Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Действительно, для каждой пары (х„у ) существует линейное отображение и„, „, тензорного произведения С, в Лг такое, что и„и (х,ау,) = =у(хм ум х„у,), и отображение (х„у,) — ьи„,в произведения Е,ХР, в Х(См Л') билинейно; поэтому существует линейное отображение о тензорного произведения 6, в 2'(6„Л') такое, что о(х ®у )=и„в, и справедливость утвержделия сразу следует из предложения 1, 3. Сеомстоа апеннортаьас таротеяоедететей Пгкдложкник 4. Тензорнме произведения Ефр и РЯЕ изоморфнм (акоммутативностьа тензорного произведения). Действительно, так как (х, у) — > уфх есть билинейное отображение Е Х Р в РЗЕ, то (и' 2, схолня), положив и (хну) =уфх, мы определим линейное отображение и модуля Ебрр в Р~Е; точно так же, положив о(уКх)=ю3у, мы определим линейное отображение о модуля РКЕвЕЯР;так как и а о и оь и — соответственно тождественные отображения РЯЕ и ЕКР в себя, то и и ив взаимно обратные изоморфнзмы (Теор. мн., Рез., $2, и' 12» (которые будут называться каноническими).
34! тенэОРные пРОизВедения модулей Пгедложение 5. Для каждого унитарного А-модуля Е тензорное произведение Аь>„Е изоморфно Е. Действительно, отображения и(мах)=ах п и(х)=е()х (где г — единица кольца А) определяют линейные отображения и модуля АЗЕ в Е и О модуля Е в Аь>,Е; очевидно, и ос есть тождественное отображение Е на себя, а Очи, в силу соотношения г~3(ах) =аьГь;х, — тождественноо отображение А®Е на себя; следовательно, и н Π— взаимно обратные иэоморфвзмы (которые будут называться каноническими) .
Следствие. Тензорное произведение А®А А-модуля А на себя изоморфно А. Таким образом, канонический изоморфизм .43А на А относит алементу и®() произведение а(э в А. Пгедложение 6. Пусть М вЂ” подмодуль модуля Е и Ль— подмодуль модуля Р. Тензорное произведение (Е/М)Я(Р/Л') изоморфно фактормодулю (Ебйр)/Г (М, ЛЬ), где Г (М, Л") — подмодуль е ЕЗР, порожденный глелье~тами хзу с хб М или у бЛь. Применим критерий предложенпя 3. Обозначим соответственно через х- х и у — > у канонические отображения Е на Е/М н Р иа Р/Л/, а через оь — каноническое отображение Е ® Р на Я = (Е К Р)/Г(М, Ль).
Тогда (х, у) — > оь (х ® у) есть билинейное отображение Е х Р в Е, аннулнрующееся, в силу определения ю и Г(М,Ль), как для х = О (шойМ), так и для у ЕЕ О (шой/У); это показывает, что ю(хну) зависит лишь от класса х элемента х (шойМ) и класса у элемента у(шойЛь), так что можно написать ьь(х ® у) = и (х, у). Отображение и произведения Л = (Е/М) Х (Р/Л/) э Е билинейно, и ясно, что элементы вида и(х, у) порождают Е, Пусть теперь/ — билинейное отображениепроизведения Е в произвольный А-ььодульь,ь. Для любых хиЕ, уРРположим /ь(х,у) = =-/(х,у); так как /ь — билинейное отображение Е х Рв ьг', то существует линейное отображение у, модуля Е ф Р в ь',1, такое, что д, (х ® у) = /ь (х, у) = /(х, у); тогда Кь (х З у) аннулируется как для хвнО(шойМ), таки для у.=гО(шойЛ') и, значит, у, аннулируется на Г(М, Ль); отсюда вытекает (гл.
!1, э 2, предложение 1), что полилинкинла ллгккгл гл,пк 11 д,=дою, где д — линейное отображонве Е в ф. 1(сотому Х(х, у) = =д(ю(х® у)) =-у(и(х, у)), т. е. Х= дои. В силу предложения 3, примененного к модулям ЕЛ)Х, Р/Л', Я и отображению и, модуль Я изоморфен (Е/М) ® (Р1Х): изоморфпзм Я иа (ЕЛ1Х) 3 (Р/Х), определяемый отображением предлольепия 3, относит классу х 3 у по модулю Г(М, Л') тензорное произведение х® у; мы будем нааывать этот изоморфизм и взоморфиэм, обратный ему, капоническ ими. Слкдствнк.
Пусть а и Ь. любые оеа идеала кольуа А; тензорное произведение моногенных модулей А1а и А/Ь изоморфно моногенному модулю А/(а ',- Ь). Действительно, при каноническом отождествлении модулей А 3 А и А (следствие предложения 5) подмодуль Г(а, Ь) модуля АЬЬА отождествляется с идеалом а+ Ь, откуда и следует справедливость утверждения.
