Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Очевидно, этот ранг равен рангу линейного отображения и, пссоцпирпвпяпозе с в (па 2), ибо каждый бааис подпространства У пространства Рс относительно К есть также базис 1р ( У) относительно К'. 4. Сопряженное н тголтглинейному опзображению Пусть А и  — иэоморфцые кольца, Š— левый А-модулто Р— левый В-модуль, и — полулинейкое отобрав<ение Е в Р относительно изоморфизма о кольца А ва В па ' — изоморфизм В на А, обратный к о. Для каждого у' й Р' пРиложкник 1 н РПАВк 11.
Нолулинеиные ОтОВРАжкния 305 ась отображение х — > (и(х), у')а есть линейная форма на Р; обозначив ее 'и(у'), мы определим отображение 'и модуля Р» в Е», называемое по-прежнему отображением, еалряжеииит к и; таким образом, 'и определяется тождеством относительно х б Р и у' й Р» (и(х), у')=(х, 'и (у'))а Беа труда проверяется, что 'и есть явлулинейнве отображеыие Р» в Е» относительно изоморфизма о Ц Если и — линейное отображение Е в Р „ ассоциированное с и, и 4~ — тождественное отображение Ра на Р, так что и=с>» и(п' 2), то, как легко видеть, 'и='и 'х, и '~р есть биизоморфнам Р» на (Р )» относительно изоморфизма о 1; это соотношение позволяет сразу распространить яа сопряженные полулинейиые отображения все установленыые в 5 4 свойства сопряженных лиыейяых отображений. В.
Мгетрнт(а нолй линейного отпобралсеннл Пусть А и  — нзоморфные кольца с единицей и а — изоморфпзм А на В, Для каждой матрицы Х=(е ) ыад А обозначим через Ха матрицу (ф„) над В; очевидно (Х ~ У)е Ха 1 Уа (Х2)а Хайа (аХ)а = оаХа (Хо)а=Хааа (в предполоя<епни, что рассматриваемые операции имеют смысл). Пусть Š— унитарный аравий А-модуль с конечным базисом (а ) гы Р— унитарный правый В-модуль с конечным базисом (Ь„)„и и — полулинейыое отображение Е в Р относытельяо изоморфизма о; коэффициенты а„разложений и (а ) = ~' „Ьио„вполне определяются заданием и, и, обратизм но, их ааданне определяет элементы и(а„), а следовательно, н и Я 2, следствие 2 предложения 3); матрица (о„) м с элементамн ие В называется матрилей отображения и относительно ба»исав (а ) и (Ь„) и по-прежнему обозначается М (и; (а ), (Ь„)) или просто М(и).
Пусть С вЂ” кольцо, изоморфное А и В, т — изольорфнзм В ка С, С— унитарный правый С-модуль с конечным базисом (е.) ет и и — полулннейное отображение Р в С относительно изоморфизма т. Бслн С вЂ” матрица отображения и относительно базисов (а ) и (Ь ) и У вЂ” матрица отображе- 1 и ыия и относительно базисов (Ь„) и (е.), то матрица отображеыия и и относительно базисов (а)) и (е ) равна УС".
В частности (сля 4 6, и' 4), если, кзк обычно, отождествлять'элелеент х б Е (соответственно у б Р) с одкостолбцовой матрицей, образованной его компонентами относительно (а„) [соответствеыно (Ь„)), то и (х) М (и),ха (2) 20 н. Втрсака 306 пРиложение 1 н ГлАВе и.
