Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 58
Текст из файла (страница 58)
3 а м е ч а к и я. 1) )(ее кеадратнме матрицы, отличающиеся лишь порядком строк (или столбцов), эквивалентны, яо, вообще говоря, не водобн»ь Матрица, подобпал квадратной матрице Х=(5«»), получится, если подвергнуть одной и тей же подстановке о ' п строки и столбцы, т. е. если рассмотреть матрицу Х'=(ь»л), где а „для каждой пары индексов (1, )); действительно, легко видеть, что Х'=РХР ', где Р— матрица подстановки о ' (индексов базиса (е;) модуля Р). 2) Две подобные матрицы над одним и тем же телом К очевидно имеют одинаковый ранг, поскольку ани эквивалентны (предложение 9). Но здесь это необходимое условие уже ие достаточно для того, чтобы две квадратные матрицы над К были подобными; необходимые и достаточные условия в случае на»«К будут даны в главе У|1.
3) Пусть Х и Х' — ивадратные матрицы и-го порядка, записываемые в форме «диагональных» клеточных квадратных матриц (и' 5)» Х 0 ... О Х' 0 ... 0 О Х; ... О Х'.=. О Х, ... 0 0 0 ... Х О О ... Х' соответствующих аднел»у и тому зге разбиению мна»кества индексов 11,з) и для Х, н длз Х'. Если Х; и Х; длл ка»адата 1(1 41«р) подобны, »1 то Х и Х' подобны; действительно, если Х(=Р«Х«Р«для всех » (1 = » р), та, как показывает правила «паклетачного» вычислевня произведения (в'4), Х'=РХР', где Р, 0 ...
0 О Р ... О 0 О ... Ре ЗгятРИЦЫ У л р а ж н е н н н. 1) Пусть Š— унитарный правый А-модуль н А„— кольцо квадратных матриц г-го порядка над А. Определим па множестве Е' внешний аакон композиции, имеющий А, своим множеством операторов, обозначив через х,р, для каждого злемента з=(х;) .,-,, из Е' и каждой матрицы Р—.(а;;) из Л,, элемент у=(у,) из Е", в котором у;= ~" х,а,; (1.-.
1;.г). з=! Этот внешний закон есть закон адднтявной группы на Е', определяющий в зтом множестве структуру правого модуля относительно кольца А„. Показать, что для того, чтобы А-модуль Р допускал систему г образующих, необходимо н достаточно, чтобы А,-модуль Ег был моногенным. 2) Пусть А — кольцо с единицей, (Е«)ы; — разбиение интервала [1, л) натурального ряда и каждая квадратная матрица и-го порядна Х иад А представлена в форме квадратной клеточной матрицы (Х«1),) соответствующей одному и тому же разбиению (Е«) множества индексов строк и множества индексов столбцов. а) Показать, что матрицы Х, длн которых клеточная матрица (Х;,) «треугсльнал«, т. е. такая, что Х;,=0 при 1( 1', образуют лсдксльзо кольца М„(А).
Как можно охарактеризовать зндоморфизмы, которым соответствуют зги матрицы? б) Покавать, что если каждая из квадратных подматриц Хы (1 ( 1 ( Р) такой матрицы Х обратима, то и Х обратима, причем Х ' снова является треугольной клеточной матрицей. Доказать, что если А — тело, то зто достаточное условие обратимости матрицы Х также необходимо.
3) Пусть Л=-21(30). Показать, что у матрицы над кольцом А строки линейно неаависнмы, ко любме два столбца линейно зависимы. «4) Пусть Х вЂ” матрица из т строк и л столбцов над телом Х; показать, что ее ранг р(Х) равен наибольшему из рангов ее квадратных подматриц. (Пусть о(Х)=«и а„а«...., а, — г столбцов матрицы Х, обрааующне в Ел свободную систему; образовав базис пространства Ел иа зтихгвекторов и ш — «векторов канонического базиса(е;), показать, что компоненты векторов ан а„..., а, пот остальнымвекторам канонического бааиса образуют матрицу ранга г.) 5) Пусть Х вЂ” матрица из т строк и и столбцов над телом Л и г — ее ранг.
