Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 61
Текст из файла (страница 61)
то — ! ис является в Л квадратом; элементами квадратичного раса~прения Е, соответствующего у=" !,'будут тогда лолллеаслмс ~исаа (см. гл. т и Общ. топ., гл. У! П). 2" т егть квадрат ра - '- О. Рассмотрим тогда в Е новый базис. образованный элементами е,= —,1 1 й --г ) ., е.= — 1 1 — — о ); l имеем е,"=е,. е'.-'= е,, е,е,= е,е, =О: таким образом, Е есть пря,чая кол!ггоэицил двух полей Ае,, Аеа, изоморфиых А.
8" у = О. Множество а = А и есть тогда идеал в Е такой. что са = (О',, и факторалгебра Е)а изоморфна полю А, 'Если А --поле и веществепвмх чисел, элементы алгебры Е вад 11, ямою!пой базис (1, и), в котором ге =о, называют Вуалсными шслалги,, Л (ху) = Х (х) Л' (у), поо Л (ху) =-ху.ху=ххуу. (12) ")лемент х=а —. Ьо называется сопряженнмж к элементу х =- а „'.
Ьи алгебры Е; непосредственная проверки показывает, что отобран!ение х —.- х есть инволютивнмй (т, е. совпадаюп1ггй со своим обратным) автоморфивм алгебры Е. Имеем х+ х= 2ак А и хх=ат — Ь'кА; произведениехх называется нормой х и обозначается Лг(х). Имеем гл. ~к 1 7 .тинвннкя»лгкева 4. Примерес ссмгебр: х1х. Кеаиверннонас Пусть А — коммутативпое кольцо с единицей я Š— алгебра яад А„имеющая базис, обрааованный четырьмя элементами, первым нз которых служит единица алгебры Е, отождествляемая с единицей 1 кольца А, а остальные три элемента и, о, ш переиножаются согласно таблице и'=а, о'=р, ю'= — ар, ио= — ои=ю, осо = — ик7 = — ))и, юи = — ию = — ао, (13) где сс и )) — элементы из А, для которых ар Ф О.
Без труда проверяется, что эта таблица умножония удовлетворяот условиям ассоциативности. Определенная так алгебра Е, пекоммутативкия, если характеристика А не равна 2, называется алгеброй квалсернионов над А, соответствующей паре (а, р) элементов яз А, а ее базис (1, и, о, и) — каноническим базисом атой алгебры. Таблица умножения базиса, образованного элементами 1.
и' = = Хи, о'= )со, й = Х)св, где Х и р — обратимые элементы из А, получается из (13) заменой а на Уа и () на р'р. Тем самым алгебры кватеряионов над А, соответствующио парам (а,р) и (Уа, ргр), игоморфпи. Если а обратимо. то злемонты 1, и' = и, о' = й, ю' = ао также образуют базис алгебры Е; таблица умножения этого нового базиса оказывается совпадающей с таблицей умножения алгебры кваторнионов, соответствующей паре (а, — сф), так что эта алгебра изоморфяа алгебре, соответствующей паре (а, р); наконец, ясно, что алгебры кватернионов, соответствующие парам (а, ()) и (р, сс), изоморфны. Для каягдого кватерниона х=а-1.
ба+со-)-дю будем обозначать через х кватернион а — би — со — Йю; оп называется кватеряионом, сопряисеяпым к х; х — + х есть взаимно однозначное линейное отображение Е па себя; при этом ио = и~ = — ю= ои, и так же проверяется, что гв = юг, юи = ию; таким образом, х — » х есть изоморфизм алгебры Е на прогпивополозспую алгобру Е" (и также изоморфнзм Ев на Е); его называют а тиавтоморфивмом алгобры Е; аип' к в вы он сонпадает с обратным к нему отображением. Далее, х).х= =- 2аб А и хх = хх = а' — аде — ()сз+арйз б А; произведение хх кааывают также нормой кватерниона х и обозначают Л'(х). Имеем Л'(ху) = Лг (х) Л' (у), (14) и бо Л' (ху) = хуху = ху (у х) = х (уу) х = (уу) (хх), поскольку уу Р А Рассмотрим, в частности, тот случай, когда А есть поле (харан. геристики ~2), и исследуем, при каком условии алгебра кватеркионов Е над А (относительно элементов и, р) сама есть (некомму.
з ативное) тело. Для этого необходимо, чтобы х —,ь 0 влекл~ .У(х)~0, ибо, в силу (14), Лг (х)Лг (х ')=Ф (1)==1. Но это услови~ также достаточно, ибо если оно удовлетворяется, то соотноюепия хх=хх=Л)(х) ~0 для каждого хФО нз Е покааывают, что х обладает з Е обратным х ' =— Л'(х) ' В случае, когда А — поле 1) рациональных чисел, условие удовле теоряется, если взять и < О н () ( О. 'То же верно н в том случае.
когда А — поле !1 вещественных чисел; причем в атом случае всь некоммутатввные тела, полученные таким способом, нзоморфвы телу. соответствующему паре (е, б) с а= р= — 1; говоря о теле квожврнионов нод и, всегда имеют в виду вменно ато последнее тело; его каноне. ческий базис обозначают (1, ц ~', в), н то же обозначенне прнннмается обычно для канонического баанса алгебры кватерннонов нал любым полем, соответствующей паре (--1, — 1)., Ясно, что когда один нз элементов и, )1, — нр является в поле А вводротоль то Л' (х) может быть =О н прн х~ о. 'В частности, мы видим, что алгебры ннатерннонов над полем С комплексных чисел (которые зсе изоморфиы) не являются теламн (см, упражнение 4)..
