Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ПУсть (Ед»»ср п (М»)»с», — раебаения ыпожеств индексов Ь н 1»1, далее, Е» (соответственно р;) — подъюдуль модуля Е (соответственно Р), нмеющнй своим бе завом (а» )ь (соответствевпо (Ь ) ), где 1 («(р (соответственно 1: у (д); Š— есть крямая сумма подмодулей Е» п Р— ярам я сумма подмодулвй Р .
Тем самым каждому ляивйвому отображению и модуля Р в Р соотввт- МАТРИЦЫ ствует (т 2, п«4) семейство (и„) линейных отображений, где и;;— отображение Е« в Р;, определяемое тем условием, что иц (х) для каждого х б Ег есть компонента и (х) в Рр Из этого определения сраау видно, что если положить М (и)=Х и М (и„) =Х„(относительно рассмотренных выше базисов в Е, р и Е», Г ), то матрица Х 1 будет не чем иным, как педматрицею матрицы Х, получаемою путем вычеркивания строк с индексами р б СМ, и столбцов с ивдексамн )«б СЬ»1 поэтому матрицу Х можно представлять себе в виде «таблицы матриц», или ы«ею»«ной матрицы из ц «строк» и р «столбцов», соответствую»цих разбиению (М ) множества индексов строк и (Б1) множества индексов столбцов: < Х„Х„... Х»Р х„х„...
х, Аналогично пусть ()уа)1 „— разбиение множества индексов еу н Сь — подмодуль модуля С, имеющий своим базисом (е ) м, С есть чч прнмая сумма подмодулей Сь. Матрица У=М(и) любого лияейного отображения э модули р в С таким же образом э»ожет рассматриваться как ялеточпая матрица из г строк н ц столбцов, образованная подматрнцамн («клеткамиэ) Уь»=М (эа;), где (еь,) — семейство линейных отображений, соответствующих отображению и и разбиениям (М;) и (1У1,). Если теперь рассмотреть матрицу Я=.
УХ отображения ю =- и «и, то ояа представится в виде клеточной матрицы иэ г строк и р столбцов, образованной подматрицами Яж, соответствующныя семейству (ю„,) линейных отображений, определяемых отображением ю и разбиениями (Е«) и ()У„). Но, согласно формуле (1) «2, ч ч» шь«= » (гь, им); поэтому 1'=1 Еа,= ~У„,ХЦ.
1 1 Иными словами, ккетачнак матрица (/ьг) кеаучаетеа путем абраеоеаниа «праиэеедениа» клеточной матрицы (Уь ) на клеточную матрицу (Х.1), как если б»» они были обычными матрицами, имеюэцими еоатеетстеенна УМ и Х 1 ««сими»а«ментами. Вычисление произведения УХ, выполняемое таким способом, называется «пакаетачным». Разумеется, чтобы эта операция была возможна, нужно, чтобы раабиение множества индексов стоабцае матрицы У было тем хе», что и разбиение множества индексов строк матрицы Х.
Формулы (2), дающие компоненты и(х) относительно базиса (6в), допускают следующее истолкование с помощью понятия гЛ, и, $ б 264 ЛИНЕЙНАЯ АЛГКБРА произведения матриц: каждый элемент х = ~~~~ аДА модуля Е опре- ХЕЬ деляет линейное отображение $ — эхе модуля Ав в Е (обозначенное в п' 1 $ 2 через 0„); этому отображению соответствует матрица из одного столбца М(0„) = (сх)хеь (относительно базиса Ав, образованного единичным элементом е, и базиса (ах) модуля Е).
Точно так же у=и(х) = ~„д„э)„определяет линейное отображевем ние О, модуля Ав в г, которому таким лее образом соответствует матрица из одного столбца М (Ос) = (г]„)„ем, пои(хс)=и(х)$, инымн словами, Ос=-исО„; перевод этого соотношения на язык матриц, в силу формулы (4), п приводит к формулам (2). Чаще всего, если можно не опасаться путаницы, элемент хб Е отождествляется с одностолбцовой матрицей М(0„) (образованной компонентами х относительно базиса (ах)); при этом соглашении формулы (2) объединяются в одной формуле и (х) = М (и) х.
