Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 73
Текст из файла (страница 73)
пи 11 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА е р изведения Ц Е! в ® ®Е) и доказывается, что это поли>= ! а=! >!!а линейное отображение удовлетворяет условиям предложения 3 (обобщенного на случай и ыодулей). Определенный так нзоморфнзм ® Е! на ® (ЯЕ!), называемый, как и обратный ему 1=! а=! >!уз изоморфнзм, каноническим, относит каждому тензорному произведению ® х! элемент ® ( ® х ) г= ! ь=! кг„ Читатель без труда обобщит на тензорное произведение любого конечного числа модулей предложения 6 и 7, определение тензорного произведения любого числа линейных отображений (нлн матриц) и предложения 8 †>2. У п р а ж н е н и я. 1) Пусть ŮР— тензорное проиаведение Х-модуля Е=Х на Х-модуль Р=ХЯ2) и М вЂ” подмолуль 2Х (четных чисел) модуля Р. Показать, что канонический образ тензорвого произведения М ® Р в Е >3 Р (и'3) не пзоморфен М /ВР.
2) а) Пусть С вЂ” адаптивная группа, рассматриваемая как Х- модуль; показать, что тенаорпое произведение (Х/(л)) 8 С У модулей Х/(л) и С изоморфпо факторгруппе С/лС группы С по ее подгруппе пС, образованной элементами лх, где х пробегает С. б) Ядро канонического представления (лХ) ® С в Х 8 С нзоморфно подгруппе в С, образованяой теми алементами х, для которых ах=о. 3) Пусть Š— л>обой уннтарный А-модуль и Р— унитарный Л-модуль с базисом. а) Покааать, что, каков бы ни был подмодуль М модуля Р, каноническое отображение М 8 Р в Е ® Р есть изоморфнзм. б) Показать, что если х — свободный злемент модуля Е и у †ненулев элемент из Р, то х ®у ея О; если при атом и у свободный, то х® у есть свободный элемент модуля Е !2)Р. 4) Пусть р — простое чкс>ло, Л вЂ” коммутатнвпое кольцо Х/(р'), Š— аддитнвнан группа Х/(р), рассматрзваемая как А-модуль (в котором произведенвем класса по модулю Рз н элемента х е Е служит злемент лх, где л — л>обое целое кз рассматриваемого класса по модулю р').
Пусть, далее, и и о — любые два линейных отображенвя Е в А (рассматриваев>ое как А-модуль). Показать, что линейное отображение модуля ЕЗЕ в АЯ/Л, удовлетворяющее условвю /(хзу)= = и(х) 8 с(у), тождественно нулевое, хотя тензорное произведение Е*б(> Е* сопряженного к Е на себя н ке сводятся к О. 5) Пусть Р„Гз, Г„Г, — векторные пространства кад полем К, и! (>=1, 2) — линейное отображение Е, в Р; и и=и>8 из Пусть, далее, 11, — векторное подпрострапство пространства Е! (!=1, 2), l РАсшпркнир кольцА ОПКРАтОРОВ мОдуля ЗбЗ Н вЂ” векторное подпрсстранство Нз Я Н, пространства Е, Я Ез (слэдствяэ 3 предзожэяяя 7) нН' — подпростраястзо (иг (Н,)) Я (и, (Н,)) пространства Г,ЯГэ. Показать, что и(Н)=Н'.
В частности, если ранга е (и,) я О(яэ) конечны, то О(и, Я из)=О(и,) О (из). 6) Пусть з — элемент тензорвого проязвэдепяя Е ЯГ конечно- мерных векторных пространств Г я Г яад некоторым полем; каков бы нн быз базис (Ь,) пространства Г, з может быть однозначно представлен в виде ~Ч (х, Я Ь,), где х; б Е (следствве 1 предложения 7), Показать, что векторное псдпространство Ь' пространства Е, порожденное злементамя х,, яэ зазясвт от рассматриваемого базиса (Ь,) пространства Г. Если 1' г-нерво, то существуют его базис (а,)~; „я г эает ментов ьт ((() ~г) пространства Г такие, что з= ~~ (а~Ясз), г=1 причем г — наименьшее возможное число слагаемых в представлении з в виде суммы теяаорных произведений элемента язЕ на злеыент яз Г.
в 2. Раснгирение кольца операторов модуля В этом параграфе нас будут интересовать структуры модуля относительно различных колец операторов, причем одно и то же множество сможет наделяться разлнчнымн такими структурами; во избежание всяких недоразумений мы будем называть отображение Е в Р, линейное при наделении Е н г" структурами А-модуля, А-линейным или А-гомоморфизмом. Аналогично будут определяться А-изоморфизм, А-билинейное отображение и т. д. 1. Раешэлреэсззе кольца операторов модула Пусть  — кольцо (коммутативное или нет) с единицей е, А — подкольцо кольца В, содержащееся в его центре и имеющее ту же единицу, так что В может рассматриваться как алгебра над А, и М вЂ” любой (левый) В-модуль.
