Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(й) леь Центр отображения я есть линейное многообразие, опреде. ляомое уравнениями сьлаьп — — 0 ()л Е г)й). лги 326 пРнложиние п1 к ГлАВВ и. пРОентиВные пРОстРАнстВА Если С вЂ” центр отображения д и М вЂ” линейное многообразие в Р (Г), то образ М вЂ” (ХРХГ)С) при отобраягении д есть линейное многообразие в Р(Г), которое (допуская вольность) обозначают д(М). Имеем с)лш' д ( ХХ) = 61ш М вЂ” - 3 1 п~ (ПХ ( ) С) — !, (4) если числа, фигурирующие в этой форлгуле, определены (З 3, формула (5)). Если йХ' — линейное многообразие в Р(Г'), то -л ,"„'(г)Х')()С есть линейное многообразие в Р(Г), и 1(1ш(К(М')1)С)=дппС "-йлш(йХ'ПК(Р(Г))) -(-1. (5) Допуская вольность речи, 1оворят, что д (11Х') Ц С есть прообраз М' относительно К. Так как значения из Г, принимаемые линейным отображением на базисе (е„) пространства Г, могут выбираться произвольно, то заключаем, что существует проектпвное отображение Р(Г) в Р(Г'), принимающее в точках п(е,) Вроизволько заданные значения.
но (даясо когда д всюду определено) задани~ элементов д(н(е„)) не определяет д однозначным образом (упражпоние 3), Композиция двух биективных проективиых отобраясений есть проективное отображение; то же верно и дли отображения, обратяого к такой бнекции. Таким образом, взаимно однозначиыл проективные отображения проектпвиого пространства Р(Г) на себя образуют группу; она называется проективной ерупной пространства Р(Г) и обозначается Р61 (Г); вместо Рлтл. (К",) пишут Рч'(о„(К). 3 а и е ч а н н е.
Пусть Н =-Р(И') — гиперплоскость проектик. ного пространства Р(Г) над телом К. Существует взаимно однозначное линейное отоораженне Х пространства Г на К, Х И' такое, что ) (И') =И'; пусть а — проективное отображение, получающееся нз ) при факторизации. Как мы видели (и' 4), дополнение к Р (И ) в Р (Кл Х И ) отождествимо с аффпнным пространством, пространством переносов которого служит И'. Отождествлял Р (Г) с Р(К.ХИ') посредствомотображе. ння З, говорят, что Н принамаегася а Р(У) за бесконечно Рдаааваула гиаариласкастлб дополнение к Н в Р(Л ) отождествлиетсз тогда с, аффннным пространством, имеющим И' своим пространством перекосов. т ПРиложение ! !1 к глАВВ н. пРоентиВные ПРостРАнстВА 327 г.
Опрт1ктт)тли пров)гпсноного простпринатпви Структура (левого) проективного просгаранства в множестве Е относительно тела К определяется заданием непустого множества Ф баек)1ий подмножеств проективиого пространства Р(К! )) че) на Е, удовлетворяющего следующим аксиомам: (ЕР!) Областью определения каждого отображения )'Е Ф служит не)оторое линейное многообразие из Р (К, ).
(ЕРП) Для любой пары элементов 7', д из Ф, определенных соответственно на линейных многообразиях Р (1') и Р (И'), биек!1ия Ь= 'ь) пространства Р(И) на Р (И') есть проективное отображение. (ЕР)ы) Обратна, если )'сФ определе)и) на линейном многообразии Р (У) и Ь вЂ” взвил!но однозначное проективное отображение Р (И) на линейное л!ногообразие Р (И') С Р (К!Я)), то ) о Ь'' Р Ф Пусть Š— множество, (Рх))ес — семейство векторных пространств над телом К и для каждого ХбЕ задана биекция )х пространства Р(ГА) на Ь' такая, что 11!о)„г!ля каждой пары индексов (Х, р) есть проективное оп!ображение Р(ГР) иа Р(1")). 'Тогда можно определить в Е структуру проективпого пространства относительно К следующим образом. Пусть (е!)!Сг — базис пространства 1''х и и, = — )А(я (ех)), а 6! — элемент с индексом а, в каноническом базисе пространства К!РП (3 1, и" 8).