(10) ЕУ. Квадратптгтле митпртгь]ьс Опгвдвлвнив 3. Квадратной матрицей называют матрицу, строки и столбцы которой имеют одно и то лсе множество индексов. х(вадратная матрица, имеющая и строк и и столбцов, называется матрицей и-го порядка. Когда говорят о квадратной матраце и-го порядка, ве указывая (общего) множества квдексов строк к столбцов, вод этим множеством подразумевают интервал ]1, л] натурального ряда. 3 а и е ч а я в е. Следует иметь в виду, что матрица кадА, у которой мкожвства Ь, М кядексов строк в столбцов ккеют сдлс и глс все число элементов, во не совладают, ве дол>яка считаться квадратной матрвцей', з частности, вровззедекве двух таких матриц нс сзределснс. Пусть Х вЂ” конечное множество индексов, А — кольцо с единицей е и Š— правый А-модуль, имеющий базис (ах)хеь, множеством индексов которого служит Ь.
Матрица М(и; (ах), (ах)) каждого зндомору]изма и модуля Е относительно двух базисов. совпадающих с (ах), квадратная; для краткости ее нааывают матрицей и относительно базиса (ах). 265 МАТРИЦЫ Слоясение и умнея<ение квадратных матриц, имеющих в качестве множества индексов строк и столбцов множество Ь из п элементов, определяют в множестве этих матриц (на основании формул (6), (7) и (8)) структуру кольца; если никакого недоразумения по поводу множества индексов можно 'не опасаться, определенпое так кольцо матриц обозначается просто М„(А).
Отображение и — » Л (и) есть игоморфизм кольца Х' (Е) эндоморфизмов модуля Е на кольцо М„(А). Единичный элемент кольца М„(А) отвечает при этом изоморфизме тождественному автоморфизму модуля Е; тем самым им слуя<пт матрица (бьз), где бьк — кронекеровский символ (з 4, п' 4). Там, где можно пе опасаться путаницы, эта матрица будет обозначаться 1„(или 1„, когда единичный элемент кольца А обозначается 1). Обратимые элементы кольца М„(А), называемые обратимыми матрицами, при изоморфизме и — »М(и) соответствуют автоморфизмам модуля Е. Примеры квадратных матриц. Е Диаг о н а л ь н ы е л~ а т р и ц ы. Элементы $ьь квадратной матрицы Х=($ь„), имеющие равные индексы, называют диагональными элементами, а семейство (сзь)ьеь — диагональю матрицы Х.
Матрицу, все не диагональные элемепты которой равны нулю, называют диагональной л»атрицвй; единичная матрица 1„диагональная, равно как и все ее кратные й1„=1„р, где о — скаляр (все диагональные элементы которых равны о); заметим, что, какова бы ни была матрица Х6 Аахм (где М вЂ” любое конечное множество индексов), (о1„) Х = оХ и, какова бы ни была матрица Амхь у( 1 ) у Если Х и У вЂ” диагональные матрицы, имеющие соответственно диагонали ($ь) н (ць), то сумма Х+ У есть диагональная матрица с диагональю ($ь+»)ь), а произведение ХУ вЂ” диагональная матрица с диагональю Яьт)ь); таким образом, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца М„(А), изоморфное произведению А" (или А"), а матрицы о1„образуют подкольцо кольца диагональных матриц, пзоморфпое А.
П. Диагональные клеточпме матрицы. Пусть (Ь;),, „— разбиекке ыкок»ества Л; каждая квадратная матрица, кл»еющзя Ь ыпожестзок впдексов строк к столбцов, может быть записана в виде»квадрзтко»Л клеточной матрицы», соответствующей одвслк гл. и, 1б ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА и тому же ревев«вше (Еч) множества индексов строк к множества индексов столбцов (п' 4): Х««Хм ° . Х«Р КажДаЯ из матРиЦ Хы есть квэдРатиаа матРпца, вмеэицаЯ йч своим множеством индексов строк и столбцов. Если теперь все матрицы Х;; с ~ =- 1 пиле«к«, то рассматрпваеМая клеточная матрица наЗЫваетсЯ два«скалки«а.