Показать, что ранг подматрнцы иа т строк к г столбцов, получающейся путем вычеркнванвя л — «столбцов матрицы Х, )~ г+« — л. ЛИНКЙНАЯ АЛГИВРА гл. т!, 16 6) Пусть Х=(а„) — матрица из л! строк и л столбцов пад телом К. Для того чтобы Х была ранга 1, необходимо и достаточно, чтобы в К существовали семейства (Х!)!м! из и!элементов, неравных все пуп!о, и ()ь ) 1 из л элементов, не равных все нулю, такие, что а;, )!!!с! для каждой пары индексов (!', )). з7) Пусть Š— правое векторное пространство над телом К и Н вЂ” его гнперплоскость.
Всяки!! эвдоморфнзм и пространства Е, оставлщощнй все элементы из Н ипварнаптпыми, дает при факторизации эпдоморф!юп одномерного факторпространства Е1Н, тем самым имюощнй внд з — зр(з), где р (з) б К н р (з))=Х !6(з) )!. Аатоморфисл! и, оставляющий все элементы нз Н инварнантвыми, называется сдоисол!, если соответству!ощий автоморфизм факторпространства Е,'Н есть тождественное отображение. и растяжением — в противном случае; если и — растяжеяие, то множество всех элементов р (з), являющееся классом сопряженных элементов (гл. 1, $ 7, и' 5) в мультиплнкативной группе К* ненулевых элементов тела К, называется классом растюкенин и.
а) Показать, что для каткдого растяжения существует, и притом лишь одна, дополнительная к Н прямая, инварнантпая относительно этого растяжении. — ! б) Пусть !р — линейная форма, для которой Н=ф (0); показать, что для каждого сдвига и существует одноаначно опредоленный вектор а 6Нтакой, что и (х)=э+а!р (з). Обозначая через Г(Е, Н) группу всех автоморфнзнов пространства Е, оставля!ощпх нпвариаптвым каждый элемент нз Н, показать, что сдвиги (относительно Н) образуют ее нормальную коммутативную подгруппу !8 (Е, Н), изоморфпую аддитивной группе Н; факторгруппа Г (Е, Н)/(З (Е, Н) иэоморфна Кз. в) Если Е иопечномерво, то для каждого сдвига и существует такой базис пространства Е, что в матрице и относительно этого базиса все диагональные элементы равны 1 и по крайней мере еще одия элемент =,.' О.
г) Показать, что Чситралисатср (гл. 1, 1 6, упражнение 13) группы О (Е, Н) в группе 01. (Е) автоморфнзмов пространства Е есть композпцяя 2(Е) О(Е, Н)=-6(Е, П) Е (Е) группы 6(Е, Н) и центра Я (Е) группы О(. (Е) (1 2, следствие 2 предложения 5). Едииственнымн автоморфизмамн. принадлежащямн этому централизатору и оставляющими ипваряантным по крайней мере один ненулевой элемент из Е, явля!отса сдвиги нз О (Е, Н). д) Показать, что нор.иализо!т!ор (гл. 1, 1 6, упраксненпе 13) группы 11 (Е, Н) в С1.
(Е) есть подгруппа ОП (Е), образовапнаи всеми автоморфизмами, оставляющими Н инвариантным. *8) Пусть Е(Е) — нормальная подгруппа группы С). (Е), образованная теми автоморфизмами и, для которых множество всех элементов нз Е, ппзарпаптпых относительно и, имеет конечную фактор- ылтвицы 281 размерность (если Е конечноыерно, тор(Е)--С[.(Е)). Пусть, далее, С(Е) — нормальная подгруппа группы С[ (Е), порожденная всеми сдвигами; она содержится в Р(Е).
а) Локазатьн что если Š— размерности я 1, то для каждой пары ненулевых векторов х, у из Е существует сдвиг или произведение двух сдвигов, переводящее х в у (иными словами, группа С (Е) транэитиэно действует в дополнении к (О) в Е). б) Пусть У и И' — гнперплоскости, хе=хе+Р— класс жоэ[ У, отличный от [г, и у,—.=уел И' — класс тод И', отличный от И'. Показать, что если Š— размерности 1, то существует сдвиг илп произведение двух сдвигов, преобразующее У э И' и хэ в у,. [Рассмотреть сначала случай различных [г и Иг.) в) Показать, что еслы Š— размерности ) 1, то любые два сдвига, отличные от тождественного отображения, являются сопряженными элекентами (гл. 1, [ 7, п' 5) еруппы Г(Е).
