Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 72
Текст из файла (страница 72)
упражнение 3); тем не менее это будет так в наиболее важном случае: Пгедлох<ение 9. Если Е„Ес Е„Г, — унитарные А-.кодули, имвюи1ие каждый конечный базис, то »Р есть (называемый каноническим) изоморз»изл» Ж (Ь», Г»)®М (Ев, Рз) на Я (Ев»3 Ев, Ев»ЗР). Действительно, мы покажем, что вр отображает базис модуля М(Е„Г»)»3 Х(Е„, Гз) на базис модУлЯ Х (Е,»2?Е„Г» ЯГ ). НУсть (ав, в ) — базис модуля Е н (6;, ) — базис модуля Г, (в = 1, 2); положим ав»в»=а» в,»3 аз,в» для ка»кдой» пары (?.„?1) и ЬР»»»,= =- Ь» „,13 61 „, для каждой пары (р„рв); ав,»., образуют базис в Е, К Е„а Ь„,„, — в Г"1»3 Г (следствие 2 предложения 7). В таком случае отображения и»„я (1 = 1, 2), определяемые условиями ивчь (ак». ) = Ь,; „и ив „(аз ь ) =О для ?.; ~ ?ч, образуют базис в е (Е,,рв) (гл.
11, $2, п' 4); точно так же отображения ив,в„„„ определяемые условнявпи ив,вв»ч»», (ав,вг) = Ь»»»во ив»вв„в„» (ав в ) =. (? для (?.;, ?,,') ~ (?,д, ?»в), образуют базис в Х (Ев 6» Ев, с»»3 Гз). Но, очевидно, ив,»,„ч„, = ср (ив,»п, и»., ) = »)» (ивв»„<3 и»„,), и так как тензорные произведения и;,„, »2? и»,„, образуют базис в Х (Е„Р»)»3 »3 Х (Е.„Р,), то предложение доказано. Таким образом, в случае, когда Е„Е,„Г„Р, имеют конечные оазисы, моДУль Ж (Е, 3 Ез, Г"в (.~ Е,) можно отождествллть с тензорным произведением Х (Е», Г,) 6? Х (Е„Г ) посредством нзомоРфнзма»)» н вместо 1Р(и„иг) писать и, »2? из (илиДаже и,и,).ЛЛопУ- ткнзогнык пеоизвкдкнггя модульи сная вольность речи, мы и в случае невыполнения условий предложения 9 будем называть линейное отображение гр (иг, и. ) тензорным лроизведениелг линейных отображеяий и, и и и обозначать его и,г3и,; зта вольность речи ке сможет вызвать путаницы, покуда речь будет ггдти ггггшь о линейных отображениях (поскольку элементы тепзорного произведения Ж (Е„Гг) фЖ (Е, Рз) не явля>отея лпиеяиыми отображениями).
Пггдложеппк 10. Если Е„Е, Р„Ре, 6„6е — А-модули, иглинейное отображение Ег в Рг и пг — линейное опгобралсение г, в Сг (г=1,2), то (о ь иг) г3 (о о и ) = (о, г3 о ) ь (иг г3 и ). (б) Это утверждение есть непосредственное следствие определения тензорного произведения линейных отобра некий. Слкдствик. Если и, (г= г, 2) есть ивоморфизм Ег на Рг, а пг— гбратный изоморфизм, пго и, г3 из есть изолгорфизм Ь', г3 Ег на Рг бй Р, и п, г3 и — обРатный емУ изомоРфизм. б. Модуль, сопрвгженяьси и гггензорнолгтг тгтготлноедентето Пусть Ь'„и Š— унитарные А-моду:ш; согласно п' 2, модуль Ж (Е„Е,; А) билинейных форм на Е, с Е, изоморфея модулю линейных форм на тензориом произведении Е, г3 Е, т.
е. модулю, сопряхсенному к этому теизорному произведению; канонический изоморфизи Ж (Е„Е;А) на (Е,г3 Е,)* относит каждой билинейной форме ~ на Е, х Е линейную форму ива Е„г3 Е„'определяеггую условиямн и (х, 3 хе) =) (х„х.) для каждого тепзоряого произведения х, г3 х,. Пркдположим теперь, что каждый из модулей Е„Ь', имеет ьонечный базис; предложение 9 определяет тогда канонический изоморфпзм модуля Е, К Е." на модуль линейных отображений Е, К Е, в А К А; ио следствие предложения 5 устанавливает канонический изоморфнздг А г3 А иа А, откуда непосредственно получается пзоморфизм модуля:2' (Е, К Е„А 3 А) иа Х (Е, г3 Е, А)=-(Е, 3 Е )*; таким образом, имоем: гл. ш, 11 348 ПОЛИЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА Пгедложение 11.