Нолълинейные ОГОВРАжения Пусть (в') и (Ь,'„) — бааисы в Ее н Р*, солрлженные к (а.) и (Ь„); если У вЂ” матрица отображения и относительно базисов (аь) и (Ьв) то матрица отображения еи относительно базисов (Ь' ) и (а') равна 1(о'е ). пакояец, если (а )ььы (ьв)в~ее — базисы модулей ь' и Р, Р— матрица перехода (Ь 6, 1Р 0) от (а ) к (а ) н ~',1 — матрица перехода от (Ь„) и (Ь ), то матрица отображения и относительно базисов (и ) и (Ь„) равна 1з-еееро ПРИЛОЖЕНИЕ И К ГЛАВЕ 11 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение аффмнтгегэс проетпранепзв Опгкдклкник 1. Аффинным пространством, ассоциированным с заданным левым (соответственно правым) векторным пространством Т над телом К, называется кахсдое однородное пространство Е аддитивной группы Т (гл.
1, З 7, и' 6) такое, что 0 является единственным ее оператороль, оставляющиль и~ вариантпными все элементы из Е (т. е. что Т действует в Е точно и транзитивно). При этих условиях Т называется пространством переносов аффинного пространства Е, а элементы из Š— переносами пространства Е (или свободными векторами этого пространства). В дальнейшем мы ограничимся случаем левого векторного пространства Т над К. Размерность (иад К) векторного пространства Т переносов аффинного пространства Е называется размерностью пространства Е (над К) и обозначается сНш Е или йшл Е. Одномерное (соответственно двумерное) аффинное пространство называется аффинной прямой (соответствепно аффинной плоскостью). Элементы аффинного пространства именуются также точками. В условиях определения 1 мы обозначаем через к+а или а+в, где Вб Т и абЕ, образ точки а при отображении з. Таким образом, каковы бы ни были в 6 Т, Г к Т и а У Е, в+ (з+ а) =- (в + ь) + а, О + а = а.
(1) !1роме того, из определения 1 вытекает, что для каждого ауЕ отображение з — ь г+ а есть биекция Т на Е. Иными словами, для 20* 308 пРиложкннк и к ГлАВИ 11. АФФинные пРостРАнстВА любых двух точек а, Ь из Е существует, и притом только один, перенос з такой, что Ь = й+ а; будем обозначать его Ь вЂ” а; каковы бы ни были ай Е, ЬР Е, сб Е, имеем а — а=О, а — Ь= — (Ь вЂ” а), Ь=(Ь вЂ” а)+а. (с — Ь)+(Ь вЂ” а) =с — а. (2) Если точки а, Ь, а', Ь' пространства Е таковы, что Ь вЂ” а=-Ь' — а', то, как следует из формулы Ь' = (Ь' — Ь) + (Ь вЂ” а) + а = (Ь' — а') + (а' — а) + а и коммутативности сложения в Т, Ь' — Ь=-а' -а (вправила параллелограммаз).
Для каждого ай Е отображение х — эх — а есть бнекция Е на Т;, отождествляя Е с Т посредством этого отображения, говорят, что Е рассматривается как векторное пространство, полученное путем принятия а за начало в Е. Обратно, каждое векторное пространство Т канонически наделено структурой ассоциированного с ним аффинного пространства, а именно структурой однородного пространства, соответствующего подгруппе (О,' аддитивной группы Т (гл. 1, $ 7, и' 8).
3 а м е ч а к и е. Определении этого и' и часть дальнейших результатов,непосредственно распространяются на тот случай, когда вместо векторного пространства Т рассматривается произвольная коммутатиеиап аруппа е операторами Т. 2. Баризгенпзрнмесное исчисление Пгкдложвнне 1. 11 усть (х,),ег — семейство точек аффинноео пространства Е над К, (Ь,),аг — семейство элементов из К, равных нулю для 'всех кроме консчнозо числа индексов и таких, что ч~~ )ч = 1 (соответственно ~ Х, = 0), и а — произвольная точка езт ив 1 из Е. Точка хб Е, определяемаа формулой х--а 2„:Х„(х,— а) ив 1 (соответственно свободный вектор ~ 3,,(х,— а)), не зависит огп Мг рассматриваемой точки а.
