Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 65

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

размерность векторного пространства Р. Линейные многообразия размерности О— это точки пространства Е; линейные многообразия размерности 1 (соответственно 2) называются прямыми (соответственно плоскостями) аффияного пространства Е.

Каждый ненулевой вектор, принадлежащий направляющему подпросгралстеу примой, назылаетсл направляющим ввптором этой прямой; его компоненты относительно базиса векторного простралства Т образуют так называемую систему направляющих параметров ассматрзпаемой прямой. сРакторравмерностью линейного многообразия о' в Е называется факторразмерность его яаправляющего подпространства Р в Т; линейное многообразие, имеющее в Е факторразмерность 1, называется (аффннной) гиперплоскостью аффинного пространства Е.

Два линейных многообразия с одной и той же направляющей называются параллельными; то же самое можно выразить, сказав„ что параллельные линейные многообразия — это линейные многообразия, лолучаюппгеся друг из друга путем переноса. Направляющей линейного многообразия Г в Т (рассматриваемом как аффинное пространство) служит однородное линейное многообразие, параллельное $'. Предлонсение 3. Каково бы ни было семейство (а„)сес точек аффинного пространства Е, множество $' всевозможных иентров тяжести ч~, Х„а, (Х„=О для всех кроме конечного числа индексов мт и ~ )с,=1) есть линейное многообразие в Е.

ме Если семейство (а,) пустое, то, вследствие условия г. Хо=1, Ч1 в 'о' = йу. Поэтоыу можно считать семейство (а,) непустым, а в этом случае предложение становится очевидным, если принять в Е одну вз точек о, за начало. 312 лгнложвннк и к главк и, лэеннныя пгостглнствл Очевидно, К есть наименьшее линейное многообразие, содержащее точки а,; оио называется аффинпым многообразием, порожденным семейством (а,).

В обозначениях предложения 3, предполагая семейство (а«) непустым, для единственности представления каждой точки хб «г в виде х = ~~~~ Х,а«необходимо и достаточно, чтобы семейство « векторов а,— а„пространства Т, где и — произвольный фиксированный индекс из 1, а е пробегает множество всех индексов «чь к, было свободным. В этом случае семейство (а„)„ы точек из Е называют аффинно свободным (а его элементы аффинно независимыми, или образующими аффинно свободную систему); л«называется «-й бариивнтричсской координатой точки х относительно аффинно свободного семейства (а,).

Семейство (а,)«ег точек из Е, не являющееся аффинно свободным, называется аффинно зависимым. Пгвдложвник 4. Для того чтобы непустое семейство (а„),еэ точек аффинного пространства Е было аффинно зависимым, необходимо и достаточно, чтобы существовало семейство (Х«)«ег элементов тела К (равных нулю длл всех кроме конечного числа индексов) такое, что ~ Х, = О и ~~', Х«а« = — О, но нс все Х« = О. «ег «ег Действительно, утверждение, что семейство векторов (а,— а„) из У, где к — заданный индекс из 1, а е пробегает множестяо всех индексоя «ф н, линейно зависимое, означает, что существует семейство скаляров (Х„)«в.„, яе равных все нулю, такое, что ~~Э~ Х«(а„— аэ) = О; но, положив )«„= — ~~. Х„можно переписать «Фэ «Фя это соотношение в виде ~~ А,а«=О, где ~~~ Х« =О. «ег «ег Пгядложяпяя 5.

Длл того чтобы нспустое семейство (а«)«еэ о«очек аффинного пространства Е было аффинно свободным, необходимо и достаточно, чтобы а„ни при каком индексе хб1 нс принадлежало линейному многообразию, порожденному точками а, с индексами е Ф н. Предлояеенне очевидно, если 1 состоит только иэ одного элемента. В противном же случае опо яытекает из предложения 1 ~ 3, если принять я Е за начало одну из точек а, с индексом с ~ к. пгнложвник ы к глявн ы.

АФФиннын пгоствянствл 313 4. Аффинныв отггобраогсвннм Оп вдвлвннв 3. Пусть Е и Е' — аффинные пространства, ассоциированные с векторными пространстеами Т и Т' над одним и тем же тпелом К. Отображение и пространства Е з Е' называется аффинным отображением (или аффи~ным линейным отображением), если, каковы бы ни были семейство (х,)ит точек из Е и семейство (Х„),гг сколяроз, для которого ~з Х, = 1, мг и(~к~ Х,х„) = ~ Х,и(х,).

(3) ~гг ает Пгвдложвннв 6. Для каждого аффинного отображения и аффинного пространстза Е зЕ' существует однозначно определенное линейное отображение и векторного пространства Т з Т' такое, что и(х+г) =и(х)+о (г), каковы бы ни были хб Е, гб Т. Действительно, пусть а — произвольная точка из Е. Отображение г — э и (а+ г) — и(а) есть линейное отображение Т в Т', ибо, обозначая его через о„ я принимая во внимание, что а+ )г= ), (а+а)+ (1 — л) а, а+я+ с=(а+я)+(а+с) — а, получаем из (3), что о,(Хй)=Хо„(г) и о„(в+с)= о„(в)+ о„(г).