Сужение его кольца операторов до А (гл. 11, 3 1, и' 1) определяет в М структуру А-модуля; говоря о структуре А-модуля в заданном В-модуле, мы всюду имеем в виду структуру, полученную указанным способом. Пусть теперь Š— произвольный унитарный А-модуль; исследуем, можно ли погрузипзь Е в унитарный В-модуль, т.
е., говоря точно, найти А-изоморфизм модуля Е в унитарный В-модуль. Легко видеть, что эта аадача не всегда допускает решение. 33 н. втрс я ПОЛИЛИНКЙНАЯ АЛГВВРА гл. Нк 1 2 354 Пркмером может служить тот случай, когда Л=Е, В=«), а Š— кокмутатквкая группа, к»«Е«ощая элементы ковечаого порядка к рассматркваемая как Е-модуль; такая группа очевидно ве может быть погружена в векторвое пространство каа ~) (см. ниже, а' 3, теорема 2). Более общим образом, мы изучим А-линейные отображения модуля Е в произвольный унитарный В-модуль и установим существование унитарного В-модуля Р и А-линейного отображения ф модуля Е в Р таких, что, каково бы нн было А-линейное отображение ) модуля Е в любой унитарный В-модуль Х, существует В-линейное отображение у модуля Р в Л', для которого ~=у»ф.
Тогда поставленная выше задача «погруження» будет иметь очевидное решение: для существования А-изоморфизма модуля Е в унитарный В-модуль необходимо и достаточно, чтобы ф было взаимно однозначно. Заметим прежде всего, что если В-модуль Р обладает указанным свойством, то им обладает и его подмодуль Р„порожденный множеством ф(Е); поэтому можно дополнительно потребовать, чтобы ф (Е) пороясдало Р; тогда В-линейное отображение у, для которого ) = дч ф, будет определяться А-линейным отображением ) однозначно. При этом такой В-модуль Р, если он существует, определен, с точностью до изоморфизма, однозначно.
Говоря точно, имеет место следующее предложение: Пгвдложвннк 1. Пусть Р, (1=1, 2) — унитарные В-модули и ф«для каждого 1 — А-линейное отображение Е в Р«такое, что: 1 ф«(Е) порождает Р, и 2' каково бы ни было А-линейное отображение ) модуля Е в произвольный унитарньш' В-.иодуль Х, существует В-линейное отображение д«модуля Р«в Х такое, что ) = у««ф«При этих условиях существует В-изоморфизм и модуля Р, на Р„для которого ф = и э ф,, Действительно, беря в качестве Лг В-модуль Р, (соответственно Р,) видим, что существует В-линейное отображение Ь, (соответственно Ь ) Р» в Р» (соответственно Р» в Р») такое, что ф, = Ь,ч ф, (соответственно ф,=Ь чфз); тогда ф,=(Ь чЬ,)чф„и так как ф,(Е) порождает Р„то Ь»чЬ, есть тождественное отображение Р, на себя; совершенно так же Ь,чй есть тождественное отображение Р, на себя, и предложение доказано.
РАсшиРение кОльцА ОпеРАТОРОВ Модуля 355 Покажем теперь, что В-модуль Р и отображение <р, удовлетворяющие требуемым условиям, действительно существуют. Рассмотрим А-модуль В ф Е (где В рассматривается как А-модуль); пусть г — пронэвольнььй элемент пз В; если для каждого тензорного произведения х К у (х б В, у б Е) положнть <р< (х бо у) = = (<х) Я у, то, поскольку отображение (х, у) — ь (<х) ф у очевидно бнлнпейно, этим определится А-линейное отображение <Р< модуля В ~ Е в себя (з 1, и' 2).
Положив < . =<у<(г) для каждого ЗЕВ и каждого г р В <3 Е, получил< внешний закон композиции (<, г) — ~г г на В<<<В, имеющий В своей областью операторов; непосредственная проверка показывает, что этот внешний закон вместе со сложением определяет в множестве В фЕ структуру унитарного лелого В-модуля. Во избенсание смешения с А-модулем В <52 Е обозначим полученный так В-модуль через Е<т. Заметим, что В <2Э Е есть не что иное, как модуль, получающийся путем сужения кольца операторов В-модуля Е<в< до А. Теперь, имеет место следующее предложение: Пгедлоясение 2.
В-.модуль Е<ю порождается образом Е, модуля Е при А-линейном отображении х — эеЯх этого модуля в Е<в~', для к ждого А-линейного отображения <" модуля Е в произвольный унитарный В-модуль Л' существует однозначно определенное В-линейное отображение д модуля Е<з> в Лг такое., что <(х) = у(еф х), каково бы ни было хРЕ. Первая часть предложения очевидна, поскольку каждый элемент из Е<ш может быть записан в виде ~', (З< ® х<) == ~ (Г< .. (е ® х<)), где Г<Р В и х<РЕ. Для доказательства второй части заметим, что отображение (г, х) — е <~ (х) произведения В х Е в Л' А-билинейно; поэтому (2 1, и' 2) существует А-линейное отображение у модуля В Я Е в Л< такое, что д(< Ях) = <~(х); покажем, что д — В-линейное отображение Е<в> в Л<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