Пусть М вЂ” произвольный подмодуль модуля Е, Л' — произвольный подмодуль модуля Р, ~р — каноническое отображение М в Е я ~р — каноническое отображение Х в Р. Отобран'ение (х, у) — > ~у (х)Зф(у) произведения 31Х ': Л' вЕ~ЯР, будучи билинейным, определяет (называемое каноническим) линейное отображение О ъюдуля ЛХЯ Л' в Ь Я Р (такое. что О (хб1 у) = ср (х)Яф (у)); образ О(М 13 Л') модуля М ® М при этом отображении есть подмодуль в Е ЯР, порожденный элементами ~р(х) ф ~у(у), где х пробегает М и у пробегает Л'; по вообще, О не есть изомор1дизм ЛХ сХ Л' в Е ф Р (см. упражнение 1), что тем самым не позволяет отождествлять М ® Л' с О (МфЛ). Однако справедливо следующее предлои1ение: Пгкдложкниг. 7. Пусть Е и Р— А-модули, являющиеся прямыми сумл~ами сел~ейлств (Е1) и (Р„) своих подмодулей.
Каноническое отображение Ьк бс Рв в Е 3 Р для каждой парь1 индексов (Х, р) есть изоморфизм на некоторый подмодуль Ск„модуля Е бр Р, и Е ф Р есть прямая сумльа подмодулей Сью Пусть С вЂ” прямая сумма семейства А-модулей (Еь ф Рв) (гл. 11, з 1, и' 7); мы определим билинейное отображение и произведения Е х Р в С, удовлетворяющее условиям предложения 3, откуда будет следовать, что С нзоморфно Е 3 Р.
Для кап~лого ткнзовпыв пеоизвкдвния модулкй 343 элемента х = ~ х1 из Е, где хьюг Ею и каждого элемента у = ~ у„ Т -1 нз Р, где у„рР„, положим и(х,у) = ~ (ха 8 у„); ясно, что и— Х в билинейное отображение и и(Е х Р) порождает 6, Пусть теперь У вЂ” произвольный А-модуль и /- билинейное отображение Е зс Р в Л', пусть, далее, /гв для любой пары (Л, р) — сужение г на произведение Еь Х Р„. Так как ~ы1 бплинейно, то существует линейное отображение дь„модуля Еь 3 Р„в Х такое, что 6„(хюуо)=уз„(хьрэуо) для всех хьсЕы увбРо, 'с другой стороны, для х = т х1 б Е и у = ~ у„б Р имеем 7 (х, у) = ~ ~(хы ув) = ь и ь,в = л'.
6н (хю Уо) = л. Кьз (хх Я у„); поэтому, обозначая череа длинейо ное отображение 6 в Л', сужение которого на Еь ® Р для каждой нары (Л, р) равно дь„(гл. 11, з 2; предложение 3), имеем 7(х,у)=д(~~(хьбуу„))=д(и(х,у)), или 1=-дои. Следовательно, ь.и модули Еф Р и 6 изоморфны; изоморфизм о модуля Е бр Р на 6, определяемый отобраягением предложения 3, относит тензорному яроизведеник~ х Я у элементов х = ~ х1 и у = 2: у„ элемент ь в (хьбуум) из 6, где каждое тензорное произведение хьбру„ в берется в модуле Еь Я Р„; ясно, что сужение о на 6м„есть изоиорфизм 6х на Еь Я Ро, обратным к которому служит канонический изоморфнзм Еь Я Рв в Е ф Р. При выполнении условий предложения 7 модули 61„и Еь ® Р„ посредством изоморфизма о отождествляются. Слкдствнк 1.
Если Р обладает базисом (Ь„)аз и, то модуль Е К Р изоморфеи модулю Е™ и каждый элемент из Е ® Р может быпеь, и притом единственным образом, представлен в виде ~ (х„Я Ь„), в 'де х„РЕ. Действительно, лри указанном отождествлении Е 8 Р есть прямая сумма подмодулей Е бУ (А Ь„); так как в — ь $Ь„есть нзоморфизм А на АЬ„, то из предложения 5 вытекает, что х — эх бй Ь„есть изоморфизм Е на Ебу(АЬ„), чем утверждение и доказано. ПОЛИЛИНКЙНАЯ АЛГЕБРА гл, ззк $ т 344 Счкдствик 2. Если (ах) — базис модуля Е и (Ь„) — базис модуля Г, то элементгл оь бЬ Ь„образуют базис модуля Е 8 Г. Допуская вольность речи, мы будем называть базис (аьз Ь„) тензорным произведением базисов (аь) и (Ь„). Мы видим, что если Е и à — векторные пространства над полем К, а х н у — ненулевые элементы из Е и Г, то х 8 у ~ О; действительно, в Е существует базис, содержащий х, и в Г— базис, содержащий у.
