Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Если и — не постоянная аффинная функция на Е и Ай К, то мноягество всех хрЕ, удовлетворяющих уравнению и(х)=Х, есть гиперплоскость; обратно, для каждой гиперплоскости ЕХ пространства Е существует аффипная функция и, на Е такая, пРиложенне 11 н глАве и АФФинные НРостРАнствА -1 что Н=иэ(0), и каждая аффинная функция и, для которой 1 И=и(0), имеет впд и,р, где )г~ К (3 4, предлоягенне 9). Кслн и — аффннная функция на Е, то гпперплоскостн, определяемые уравненнямн и(х) = сг н и(х) = р, параллельны. У п р а ж не н пи.
1) Четверка точек (а, Ь, с, Ы) аффиивого пространства Я вад телом К называется аараалеасграггггсгг, если Ь вЂ” а= =с — И, причем в этом (случае и (а, а, с, Ь) — параллелограмм. Показать, что если К вЂ” характеристики ~ 2, то середины пар (а, г) н (Ь, а) совпадают; что можно сказать в случае, когда К вЂ” характеристики 2? 2) Пусть а, Ь, г„н — любые четыре точки аффинного пространства К над телом характеристики Ф 2. Показать, что если х, у, г, г— середияы пар (а, Ь), (Ь, с), (г, И) и (г?, а), то (х, у, г, 1) — параллелограмм (упражнение 1).
3) Пусть К вЂ” тело характеристики ~ 2, Š— аффинвая плоскость над К и а, Ь, с, а' — четыре ее точки, никакие трп иа которых не лежат на одной примой. Обозначая через 2? „прямую, проходящую'через точки х и у, допустим, что прямые 2?,з и В,а имеют общуто точку е. а прямые ггаа н Вгг — общую точку 1.
Показать, что середины пар (а, с), (Ь, Н) и (г,?) лежат на одной прямой. Во что переходит это свойство, когда Юаь и Юга нли Ваа и Х?г, параллельны? Случай тела К. состоящего из трех элементов. 4) Пусть К вЂ” тело характеристики ~ 2 н Ф 3, К вЂ” аффиивое пространство над К, а, Ь, с — трп его точки, не лежащие па одной прямой, и а', Ь', с' — соответственно середины пар (Ь, с), (с, а) и (а, Ь). Показать, что прямые )3 „2? „, иР„, проходнтчерезцентртяжеств тройки точек а, Ь, с.
Во что переходит это свойство, когда К вЂ” характеристики 2 или 3? Обобщить на систему и аффиппо независимых точек. 5) Для того чтобы непустое множество У точек аффипного нро странства К над телом К, содержащим по крайней мере три элемента, было линейным многообразнем, необходимо и достаточно, чтобы длв любой пары (х, у) различных точек из У прямая )?хэ, проходящая через х и у, вся целиком содержалась в У. Если К состоит иа двух элементов, то для того, чтобы У было линейным многообразием, необходимо н достаточно, чтобы центр тяжести любой тройки точек из 1' принадлежал У. 6) а) Пусть Я вЂ” аффинпое пространство над телом К. Для того чтобы аффинное отображение и этого пространства в себя преобразовывало каждую прямую в параллельную ей прямую, необходимо и достаточно, чтобы линейное отображение э, ассоциированное с и, было гомотетией г — ~- уг с коэффициентом у ~ О, принадлежащим центру тела К.
Если у=1, то и — перенос; показать, что если у е 1. нРиложение 11 и ГлАВе 11, АФФинньгелпРОстРАнстВА 317 то существует, и притом только одна, точка а б Е, для которой и (а)= = а. Если принять а аа начало в Е, то и совпадет с некоторой центральной гомотетией относительно определенной так структуры векторного пространства в Ь'; и нааызается тогда центральной еомеглетаией .аффинного пространства Е с центром а и коэффициентом у. б) Пусть и, и и — аффинные отображении Е в Ь', каждое из которых есть перенос или центральная гомотетня атого пространства.
Показать, что и и,и, есть его перенос или центральная гомотстия; показать, что если и„ие и и,и, все три являются центральными гомотетнями, то их центры лежат на одной прямой. Что можно скааать в случае, когда и, и из — центральные гомотетии, а и,и,— перенос? в) Показать, что множество Н всех переносов и центральных гомотетий является нормальной подгруппой аффинной группы пространства Е и что Н[Т изоморфно мультипликативной группе центра тела К; показать, что группа Н люжет быть коммутативвой только когда Н=Т, иными словами, когда центр тела К состоит лишь из двух злементов. л7) Пусть Ь'(соответственно Е') — аффннное пространство конечной размерности л )~ 2 над толом К, содержащим по крайней мере 3 злемента (соответствепно над телом К'), и и†инъективное отображение Е в Е', преобразующее любые три точки, лежащие на одной прямой, в три точки, лежащие па одной прямой, и такое, что линейное многообразие в Е', порожденное множеством и (Ь), равно Е'.
а) Показать, что и преобразуют любую систему аффинпо независимых точен иа Е в систему аффинно независюиых точек. [Использовать упражнение 5.) б) Пусть Р„Р, — две параллельные прямые в Е и В,', Р,'— прямые в Е', содержащие соответственно и(Р,) и и(В,). Показать, что В,' и Вь лежат в одной плоскости и, если, кроме того, и сюръективно, параллельны. [Покааать, что в противном случае должны были бы существовать три точки, не лежащие на одной прямой, пераводнмые отображением и в ьочки одной прямой.) (См. Приложение П1, упражнение 11.) в) Будем предполагать, что еслиР,,Вь — параллельные нрямые из Е, то прямые в Е', содержа1цие соответственно и (Рг), и (Вз), параллельны.