Заметим, что, каково бы ни было хб Е. хз = ~х-1- р, где )с=х+т и )г= — хх= — — Л'(х) принадлежат А. Таким образом, если хбА. то подалгебра А„алгебры Е, порожденная элементами 1 и х. есть квадратичное расширение кольца А с базисом, образованным этими двумя элементами; очевидно, Е есть (левый и правый) модуль относительно коммутативного кольца А„, но не является алгеброй над этим кольцом (если А и Аа — поля, то Š— векторное пространство размерности 2 над А„).
294 гл. сь С 7 ° исс!Еннля хлгквгз уд Пугимвйгем и ггебр: л Г. дтоноидиигс илгвбтзи. Групповим илгебри ПУсть А — ломмулгалгивное кольцо с едссссссцей,,у — .конами (гл- (, х 1, и' 3), для которого мы примем мультипликативное обоисачение, и Е = А(зс — модуль формальных лис*ейных яомбассас(ий (с коэффпциенталси из А) элементов моноида Я (з $. и' 8); как мы знаем, канонический базис этого модуля отождествляется с множеством Я, так что каждый элемент нз Е записывается (однозначным образом) в виде ~'а,з, где все изб А. (5 Е можно ге 8 определить теперь структуру алгебры относительно А, приняв за произведение элементов з, г канонического базиса Я их произведение зг в моноиде Я; ясно, что условия ассоциативности (8) при таком определении удовлетворяются, Так определенная алгебра Е называется моноидной алгеброй моноида Я относительно кольца А.
Таким образом, для любых элементов х = ~~ аег, у=-лз„')) з этой алгебры имеем ху==~~' (Ъ иср„)з. Ся сз=е 3 а и е ч э в н я. Ц В случае, когда о — лддвжвене записываемый коммутативный моноид, его уже нельзя отсвндествлять с каноническим базисолс модуля А'ЗС, так вак это нагло бы повлечь смешение аддитивных законов, заданных в д и А'ч', элемент канонического базиса модуля АСЗС, соответствующий элементу е мояоида Я, в этом сзучае можно, скажем, обозначать е,.; таблицей умножения этого базиса будет тогда еее, =е,.„с. 2) Пусть б — мультивликативиый ионоид и (е„) — канонический базис модуля А с~С.
Определение монондвой алгебры моновда о относительно А можно обобщить, привяв за таблицу умвожеявя базиса [е,) соотношения е,ес =аз.се„с (а, с бе!) с условиями асеоцватявяоств а °, саек и — а, с ас двя произвольных з, с, и вз Х. Семейства (аел) называется езсшезоэ фвзвсерое определенной так алгебры. Если уз для каждого е--обратимый элемент козьца А, то элементы е =у„ее образуют базис модуля А(ВС, с таблицей умноясения уе с'с 295 «в)гнвры Ивымя словами, алгебры, соответствующие системам факторов (о„д к ' — '' и«.(), ««во«во)«р)««ы (см. упражисиие (2). у«у) У«) Если В коммутатпвно, то это же верно и для алгебры Л(ь'; если В обладает нейтральным элементом е, то е есть также единица алгеоры А(Я).
Если Т вЂ” ус(пойчиеое множество элементов моноида В (гл. 1, й. по 2). то множество всех элементов вида ~ а,з есть под«Ет плгеора алгебры А' ', нзоморфная моноядной алгебре А монопгг) па Т относительно А, и отождествляется с этой последней. Пусть  — подкольцо кольца А, имеюп(ее тот же единичный .)лечепт. что и А; мно;кество всех элементов ~ а«з алгебры А «ЕЯ в которых а, Р В для каждого з Р В, есть подкопы(о кольца (оез операторов) А'Я), ио не подалгебра относительно кольца А; его структура алгебры относительно кольца В отождествпма со структурой монопдкой алгебры В( ) мопоида В относительно (Я) кольца В. Каждое представление ! моноида Б в алгебру Е относительно Л (рассматриваемую как мопоид относительно одного умножения) пожно, и притом единственным образом, продолжить до пред- стаклеюш 1 плзебры Л( ) в Е, положив 7(~~ а«з) = ~а«) (з).
«ЕЯ «ЕЯ Пусть теперь (р — представление кольца А в коммутативное кольцо В с единицей; будем считать моноидные алгебры А( ' (Я) и В одного и того же мопопда л' наделанными лишь их струк- )урой кольца (без »«сера)порее), лежащей в основе их структуры а.)ссоры. Положив тогда ~(~~а,з) = ~~, (р(а,) з, мы получим пред- «ЕЯ «ЕЯ ставление / кольца А'Я' в кольцо В(Я). Если В обладает единицей, так что Л (соответственно В) может быть отождествлено с под- кольцом кольца А( ) (соответственно В( )), то представление 1 есть (Я) (Я) продолжение представления )р, Наиболее важными моноиднымн алгебрами являются групп»- вые алгебры относительно полей.
ЛИНКЙНАЯ АЛГЕЕРА гл.ы,1 у Применение: мо.дули и группы с оператор А м и. Понятие ыоноидной алгебры позволяет свести изучение любых коммутативяых групп с операторами к изучению модулей. Говоря точнее, с каждой структурой коммутатнвной группы с операторами в множестве Е можно ассоциировать структуру модуля, имеющую тот же закон аддитивной группы и такую, что: Г каждая устойчивая подгруппа в Е (относительно заданных внешних законов) будет подмодулем в Е (относнтельно ассоциированной структуры модуля), и обратно; 2' каждое представление группы с операторами Г. в гокелегичкую группу Е (гл. 1, $ 4, п' 1) будет представлением модуля, ассоциированного с Е, в модуль, ассоциированный с Е, и обратно. При доказательстве будем для всех заданных на Е внешних вако.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
