогемл 3. Пусть К вЂ” тело и К (К) — кольцо зндоморфизмов его аддитивной группы, наделенное одновременно ссоей струюпурой левого векьпорного пространства над К, а) Пусть Х,— подтело тела К; для того чтобы кольи,о зндоморфизмов 2'(Кг) правого векторного пространства Кь над Х было (левым) векторным подпространством в К (К), имеющим конечную размерность и над К, необходимо и достаточно, чтобы Х, имело в К индекс и.
б) Пусть вф — подкольцо колъиа $ (К), содержащее тождеслыенное отображение К на себя и являющееся (левым) векторным подпространством в К (К) над К; для того чтобы подтело у (в4) тела К, ассоциированное с вл, имело в К конечный индекс и, необходимо и достаточно, чтобы я бьто размерности и над К. в) Пусть Ф вЂ” множество всех подтел Х, конечного индекса тела К и Ч' — множество всех подколец,у кольца К(К), содер- ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА гл. ькзз жащих тождественное отображение К на себя и являющихся нонечномерными (левыми) векторными подпространсгпвами в В (К) над К, А' -» .с (Кь) еспьь взаимно однозначное отображение Ф на Ч', имеющее своим обратньзм отображение еУ вЂ” » т (ззу). а) Заметим прежде всего, что каждая линейная фор.ча х на векторном пространстве Кь есть линейное отображение Кь в Х,ь К и, значит, зндоморфизм векторного пространства К, .
Предположим, что Кь имеет размерность п над ь, и пусть (аь)~ ья„— базис Кь, а (а';) — сопряженныйбазисв Кь. Покажем, что (а() есть также базис (левого) векторного пространства б (Кь) над телом К; действительно, для каждого эндоморфизма и этого тела и каждого элемента х=~ ~аДз имеем и(х)=~~.и(аь)Ц= з 3 = ~ и (а,) а (х); иными словами, в векторном пространстве Х (Кь) над К и= ~ и(а,)а(, и значит, элементы а,' порождают Х(КА): при этом онн линейно независимы в б (Кь), ибо ~ Л,а,'=-0 (Л, б К) означает, что ~~~Лза((х)=О для каждого хбК, и в частности, з Я~ Льа,' (аз) = О, т.
е, Л;=О, для каждого индекса ~'. Эта последняя часть рассуждения сохраняет силу также в случае, когда К~ обладает бесконечным базисом (а,), и показывает, что в этом случае координатные формы а,' линейно независимы в Х(Кь), так что Ж(К„) в этом случае бесконечномерно над К.
б) Покажем, что если ьФ вЂ” подкольцо кольца К(К), содержащее тождественное отображение К на себя (служащее 'в д(К) единицей) и являющееся и-мерным (левым) векторным пространством над К. то тело 1 =у (еХ) будет иметь в К индекс п'< и; отсюда будет следовать, что ззь', которое (по определению подтела Ь) содержится в с' (Кь), будет, согласно а), иметь размерность ч- и' и, следовательно, что и'=и и Х(Кг.)=Ф. Пусть дз (1 < ь<п-"-1) — произвольные и+т элементов из Кь, мы покажем, что они образуют аависимую систему в Кь, чем будет доказано, что размерность Кь не превосходит п. Рассмотрим 255 сужение тв>>А скллягов отображение и (и(Ь>)) пространства М в левое векторное пространство К,".+'; зто — линейное отображение, и его ранг (п, поскольку,а и-мерно.
Пусть У вЂ” образ вй при этом отображении; (> есть надпространство в К~+', имеющее размерность а и. В обозначениях предложения 10 (и прп отнесении К,"+' ь его каноническому базису), для любой пары эндоморфизмов и и и из е>е имеем тогда (0 (и (6,))) =- (и (и (6,))) б Г, поскольку о о и б вУ; иными словами, о(У)с 1> для каждого эндоморфпзма пав>Х; значит, согласно предложению 10, тело Х=-у(е>>() содержит подтело тела К, ассоциированное с У (относительно канонического базиса з К,"+'). Согласно теореме 2, существует система уравнений подпространства )>, все коэффициенты которой принадлежат Х;, следовательно (поскольку >> имеет размерность ..и), существует хотя бы одно семейство ()ч), состоящее из и+1 элеиентов тела Х, не всех равных нулю, такое, что ~ и (Ь,) )ч=-0 для каждого зпдоморфизма ибьХХ; согласно определению подтела Х=-~(М), зто соотноженне может быть записано также в виде и(~~', Ь,.Х,.) =0; беря, в частности, за и тождественное отображение К на себя, получаем ~ Ь,.Х,.=О, чеи к доказано., что 6, образуют в Кь зазн- симую систему.
Обратно, если предположить ь>Х таким, что К„имеет конечную размерность и, то М, котороо содержится в Ж (Кь), в силу а), конечномерно, и значит, по предыдущему, размерность Кь равна размерности ьй. в) При доказательстве утверждения б) мы видели, что если я б Ч" и Х=х( У), то Ж (К>„)=-вв'. С другой стороны, если Х,бФ имеет в К конечный индекс п, то евй=,ю (К>) имеет размерность и над К, и значит, тело Х ' =->( (М) в К имеет индекс и; так как Х С Х.', то, согласно следствию предложения 1, отсюда вытекает, что Х' имеет размерность 1 над А.
т. е. что Х,' = Х.. Слздствиз. Š—.-Х (Кь) есть убывающее отображение Ф на Ч' (упорядоченных по включению). Если Х, Х' — подтела понечнис инде>гсов тела К, то подтело Х," тела К, порожденное множеством Х,()Х', будет конечного индекса в К, а Ж (Кь-) будет пересечением гл.