Пусть Е, и Š— унитарные А-модули с конечным базисом. Тензорное произведение Е;ЗЕ,* модулей Е, и Е, сопряженных соответственно к Е1 и Е, изоморфно модулю, сопряженному к тензорному произведению Е1 З Е; изоморфизм Е," З Е," на (Е, З Ез)* определяется отнесением каждому тензорному произведению х,' З хзб Е12 З Е", линейной формы и на Е, З Е, определяемой условием и(х, З хз)=х,'(х )х,'(хз).
Изоморфизм, определенный в предложении 11, и иаоморфизм, обратный ему, называются каноническими", в дальнейшем Е; З Е," будет отождествляться ссопряженным к Е, З Е посредством зтих изоморфизмов; таким обрааом, тождественно (х, З х„х,'З х,') =(х„х,') (х, х,'). ПРедлОжение 12. Пусть Е1, Ез, Р„с 2 — унитарные А-модули с конечным базисом и и1 (1=1, 2) — линейное отображение Ез в г1; сопряженное к линейному отображению и, З из модуля Е, З Е, в р1 З с"'2 равно тензорному произведению 'и,З'и, сопряженных к и, и и,.
Действительно, для всех х1бЕ;, у,'брз (1=1, 2) имеем 1'1(х1) З 2( 2)2 У1 З У2)" ( 1 ( 1)2 У1) ( 2( '2)1 У2) =(х„'и,(У,'))(хз, 'из(у.')) =(х, З х, 'и,(У,') З 'и,(У,)). чем предложение н доказано. 6. лензорное проиаведентсе митгьриц Пусть Е„Е2, Р„Р2 — А-модули ни; (1=1, 2) — линейное отображение Е1 в г1.
Предположим, что Е, имеет конечный бааис (а1,2.), Рг конечный бааис (Ь1,„) (1=1, 2), и пусть Х1=(а„,ь )— матрица линейного отображения иг относительно этих бааисов: матрица Х=(ая1„21112) линейного отображения и=и, З и, относительно базисов (а1,1,) и (6„1„2) (в обозначениях предложения 9) называется тензорным (нли кронекеровским) произведением матриц Х, и Х, и обозначается Х, З Х,. По определению, Ч2 и МА ) и1(а1 А ) З из(аз 12) 2 ин 2 аа212д1 ° тЗдз н2 Я1 Я2 поскольку и (аь122) есть столбец матрицы Х с индексом ()ч, А2).
видим, что элементы матрицы Х, З Х2 задаются соотношениями (8) атн21 22 = ая121а„ь 349 твнзОРнык пРоизвнденин модулнй Если ограничитьси рассмотрением матриц, имеющих своими множествами индексов интервалы из 1« вида [1, г], то тензорное произведение А З В матрицы А=(а;,) из т строк и л столбцов и матрицы В=(р,л) из р строк и д стозбцое может быть записано в форме «клеточной матрицы» (гл. 11, 1 6, в«4) апВ аз»В ... а„,В а„В а„В ... а„,В а,„,В а„„В ...
а„„В соответствузощей разбиению множества индексов строк па множества 06Х 1. [р] (1 < «< т) и множества индексов столбцов на множества 69Х [1, у] (1 < 1 < и), алз в форме клеточной матрицы [3»«А [),»А ... [), А [)«»А р««А ... [)««А [)тА бг«А ... Ре«А соответствующей разбиению множества индексов строк на множества [1, т]Х[Ь] (1 < а < р) и мкожества индексов столбцов на множества [1, л]Х(й] (1 < л < Е). Билинейность и,Зи, и тождество (6) в переводе на язык матриц вгдражаются тонсдествами Х З (Х, + У,) = Х, З Х, + Х, З У„1 (Х +Уз) З Х =Х З Х +У З Х, (9) (аХ,) З Х = Х, З (аХ,) = а (Х, З Х«), (10) (Х,ЗХ) (У,ЗУ,) =-(Х»У) З (ХУ). (11) Если Х, и Х,— обратимые квадратные лзатрицы, то Х,ЗХ,— обратимая квадратная матрица, обратной к которой служит Х,'З Х,'.