Показать, выбрав в Ь' начало а и в Е' — начало а'=и(а), что существует изоморфизм о тела К на подтело К, тела К' такой, что если рассматривать Е как векторное пространство над К, а Е'— как векторное пространство над К,, то и будет инъективным полулииейным (относительио а) отображением Е в Е' (Приложение 1). [Рассмотреть сначала случай и=2. Показать, что, выбрав базис (е„е,) в Е, можно для любых двух злементов о и р тела К, отправляясь от точек О, е„ез, ое„[)ем построить в Е точки (и+р) е, и (а[)) еь 318 ИРИЛОЖЕНИЕ 11 Н ГЛАВЕ 11.
АФФИННЫЕ НРООТРАНОТВА с помощью построения параллелей к заданным прямым и точек пересечения заданных прямых; вывести отсюда, что в(Хе!)=)еи(е!), где о — изоморфизм тела К на подтело тела К'! далее, рассматривая прямую, соединяющую точки Ает и 31е„показать, что также и(хе!)= =)еи (е,). Наконец, перейти отсюда к случаю произвольного и индукцией по и.) Показать, что если и оиективво, то К,=К'. г) Распространить результат пункта з) ва случай тела К, состоящего из двух элементов, предполагая дополнительно, что и преобразует кажду!о систему аффинно независимых точек нз К в систем) аффивио неаависимых точек из К'.
ПРИЛОЖЕНИЕ П1 К ГЛАВЕ 11 ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Определепие проемтпывпьлх просп«раз«с»по Опгвдвлкник 1, 7евым (соответственно правым) проективным пространством, порожденным левым (соответственно правым) векторным пространством Ъ' над талом К, называют фактор- множество Р (У) дополнения У* к (О) в У по отношению зкзивалентности Ь (Г): «в К существует ХчьО такое, что у=Хх (соответственно у=хХ)» между х и у в Р". В случае, когда г'=К,"+л, вместо Р(К,"+') и А (К,"+') пишут также Р (К) н А„(К), Определение 1 можно выразить также, сказав, что Р (У) есть множество всех (однородных) прямых пространства у, лишенных начала, и, значит, канонически отождествляется с множеством всех (однородных) прямых пространства у.
Элементы проективного пространства называют его точками. В случае, когда У имеет конечную размерность и, размерностью проектнвного пространства Р(У) называют целое число и — 1 и обозначают его гПшкР (У) или «Пш Р (У). Так, проективное пространство размерности — 1 пусто, а проективное пространство размерности О сводится к одной точке. Проектнвное пространство раз»зоркости 1 (соответственно 2) называют проектиеной прямой (соответственно проективной плоскостью). В дальнейшем рассматриваются только левые проективные пространства. 320 ПРнложкние 111 к глАВВ 11 пРОкктиВные пРОстРАнстВА 3. Однородные коордтвнвт1ьы Пусть à — векторное пространство размерности и+1 над К, Р (Г) — порожденное им проективиое пространство размерности и, (е1)в<1,„— багие пространства Г и я — каноническое отоп бражение Гв на фактормножество Р (Г).
Если х=-2', 51егб Г*, то 1=0 ($в, $1, ..., $„) называют системой однородных координат точки п(х) относительно базиса (ег) пространства Г. Таким образом, каждая система Дг) и+1 злементов тела К, которые нв все равны нулю, есть однородная система координат некоторой точки нз Р(Г) относительно (ег); для того чтобы две такие системы $1), (Ц) были системами однородных координат одной и той В1е точки из Р(Г) относительно одного н того же базиса (ег), необходимо и достаточно, чтобы в К существовал элемент 1~ 0 такой, что е1=Ц1 для всех 1 (О < 1 < и).
Если (ег) — второй базис пространства Г, причем ег= 2~ а,,е~ 1-0 (О ~< 1 < и), и (з1) — система однородных координат точки и (х) отяосительно базиса (е,), то для того, чтобы система ф1) и+1 элементов из К была системой однородных координат точки п(х) относительно базиса (ег), необходимо и достаточно, чтобы в К существовало Х~ 0 такое, что Цг=~ $;ап (О 1<и), г=о В частности, при е1=угеы где уг ФО (0<1»; л), $1 — — р$1уг, где р, 4= О. Эти определения непосредственно обобщаются на случай бесконечномерного Г.
З. Авроенттвеные лтвнейные мтвогообранмл Пусть И' — векторное подпространство векторного пространства Г; канонический образ множества И'*= вà — (0) в проектнвном пространстве Р (Г), порожденном Г, называется праективным линейным многообразием (или просто линейным многообразием, л пРиложеиие 111 к ГлАВе !! ПРОектпВные пРОстРАнстВА 321 если можно не опасаться путаницы); так как отношение эквивалентности сз (И') в И'* ппдупируется отношением Л (Г), то проектпвноо лпиейшое многообразие в Р (Г), являющееся образом И!*, можно отождествлять с ироективпым пространством Р (И'), порожденным И', и, следовательно, говорить о размерности такого многообразия. Линейное многообразие в проективном пространстве Р (Г), являющееся каноническим образом гиперплош ости из У (лишенной начала), называется просктивной гипсрплоскостью (или просто гиперплосьостью) атого пространства; если Р (Г) п-мерно, то гииерплоскости в Р(Г) — это его (и — 1)- мерные линейные многообразия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