Квадратные матрицы, для которых указанная клеточная матрица (соответствующая аадапяому раэбиекию (Ь«)) диагональная, как вытекает из «поклеточпого«получения произведения двух матриц, образуют хельчо; легко Р видеть, что это кольцо иаоморфпо прои«в«лепим Ц Х(Е«) колец андо«=1 морфизмов подмодулей Е«модуля Е, имеющих своими базисами семейства (аь)Ась.. 111.
Матрицы подстановок. Пусть л — произвольная подстановка множества индексов А.; существует, и притом только оДин, энДомоРфнзм и„моДУлЯ Ь" такой, что ия(аь)= =ая«А«дЛя КаждОГО ййь' (З 2, СЛЕдСтВИЕ 2 ПрЕдЛОжЕНИя 3). Каково бы ни было )«б Ь, элемент матрицы Лт (ия), находящийся на пересечении столбца с индексом й н строки с индексом л(А), равон е, все же остальные элементы того же столбца равны нулю. Допуская вольность речи, матрицу Лт (ия) называют матриг)ей подстановки л. Очевидно, п~ матриц, соответствующих всевозможным подстановкам множества А", обратимы; при этом, поскольку для любых двух подстановок л, и множества Ь имеет место равенство и,ю = ик«ио, матрицы лт (и„) образуют мультипликативную группу, изоморфную симметрической группе Я„.
1У. М о помп азьпые матрицы. Каждая строка икаждый столбец матрицы подстановки содержат лишь один элемент ~ О. Квадратная матрица Е, облада«ощэя этим свойством, называется ленемиа.««вой. Пусть Сь — единственный ненулевой элемент )«-го столбца матрицы В и л(й) — индекс строки, иа которой находится этот элемент; яспо, что я есть подстаповка мкожества индексов Е, а  — проиэведепие матрацы Зт (и ) этой подстановки и диагональной матрицы с диагональю (Е ).
267 МАТРИЦЫ т'. Треугольные матрицы. В случае, когда множеством Ь индексов служит интервал [(, е] натурального ряда, жреугалькой матрицей называ|от кведретную матрицу к-го норядка, в которой ае =О при |'„х |; говорят такие, что ета матрица имеет нед своей диееенельм одни нули, Легко видеть, что треугольные матрицы образуют нодкольцо кольца Ые(А); оно очевидно содержит кольцо диагональных матриц. о. Хрансыонтеуеованная ма тртетеа Пусть Е и Р— унитарные правые А-модули, обладающие конечными базисами (аь)ееь и (6„)„ем.
Их сопряжснныс Е* и Ее являются левыми А-модулями; будем рассматривать их как правые модули над кольцом Ав, противоположным А (т 1, и' 1); базисы (а|) и (6,',), сопряженные соответственно к (аь) и (Ь„) (т 4, и' 4), будут также базисами для Ее и Ре, рассматриваемых как правые А'-модули. Пусть теперь и — линейное отображение Е в Р и М(и) = (ан|)бь А|еыхь — его матрица относительно бази.сов (аь) и (Ь„); найдем матрицу М('и) сопряжетюго отображения 'и (т 4, и' 9) относительно сопряженных базисов (Ь,;) и (а,'„). Опэкдвлкнпв 4. Пусть Х = (ань)ш, Юемхь — заданная матрица над кольцом А.
Транспонированной матрицвй или матрицвй, транспонированной по отношению к Х, называется матрица Х = (ргв)<ц ниьхм над кольцом Ае, противоположным А, такал, что рь„=а„ь для каждой пары (Ъ, р). Говорят также, что 'Х получается пх Х путем перестановки строк и столбцов (подразумевая при этом, что и структура кольца А заменяется одновременно противоположной структурой). Пгвдлоневнне 1. Матрица сопряженного отображения 'и относительно базисов (Ь,',) и (аь) равна транспонированной л|атрицв ,отображения и относительно базисов (аь) и (ЬР).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