При атом, какова бы нн была другая точка Ьб Е, имеем о,= юь; действительно, из равенства (а+ г) — а+ Ь = Ь+ г следует, что и(а+с) — и(а)+и(Ь) =и(Ь+ г), т. е. и (а+ г) — и (а) = и (Ь+ ь) — и (Ь). Этим существование о доказано; единственность очевидна. о называется линейным отображением Т в Т', ассоциированным с и. Обратно, легко видеть, что для каждого линейного отображения о векторного пространства Т в Т' и каждой пары точек а 6 Е, а'бЕ' л — ъа'+о(х — а) 314 пРиложениВ ы к глАВе 11. АФФинные пРОстРАнстВА есть аффинное отображение Е в Е', имеющее о ассоциированным линейным отображением.

Таким образом, утверждение, что и есть аффинное отображение Е в Е', означает также, что если принять в Е за начало произвольную точку а, а В Е' — точку и (а), то и будет линейным отображением порвого из получающихся так векторных пространств во второе. Пусть Е" — третье аффинное пространство, Т" — его пространство переносов, и' — аффинное отображение Е' в Е" и о'— линейное отображение Т' в Т", ассоциированное с и'. Очевидно, и'ои есть аффинное отображение Е В Е"; при этом, так как для любых ай Е и Сй Т и (и (а + В)) = и (и (а) + о (г)) = и (и (а)) ч- о (о (г)), то о'оо есть линейное отображение Т в Т", ассоциированное с и'ои.

Для того чтобы аффинное отображение и было биектнвныл1, необходимо и достаточно, чтобы таким было ассоциированное линейное отображение о; и и 1 есть тогда аффинное отображение, имеющее ассоциированным линейным отображением о '. В частности, аффпиные бпокции аффпнного пространства Е на себя образуют группу 6, называемую аффинной гру1гпой пространства Е. Отображение, относящее каждому и р 6 линейное отобраягение о, ассоциированное с и, есть, согласно предыдущег1у, гомоморфиглг группы 6 на линейную группу ОЕ (Т). Если и — перенос, то о — тождество, и ооратно.

Таким образом, ядром указанного гомоморфизма служит группа Т переносов пространства Е, являющаяся, сггедовательно, нормальной подгруппой группы 6. Если иб6, то автоморфизм г — гиги ' группы Т есть не что иное, как линейное отображение о, ассоциированное с и. Действительно, для всех хб Е и Сй Т имеем х+ ига 1= и(и '(х)+г) =и(и '(х))+о(г) =х+о(В), так что иги 1=--о(г). Пусть а б Е и 6„— подгруппа группы 6, образованная теяи ир 6, для которых и(а)=а. Если отождествить Е с Т, приняв а за начало, то 6„совпадает с ОЕ (Т).

Каждое на 6 однозначно представляется в виде и=г1и1 (соответственно в виде и=и Вг), где и„ иг принадлежат 6„а г„г, принадлежат Т; действительно, положив В1= — и(а) — а, будел1 иметь и 1г1 б6,, чем доказано существо- 4 пгилон(ение з! к ГлАВе и. АФФинные п!'остРАнстВА 315 ванне и, и Ег; аналогичным способом получим существование и и Е .

Единственность же вытекает из того, что 6 П Т сводится к нейтральному элементу группы 6. Так как прн этом г)и! = и! (и 8~и~), го и,=иг, а Е,=и,!Рги!. Наконец, так как линейные отображения, ассоциированные с и и и„совпадают, то, если отождествить, как выше, 6, с 61 (Т), и, будет линейным отображением Т в себя. ассоциированным с и. Пусть Е и Е' — аффинные пространства пад К. Образ (соответственно прообраз) линейного х!Ногообразия нз Е (соответственно Е') относительно аффииного отображения и пространства Е в Е' есть линейное многообразие в Е' (соответственно Е); ранг и есть, по определению, размерность и (Е) (если она определена); он равен рангу линейного отображения, ассоциированного с и. Для любых двух линейных многообразий 1! и У' одинаковой (коночной) размерности !и, принадлежащих соответственно Е и Е', существует аффинное отображение и пространства Е в Е' такое, что и (У)=)!'.

ато непосредственно вытекает нз следствия 2 предложения 3 з 2, если принять за начало в Е н Е' соответственно точки из У и Г и, далее, взять в Е (соответственно Е') базис. первые т векторов которого образуют базис в )' (соотвотственпо г"). Так как тело К канонпчески наделено структурой (одномерного) левого векторного пространства над К, то его можно рассматривать как одномерное аффинное пространство.

Лффпнное отображение аффпнного пространства Е (над К) в аффннное пространство К называется также аффиьвюй функцией (пли аффинной линейной функцией). Таким образом, если припять в Е за начало какую-нибудь точку а, то каждая аффинная функция на Е допускает однозначно определенное представление в виде л — Р а + и (х), где а б К, а о — линейная форма на полученном так векторном пространстве Е; тем самым аффинные функции на Е образуют правое векторное пространсгяво иад К, имеюптее размерность, равную 1+д!зп Е (если размерность Е определена).

Характеристики

Список файлов книги