И,)3 ЛИНЕИЕЗАЯ АЛГЕБРА Х(КБ) и о (Кь ); если при этом и тело ЕПЕ' — конечного индекса в К, то л,' (Кь[)ь ) есть наименыиее принадлежащее Чг кольцо, содержащее Ж (Кь) и л (Кь). То, что отношение ЬС А' Равносильно отношению .с (Кь) 1 З Ж(КБ), вытекает нз определения с (Кь) и теоремы 3; а отсюда сразу вытекает сформулированное следствие (то, что тело Ь, порожденное множеством Ь[)Е', будет иметь конечный индекс в К, если хотя бы одно из тел Ь, Ь' имеет конечный индекс, вытекает из следствия предложения 1). 3 а м е ч а я и я.
1) Отметим, гго доказательство теоремы 3 сохраняет силу, если в ее пунктах б) н в) не предполагать, что оя содержит единицу кольца Е (К), по потребовать лишь, чтобы удовлетворяло следующему (более слабому) условщо: для каждого ненулевого элемента $ нз К существует и б овт такое, что а ($) чь О. Тем самым зто условие для подкольца о11 в Р (К), являющегося конечномерным (лееым) векторным пространством пад К, влечет, что оп содернзнт единицу кольца Д (К); заметим, кроме того, что тогда оЖ вместе с каждым своим элементом и, обратимым в Д (К), содержит и обратный ему элемент г; в самом деле, для каждого Лб Х(оп) и каждого ЕбК инеем и(о(сьЛ))=ЗЛ, откУда и(о(ЗЛ) Л"~)=-2, т.
е. о(Цл) л-'=о(з), п, наконец, о (зл)=.о (з) л. 2) Наиболее интересные приложения теоремы 3 относятся к случаю полл К; как мы увидим в главе У, отсюда вытекают важные результаты теории Галуа. У п р а ж н е н и я. 1) Определим в произведении Л= ХХ (Х/(2)) структуру коммутативного кольца, приняв за алдитявный групповой закон проиаведенне алднтивных законов, заданных на Х и ХД2), и определив умножение формулой (п, е) (и', е')=.(оп', пе'+п'с+ ее'). Пусть Ао — подкольцо кольца А, образованное элементами (п, О), имезощее ту же единицу, что и А, и изоморфное кольцу Х.
Показать, что в Л,-модуле, порожденном каноническим базисом А-модуля А", существуют системы, свободные относительно А„и не свободные относительно А. *2) Пусть К вЂ” подтело тела К такое, что [К: Ко)=2, Е— векторное пространство относительно К, Е, — его подмножество, валяющееся векторным прострапстном относительно К„ и У вЂ” накболыпее надпространство векторного пространства Е (относительно К), содержащееся в Ге. Показать, что если И'е — надпространство в Ео (относительно К,), дополнительное к Р в Е„и И' — порожденное нм подпространство в Е (относительно К), то У () И'=(О), иными словами, сумма Ул-и' праман. [Показать, что если (эь]1 „.„— семей- СУЖЕНИЕ ТЕЛА СИАЛЯРОВ и ство элементов из И'„свободное относительно Кг, то ~~ Хаза может А=! принадлежать Е, лишь тогда, когда все Хь принадлежат К,; взяв элемент )ь из К, не принадлежащий К„представить коэффициенты Хь в виде за+Роз, где йь и оа пРивадлежат К„.) Предполагая Е конечномерным относительно К, показать, что если Е, и Е,' — векторные пространства относительно К„содержащиеся в Е, а У и )г' — наибольшие подпространства пространства Е (относительно К), содернгащиеся соответственно в Е, и Е„', то для существования автоморфизма пространства .Е, преобразующего Г, в Е,', необходимо и достаточно, чтобы Е„и Гг имели одинаковую размерность относительно Кг, а У и )г' — одинаковую размерность относительно К.
г3) Пусть Š— бесконечное множество индексов и К вЂ” проиавольное тело. Показать, что мощность каждого базиса векторного пространства К не меньше мощности множества 3) (Ь). (Пусть (и ) — семейство всевоаможных различных элементов иа Кь, кэжр нем дая координата которых равна О или 1, Š— порожденное им подпространство пространства К " и гг' Ь М таково, что (а ), . .ь р рг есть базис пространства .Е (гг 3, теорема 2); для каждого индекса 1рб Сд' пусть ар — — ~ ь а; проектируя это соотношение на сомнотем жители произведения К, показать, применяя теорему 1, что коэффициекты 3р„принадлежат подтелу К, тела К, порокгденному элементамн О и 1; заметив, что К„счетно, показазь, что Ь' и ЛХ равиомощны; в заключение воспользоваться теоремой 2 1 3 и упражнением 24 1 1,) В случае, когда мощность К ме превосходит мощности 3г(Е), показать, что каждый базис пространства К равномощен 31 (Е).
ь Вывести отсюда, что бесконечномерпое векторное пространство над полем никогда не изаморфно своему сопряженному. 4) Пусть К вЂ” кроиэвольное тело и б (К) — кольцо эндоморфизмов адднтнвной группы [без операторов) К; для каждого и р б (К) и каждого Х б К обозначим через рХ эпдоморфнзм $ и(Ц) группы К; показать, что сложение и внешний закон ();, и) -~ рХ определяют в л (К) структуру правого векторного пространства над телом К, Пусть А — произвольное подтело тела К.
Показать, что кольцо эндоморфизмов правого векторного пространства Кь есть (правое) векторное подпростралство в Е (К], наделенном указанной структурой, Показать, что в утверлгдеииях б) и в) теоремы 3 предположение, что г44 содержит единицу кольца б (К), можно, не нарушая справедливости заключений теоремы, заменить предположением, что гэь есть врагог векторное подпространство пространства б (К). И. Бгрегии гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