В силу пред- поло)кепкой биектпвности отображения )х. 1), ~ Ьз прн ! ~ и; поэтому Ь, образуют базис векторного подпростраиства И'в пространства К,, и следовательно, существует взаимно однозначное ье) отображение Ь пространства Р (И'„) на Р (Т5„) такое, что Ь (и (Ь„))= =л(е„) для каждого !б У. Легко проверить, что множество Ф всех отображений )А ч Ь ч г ', где я пробегает множество всевозможных взаимно однозначных проективпых отображений Р(И7в) на линейные многообразия Р (И') ~ Р (К!Я)), удовлетворяет аксиомам (ЕР,), (ЕРП) н (ЕРП,).
При этом, очевидно, Ф не зависит нп от выбора индекса Х ~ Е, Ви от выбора базиса (е„) в Гх, нп от выбора Ь. Б частности (если взять Ь, сводящееся к одному элементу), каждое проективное пространство Р (Г), порожденное каким- нибудь векторным пространством Г (определение 1), наделено так вполне определенной «структурой проективпого простран- 328 пгиножгник ~п к главк и. Паокктивнык пгостглнствл ства» в смысле определения, данного в этом и'. Поэтому проективным пространством можно называть всякое множество, наделенное структурой проективного пространства. В тех же обозначениях линейное многообразие в проективном -1 пространстве Š— зто множество т)ХС Е, для которого ~(М) хотя бы для одной биекцпп ~бФ, определенной на Р(Р)С Р(К~»й), есть линейное многообразно в Р (Г) в смысло и' 3 (зтим свойством обладает тогда каждое ~б Ф).
Из предыдущего следует, что каждое линейное многообразие проектпвпого пространства канонически наделено структурой проектпаного пространства. Говорят, что проективное пространство Е имеет размерность -1 и, если 1' (Е) для каждого ~б Ф сеть линейное ьшогообразие размерности и (достаточно, чтобы зто имело место для одного ич отображений г'с Ф).
У и р а ж и е и и я. 1) Пусть К вЂ” конечное тело, состоящее иэ д элементов, и У вЂ” л-мерпое векторное пространство над К. а) Показать, что число элементов множества всеаозможиых последовательностей (э„ям..., я„,) вэ щ ~(л векторов пространства 1', образующих свободную систему, равно (дь 1) (дт д) (д1 дм-») (Иидукцией по т.) б) Вывэстп вэ а), что число т-мерных линейных многообразий в л-мерном проективном пространстве иад К равно (дам — 1) (дл"' — д) " (дэ' — д"') (д""' - 1)(дь" — д) " (д" ' — д") 2) а) Показать, что проектввяая группа РСВ(1) иэоморфяа фактор- группе линейной группы СЬ (Р) векторного пространства У но центру этой группы (язоморфяому мультипликативясй группе цент(уа тела К.
см. 1 2, следствие 2 предложения 5). б) Вывести яэ а), что если р — конечной размерности )2, то ~оммутаит группы РПЬ(У) простой. (См. 1 6, упражнение 10.) *э) Показать, что если К вЂ” конечное тело, состоящее из д элементов, то проективиая группа и-мерного нроективиого пространства пад К есть группа порядка д~~-~) д. (Использовать а) и упражнение 1а, а также то, что К необходимо коммутатввио (см.
гл. У, 1 11, упражнение 14, и гл. й 1П).). 3) Прэевщивиььи релером в л-мерном проективисм пространстве Р (Р) иад телои К называется мяоя»ество К иэ я+2 точек, каждые и+1 пРНПОнсенип 111 к глАВВ и. НРОинтиВные пРОстРАнстВА 32(г из которых образуют проектнвно свободную систему.
Показать, что длн любых двух проективных реперов ю=(а1)ес! о ь! и к'=(а% 1со Г! пространства Р (У) существует преобрааованне / Е РСЕ (У) такое, что /(а1) = а,'. для всех 1 (0< 1 < а Г 1). Длн единственности этого преобразования необходимо и достаточно, чтобы К было коммутатизво. [Свестп к случаю К' —. о" н заметить, что всегда можно считать а!=я(Ь1), где (Ь;)!,,„+! — базис врострапства 1', а Ь„= Ь,+ Ь,+ ...' Ь..'[ Привести пример, где К есть тело кватернионов Я 7, и' 8) или где существуют босконочноо ыножество Т точек из Р(1), любые и+1 из которых ооразу1от проектпвно свободную систему, и нетождественяое преобразование /Е РПЛ(!'), остзвля1оп1ее ннварнантной каждую точку нз Т. 4) Пусть У вЂ” двумерное векторное пространство над телом К п а, Ь, е, й — четыре различные точки проентпвной прямой Р(У).