Если У„У,— матрицы, эквивалентные (гл. ]], $6, п' 10) соответственно л«атрицалз Х„Хт (нлн квадратные матрицы, подобные (гл. П, з 6, и' 11) квадратным матрицам Х„Х,), то У, З У, есть матрица, эквивалентная Х, З Х, (соответственно квадратная матрица, подобная Х»З Х,). Пусть (ак л,) — второй базис в Г, (1=1, 2); если Р« — матрица перехода от базиса (а«х ) к базису (вз л ) (гл. [], 5 6, и' 9), то матрица перехода от базиса в Гз З Е„ образованного элемен- гл. пег) ПОЛИЛПННИНАЯ АЛГЕБРА тами аг,г, =- аг А,ае ьм к оазису, образонанпому элементами аг,г =аы Агах г, Равна тензоРномУ пРоизвеДению Р, 3 Р .
Наконец, согласно предложению г2, матрица, транспоиированная к тснзорному произведению Х, Я Х, матриц Х, и Х,, равна тензорному произведению 'Х, 3 'Х, транспонпрованных к ипм матриц. х. По.гплпнейные у)щнгеггглп; гггеноорное нронооеоение ионечноео числа .згодгулей Определение билинейных функций обобщается следующим образом: Опгкднлппив 4. Иуспгь А — номмутативное кольцо с еоини и цей, Е == 1) Е, — произведение п унитарных А-модулей Е; и Е— г=! унитарный А-.нодуль.
г' называетсл полилипейным отображением Е в г", если, каковы бы ни были индекс г' и и — 1 влеменпгов аь ч Ег, ()с Ф г), частичное отображение хз — +~(а„..., а, „.сз, аз о ..., а,) есть линейное отображение Ез в Р. П р н и е р. Кслн Š— алгебра нвд А, го (хь хх, ..., х„) .х,хх ...
хи есть пазнггнггейггее отобрвнгенне Еи в х. 3 а м е ч а н н е. Разумеется, определение 4 непосредственно расаростраггнетсн на случай множества индексов г, нвлнвнцегосн не интервалом па д вида [Н и), в тсбым конечным множеством, Нолилипейное отображение А-модуля Е= Ц Ез в кольцо А 1=.! (рассматриваемое как А-модуль) называется полилинейной формой. Свойства билинейных отображений, перечисленные в и' 1, непосредственно распространяются на полилинейные отображении; формулирование этих обобщений предоставим читателю.
п Отметим лнюь, что полилипейные отображения Е=- )1Ез в Р г=л образуют А-модуль, обозначаемый л (Е„..., Е„; Р) нли Жи(Е; г ). если все Е, совпадагот с одним и тем же модулем Е. твнэогныв пгоизвкднння модглвн! Рассмотрения п' 2 можно теперь перенести на любое конечное семейство (Е!) >;>, А-модулей; нми определяется А-модуль М, обладающий 'следующими свойстве>>и: существует полилинейное отображение >р произведения Ц Е! в М такое, что М порождается множеством >р ( Ц Е ); >=! =-! 2' для„'.
любого полилинейного отображения у произведения (1 Ь', в любой А-модуль А существует, и притом единственное, >=! линейное отображение л модуля .Р! в >>' такое, что ~=.:.до !р. При этом ка>кдь>й Л-модуль, обладан>щий этими свойствами, изоморфен М (обобщение предлоя>ения 3). Детальное проведение доказательства предоставляем чита- толю. Определенны>! так А-модуль Н называется п>ензорным произведением семейства (Ь!) п обозначается Я Е,.
или Е>!ЕЕ>!Е>... !~Е„; >=! если все Е! совпадают с одним и тем же модулем Ь', то пх тензор- яое произведение обозначается также (ЯЕ и называется и-й >пензорной степенью модуля Е. Значение !р (х„х„..., х„), прпнимаеа мое полилииейным отображением !р для каждого (х;) й (', Ь"! >=! обозначают Я х! или х, ч>х,з... фх„п (допуская вольность >=-! речи) называют тензорныл произведением последовательности (х!). Каково бы нн было разбиение(1„)>с>и интервала (1, п1 множеч ства Х, тензорное произведение ® Е, изоморфно тензорному 1=- ! р лро"введению !3 (!ЗЕ!) (>ассоциативность> тензорпого про! =- ! А изведения). Это устанавливается методом, использованным в доказательствах предложений 6 и 7: условием и (х„..., х„) = .= Д (Я х!) опре>>еляется полилинейпое отобра>кение и про- 352 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