Следствие 2 показывает также, что если Е и à — конечномерные векторнью пространства над полем К, то и Е Зà — конечно- мерное векторное пространство над К, причем г) ни (Е 8 Г) = Йга Е г) пп Г. Слкдствик 3. Пусть Е и à — А-модули, а М и Х вЂ” их подмодули. Если М обладает дополнением в Е и Тз' — дополнением в Г, то наноническое отобраэхение М бу эч' в Е ® Г есть изоморфизм и образ Мз эт' при этом изоморфизме обладает дополнением в ЕЗГ. В этом случае (всегда реализующемся, когда Е и à — векторные пространства (гл.
Ц, з3, предложение 5)) модуль М бу й' отождествляется с его каноническим образом в Е 8 Г. То, что для подмодуля М модуля Е и подмодуля Л' модуля Г каноническое отображение М ® Л в Е 3 Гне обязательно являетсв изоморфизмом, можно также выразить следующим образом: если (х,) ~ <„<„и (у,)1<; „— конечные последовательности элементов из Е и Г, для которых ~ (х;8 у;) =О в Е 3 Г, а М и Ф вЂ” подь модули в Е н Г, порожденные соответственно элементами х; и у;, то ~(х;Яуь) не обязатольно=О в МЗЛ'. Отметим, однако, следующее предложение; Пгкдложкник 8.
Пусть (хь)~<;еьи (у;)1яьи„— семейства злемен- товизЕи Г, для которых ~э (х, фу,) = О в ЕбЬГ. Тогда существуют 1 подмодуль Е в Е, содержащий все х,, и подмодуль Г в Г, содержащий все уы имеющие конечное число образующих и такие, что ~~ (х,буу,) =О в Е„3Г,. 34б ткнзонныв пвоизввдвния модтлви Действительно, по предположению, в модуле 6=А~~~~~ форыальных линейных комбинаций элементов из Е Х Р элемент ~ (хм у1) принадлежит подмодулю Н, на котором аннулируются все билинейные функции (и' 2). Значит, согласно определению Н, ~' (хы уг) можно представить в ниде линейной комбинации конечного числа элементов г, б 6 видов (и, о+ о') — (и, о) — (и, о'), (и+ и', о) — (и, о) — (и', о), (аи, о) — а (и, о), (и, ао) — а(и, о).
Пусть тогда Е, (соответственно Р,) — подмодуль модуля Е (соответственно Р), порожденный элементами х, (соответственно уг) и вселж элеыентами из Е (соответственно Р), фнгуриругощимк в упомянутых выражениях для элементов з . Модуль 6, = А (лгхли можно считать подыодулем в 6; тогда подмодуль Н, в 6„, на котором аннулируются все билинейные функции, определенные па Е, х Р„будет подыодулем в Н П 6„содержащим все з, а, значит, также хч (х,, у,), чем предложение и доказано. 3 а м е ч а н и е. Пусть В- подкольцо кольца А, имеющее тот же единичный элемент, что и А, и пусть В и Р— А-модули.
Сузив области операторов внешних законов этих модулей до кольца В, мы определвм в множествах и и Р структуры В-модуля; пусть Вл и Рв— определенные так В-модулн. Тогда можно рассматривать, с одной стороны, В-модуль РлЯРл, а с другой — В-модуль, нолучепный путем сужения области операторов А-модуля Р3Р до В; вообще атн два модуля ье изолерфзьь Например, пусть А — поле и  — его подполе,степень (А: В) которого есть конечное число нк так как векторное пространство А Я А вад А изоморфно А, то при сужении области операторов до В мы получим т-мерное векторное пространство над В; напротвв, согласно формуле (Ь), Ав бРАл будет иметь оыюсятельяо В размерность тз. Таким образом, говорить о тензорном произведении двух модулей не имеет смысла до тех пор,пока не указано кольцо операторов, относительно которого зто произведение берется; явное указание этого кольца будет опускаться, лишь когда контекст не будет оставлять никакого места сомнениям насчет него.
ПОЛИ»»ИНЕННАЯ АЛГЕБРА ГЛ. 111, 1 1 а. Хегвзоргвое произведение лвигсейнызс отображений Пусть Е,Е, Г"„Рз--А-модули и иг (в =1,2) — линейное отображение Е, в Гв Согласно стол»»и из и" 2, положив и (х, 3 х,) = =и,(х,) 3 и,(хз) для каждого тензорного произведениа х, »3 х й й Е, »3 Е, мы определим линейное отображение и модуля Е, ®Ез в модУль Рв<фР . Обозначим вРеменпо это отобРажение и чеРез »р(и„и,); очевндко (и' 2, сколня) <р есть билинейное отображение произведения Х (Е„гв) Х Ж (Е, Е ) в модуль Х (Ев (ф Е„рв 9»рг); следовательно (и' 2), существует, и притом только одно, линейное отображение»(» тююорнозо ~роазведения Х (Е„Р») Е»Х (Ез, Рз) в Х(Е»~3Е, Г"1»3 Гг) такое, что»р(и„из) =в)»(и»фиг), Вообще»)» не есть изоморфием Ж (Е„с») (3 Ж (Е, рД на Х (Ев 6» Е»л Е»3 Гг) ' (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