Деойиым отиои~еиие.и четверки (а, Ь, е, а) называют множество Ь! аЬ! ~ тех элементов Ь Е К, для которых в У существуют векторы и, о Ко1 таьпе, что а=я(и), Ь=я(о), с= я(и+ о), а=я(и+Цо). Это определение непосредственно распространяется на каждую четверку различных точек множества, наделенного структурой проектянной прямой (и' 7). Га Ь а) Показать, что ! „~ есть множество всех элементов, сопряй женных к некоторому злемепту ф.1 мультипликатнвной группы К*, н что, оГ1ратно, для л1обых трех различных точек а, Ь, е нз Р (У) и множества О всех злемецтов, сопряженных к какому-нибудь элементу =-,=1 Га Ь! из Ке, существует точка КЕ Р(У) такая, что ~ ~ =о.
Для един1й е1= ственности е/ необходимо н достаточно, чтобы о сводилось к одному элементу. б) Показать, что (где о ' (соответственно 1 — о) означает множество всевоаможпых сопряженных Ль 'Л '= (ЛзоЛ ') 1 (соответственно всевозможных 1 — Л$Л ' =- Л(1 — $)Л ') для элементов $ из о). в) Пусть (а, Ь, е, а) и (а', Ь', е', е1') — две четверки различных точек из Р(1'). Для того чтобы существовало биективное полулинейное (Приложение 1) отображение У на себя такое, что порождаемое им прц факторпзации биективное отображение / пространства Р (У) (() НРННОжкние 111 к ГНАВВ 11. пРОГБтиВнын пРОстРАнстВА на себя удовлетворяет условиям 1 (а) = а', 1 (Ь) = Ь 1(с) =с', ((И)= И', необходимо и достаточно, чтобы существовал автоморфизм о тела К, для которого 6 ) га 6~с Для существования в прогктнвной группе Р6).(Р) преобразовекыя ), удовлетворя1ОщЕГО уКаааННЫм уСЛОвнял1, НЕОбходимо и доста.
точно, чтобы ~а 6 ~ 1а6) 5) 1! усть Р(1) — (левоо) проективное пространство конечной раамерности л над телом К. Покааать, что в множестве всех проективных гиперплоскостей пространства 1'(й) существует структура (правого) проектнвыого пространства размерности л пад К, канонически изоморфиая структуре проективпого пространства Р(1'э) (где й ь — векторное пространство, сопряженное к г').
Получить отсюда структуру проектнвыого пространства размерности а — г-- 1 в множестве всех проективных гнперплоскостей, содержащих заданное линейное многообразие АУ размерности г ч., а пространства Р (й'). В частности, если М имеет размерность в — 2, можно определить двойное отношение четверки (Нх, Нз, Нз, Н,) различных гиперплоскостей, НзНз Н4 Нз содержащих М. Показать, что если Л С- Р(г') — прямая, не пересекаю1цая М, и аг — пересечение Л с Н; (1 .. 1«(4), то (и Р 1 '6) Пусть К вЂ” поле, К вЂ” проективное поле, полученное путем присоединения к К бесконечно удаленной точки (в' 5), ы ), г — две рациональные дроби из К (Х).
Показать, что если 6(Х) =)(д(Х)), а ), г и 6 в канонические продоля1ення ), д н Ь на К, то 6= 1' л., 7) Пусть а, Ь, с, И вЂ” четыре точки проектввыоа плоскости Р (й') иад телом К характеристики ~ 2, образующпе проективыый репер (упрахкаенне 3), е, Н в — точки пересечения прямых Раь н Р,щ Р„ и Л1И, Л з и Рь, (где Л„з означает прямую, проходящую через различные точки ж у) и 6 — точка пересечения прямых Ль, и Лсь Пока- (6 61 зать, что ~ ~ =( — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