о пРиложв1пик 1! к ГлАВв 11. АФФиннык простРАнствА 309 Действительно, для любой другой точки а' р Е имеем У Хв (х, — а ') =,~ )вв ((хв — а) + (а — а')) = в в = ~'. )в! (х, — а) +. ( ~ )вв) (а — а') . Если ~~~ Хв = 1, то получаем ~~„)вв (х, — а') =- (х — а)+ (а — а') = х — а', в в ЕСЛИ жЕ ~~', А,=О, тО ~ Хв(Х,— а') = ~~ Х„(Х, — а), И ПРЕДЛОЖЕНИЕ доказано. В условиях предложения 1 точка х, определяемая формулой х — а = ~~~ ~, (х, — а) (соответственно свободный вектор ~~~ Х, (х, — а)), вас вет будет обозначаться ~~'", Хвхв. В частности, таким образом вновь взт получается обозначение 6 в а, введенное ни' 1.
В случае ~~~~~ )вв = 1 точка х = ~ )ввхв называется центром тяжести семейства точек х„ в снабженных масса.ки )в„. Если в,, ..., о — точки из Я, число т которых не делвтся на хврантвристику тела К (гл. 1, 18, л 8), то точку е= ~„— е называют в 1 т в=1 (докусная вольность речи) центром тлекеств семейства точек о! (1<! (т) (лри т=-2 вместо «центр тяп!ости« товорлт «середизав); т он характеризуется соотношением У (ав — Е) =О.
! 1 3. Лннейные многообразия Оптвдилвнив 2. Множество (с точек аффинного прострая ства Е называют аффинным линейньвм многообразием (или просто линейвеым многообразием), если для каждого 'семейства (хв)в«1 точек ив У и каждого семейства (вч)вет элементов иэ К, равных нулю для всех кроме конечного числа индексов и таких, что ~~~ ~Хв = 1, вот центр тяжести УвХ«х, принадлежит (с. вг1 310 пгнложвнив !! к гггявв !!. яч эиннык пеостккнствк Достаточно потребовать, чтобы условие определения 2 выполнялось для каждого конечного семейства точек нз р. Пустое множество ость линейное многообразие; пересечение любого семейства линейных многообразий есть линейное многообразие. Пусть )г — попустое множество в Е и а — его точка; соотношение к .! -г!=- ~ Л,(х, - о) ~=! означает, что х есть центр тяжести ~ Лгхг+(1 — ~ Л,.) асемейства, г=! г=! образованного всеми точками х! и а.
Следовательно: Пгвдложвник 2, !)ля того чтобы нспустов мнохсгспгво У точек аугу!инного пространства Е было линейным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы Ъ" было вскторнььм подпространством относительно структуры вгктпорного пространства в Е, получаемой путс.ч принятия любой точки из !г га начало.
В частности, непустые аффинные линейные многообразия векторного пространства Т (рассматриваемого как аффшшое пространство) — это не что иное, как множества точек, получаемые путем переносов векторных надпространств этого пространства Т; значит, векторные подпространства пространства Т вЂ” это линейные многообразия, содержащие О; нх называют такнсе однородными пикейными многообразиями. Пусть У вЂ” непустое линейное многообразие аффинного пространства Е; множество.0 всех свободных векторов х — у, где х и у пробегают !'. ость векторное надпространство пространства Т переносов аффпнного пространства Е; действительно, осли ар у, то можно напвсать х- у=(х — а) — (у — а) и достаточно проверить, что множество всех свободных векторов х — а, где х пробегает У, есть векторное надпространство пространства Т; но так как (х — а) -)- (у — а) = (х -)- у — а) — а и Л (х — а) = = (Лх+ (1 — Л) а) — а, то это вытекает яз определения 2.
Мы будем приложение 11 к глАВе и. АФФинные пРОстРАнстВА 311 называть Р направляющим подпространством или направляющей линейного многоооразия У, Очевидно, Р действует в с' точно н транзитивяо, так что У канонически наделеяо структурой аффинного пространства, ассоссиированного с Р. Под размерностью линейного многообразия вв понимают его размерность в этой структуре аффннного пространства, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