г) Показать, что если Š— размерности ) 2, то любые два сдвига, отличные от тождественного отображения, являэотся сопряженными элементами группы С (Е). [С помощью б) свести к случаю, когда гиперплоскости обоих сдвигов совпадают, и затем использовать а).[ д) Если Е двумерно, то для того, чтобы любые два сдвига были сопряженными элементами группы С (Е), необходимо и достаточно, чтобы подгруппа С группы К*, порожденная кеадратами всевовможных элементов ив К', совпадала с Хе. [Показаттн что если и — сдвиг, а а — элемент из Е, не инвариаптнын относительно и, н Ь=и(а) — а, то для каждого сдвига и', сопрялсенного к и е С (Е), имеет место равен.
ство и' (а) — а = ай+ Ьр, где р б С илн р = О; воспользоваться для этого теы, что во всякой мультипликативной группе элементы нри эр ы прка являются произведениями двух квадратов. Чтобы убедыться в том, что сформулированное условие влечет сопряженность в С (Е) каждого сдвига о со сдвигом и, свести рассмотрение к случаю, когда о(а)=ай г Ь.[ е) Если Š— размерности ) 1, то для того, чтобы растяжения и и и' бызы сопряженнымн относительно группы С (Е) (т. е.
чтобы существовал автоморфнзм о б С (Е), для которого и'= оио '), необходимо и достаточно, чтобы классы (упражнение 7) этих растяжений совпадали. [Использовать б).[ Вывести отсюда, что если класс некоторого растяжения содержится в коммутанте (гл. 1, 1 6, и' 8) группы К" то это [.аетяженне принадлежит группе С(Е). [Воспользоваться тем, Чта оио 'и г —.-о (ио 'и ').[ е9) а) Показать, что каждый автоморфизм и, приначлежащий Р (Е), есть произведение автоморфивма, принадлежащего С (Е), и, возможно, растяжения, гиперплосностью инвариантных элементов которого служит фиксированная гнперплоскость Нэ. [Провести индукцию по факторразмерностн надпространства элементов, инва рнантггых относительно и, используя 8а и Зе.[ .ч, 11, $7 о82 ЛИНЕЙНАЯ А'>ГБВРА б) Показать, что С(Е) содержит коммутант группы Р(Е) и, за исключением того случая, когда К=2>(2) и сиш Е=2, совпадает с ннм.
[При доказательстве того, что С(Е) содержит коммутант группы Р(Е), использовать а) и упражнениебе; для установления того, что С(Е), кроме указанного исключительного случая, содержится в этом комму- танте, показать. испольауя упражнения 7б и 8в, что при всяком представлении Р (Е) в коммутатпвную группу образом каждого сдвига служит нейтральный элемент.) х10) Показать, что если Š— размерности ) 2, то каждая нормальная подгруппа группы 6В(Е),не содержащаяся в центре 2(Е), содержит коммутант С (Е) группы р(Е), и что каждая нормальная подгруппа срулем С (Е), не содержащаяся в Е (Е), совпадает с С (Е).
[Показать, что если à — нормальная подгруппа группы П1. (Е) и и — автоморфизм, принадлеэсащий Г и не принадлежащий 2 (Е), то существует сдвиг х такой, что ю=э 'и гги оставляет ияеариантной некоторую гнперплоскость Н и не принадлежит 2 (Е); для этого воспользоваться упражнением 7г и показать с помощью упражнения 7б, что ю (х) — х для каждого х б Е принадлежит фиксированному двумерному надпространству. Доказать, далее, с помощью 7г, что либо ю есть сдвиг, либо существует сдвиг с, оставляющий инвариантным каждый элемент нз Н и такой, что сюс гю ' ие принадлежит 2 (Е). В заключение использовать 8в> аналогичное рассуждение дчя нормальных подгрупп группы С (Е) с использованиев> 8г.] 11) Пусть Х и У вЂ” матрицы из т строк и п столбцов над телом К> если существуют квадратные матрицы т-го порядка Р, Р, и квадратные матрицы л-го порядка »',, »',> такие, что У=РХ>',> и Х= — Р,УСЕ„ то Х и У эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
