Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 62
Текст из файла (страница 62)
нов пользоваться мультипликативным обозначением. Пусть П вЂ” сук ма (Теор. мн.. Рез., $ 4, и' 5) областей операторов всех этих внеш них законов, и отождествим каждую из этих областей с соответствующим ей яодвшожеством в Я. Пусть Ь (1)) — свободкыи мокеид (гл. 1, 1 1, и' 3), порождаемый ыножеством Я; мы определим внешний заков композиции (а, х) аз на Е, имеющий Е (Я) своей областью операторов, иидукцией по длине слова а в Ь (П); если а — длины 1, то оно принадлежит одной (и только одной) из областей операторов заданных на Е внешних законов, и ах определено. Если теперь Хз определено для всех слов й длины и — 1 и а — слово длины и, то имеем а=ру, где у — длины и — 1, а р — длины 1, и мы полагаем тогда ах=() (ух).
Иядукция по длине слова а показывает, что, каковы бы ни были слова а и р из Х (Я), а (рх) =-(ар) х для каждого х б Е. Пусть теперь А — мояоидная алгебра моноида Ь (12) относительно кольца Х рациональных целых чисел; определим внешний закон композиции (а. х) -~ аз на Е, нмегощий А своей областью операторов, полон<ив ах= ~, пз (йх) лэ ь(п) для каждого а= ~ пью (пх б 7).
Без труда проверяется, что этот ьзьш> внешний закон удовлетворяет аксиомам (М ), (М ) и (Ы н), тем самым определяя в Е структуру унитарного левого А-модуля, и что эта структура удовлетворяет поставленным выше условиям 1' и 2'. Описанный метод применим к любым коммутатнвным группам с операторамп; по, рассматривая коммутатизные группы с операторами, удовлетворяющие некоторым дополнительным аксиомам, часто можно удовлетворить условиям 1' и 2' (в предположении, что фигурирующие в условии 2' коммутативяые группы Е и Е обе удовлетворяют рассматриваемым аксиомам), ассоциируя другим способом структуру модуля со структурой группы с операторами в Е. Часто встречающийся важный частный случай — это случай коммутативных групп с операторами, имеющих лишь один внешний закон, причем областью операторов его служит мультипликативный ьз> г в Б Р >я монеид Б (чаще всего являющийся группок), так что тождественно а фх)=(аб) х (где аб-.пронзведенне а и б в у).
Если в етом случае  — ыонондная алгебра мононда В относительно Х, то мы получим структуру В-модуля в Е, обладающую требуемыми свойствами, длз каждого и = ~~, пьЛ (п> р Х) положив ах= ~~ п> (Лх) (заметик, лез лез впрочем, что то что мы делалн выше для общего случая, состояло прежде всего в сведения к рассматриваемому частному случаю путел> определения на Е внешнего закона с областью операторов б (О)). 1О. Пример>я а.ггеоум Р.
Риемвирг>тенету> жонотвднон илгеот>а Моноидную алгебру мояоида б относительно кольца А (коммутативного и имеющего единицу) можно также рассматривать как подмодуль произведения А, образованный те>ни семействами (а,),ез, в которых а, = О для всех кроме конечного числа индексов, с произведением, определенным соотношением (а,) ф,) = (у,), где для каждого збд уз= ~ а>р >и=и (15) (Г)) >(лл каждого зб о' существует ли>иь конечное число пар (С и) элементов из о таких, что 1и = з. Итак, предположим, что б удовлетворяет условию (0); определим па произведении А внутренний закон композиции ((сс,), ф,)) ь (у,), где у, задается для каждого з р д формулой (15).
Ясно, что определенное так на А умножение двояка дистрибутив- но относительно сложения и удовлетворяет тождествам (5), наконец, вследствие тождеств а„~ ук= ~ (( ь а„()ь)ум)=- Ч~' (аа( ~э р у )) П=> Ч'=~ ш=> ь ю=- оно ассе>(иативно. (сумма распространяется на все пары (ц и), для которых Ги=з). Сумма в правой части формулы (15) имеет смысл, поскольку лишь конечное число ссз и ()ю а зпач>гг и произведений а>р„, отдично от нуля. Но правая часть формулы (15) имеет смысл и для любых семейств (а,) и ф,), если моноид о' удовлетворяет следующему условию: ГЛ. !Взт линвйняя ялгкБРА Таким образом, зто умножение и два закона композиции имеющейся в А структуры А-модуля определяют в А структуру Я алгебры относительно кольца А; множество А, наделенное этой структурой, мы называем расширенной моноиднойе алгеброй моноида Я относительно кольца А.
Очевидно, .ионоидноя алгебра А '' мояоида Я относительно А нв (называемая также, при желании избежать всякой опасности путаницы, узкой моноидной алгеброй моноида Я) есть подалгебра расширенной мопоидной алгебры этого моноида (совпадающая с этой последней, когда Я конечно). Допуская еольноепзь речи, мы также всякий элемент (а,)егя расширенной люноидной алгебры коканда 5 относительно А обозначаем тем же символом е а,з, еел * что и элементы его узкой монондной алгебры; разумеется.
фигурирующнй здесь знак суммы пе выражает никакой алгебраической операции, поскольку нм охватывается бесконечное множество членов ФО. При этом ооозначекии умно'кение в расширенной моноидной алгебре мононда Я по-прежнему записывается в ниде ( 1 .
) ( Х ~, ) = ~ (( 1 ~,.) ) Все сформулированные в п' 9 свойства узких моноидных алгебр боз изменений распространяются на расширенные моиондные алгебры, за исключением продолжения представлении мононда о в алгебру К на его узкую моноидную алгебру, ибо такое продолжение на расширенную монондную алгебру, вообще говоря. невозможно. Пз иоиопдов, удоилетвориюши' условию (В), укажем, в част ности, множество К натуральных чи сл, издс,живое структурой, определяемой сложением, и множество Ке целых чисел ) О, иаделеииос структурой, определяемой умножением.
В главе ! У мы летально изучим узкую моиоидиую алгебру (кольцо полииомов от одной неизвестяой) и расширенную мояоидяую алгебру (кольцо формальных рядов от одной неизвестной) аддитивиого мопоида )Ч (отиосятельио любого кольца); расширенная моиоидяая алгебра мультипликативного модуля )Че (кольцо формальных радов дирихле) играет важную роль в теории Чисел. У п р а ж и е и и я. $) а) Пусть К вЂ” алгебра еенечнеео ранги пид полип Л; показать. что если е С К не ивлиетси пи левым, ии пре- 2В!) хлгкнгы вым делителем нуля, то Е обладает единичным элементом и а обратимо. (См. гл, 1, й 2, предложение 4.) б) Вывести отсюда, что если в Е ке существует делителей нуля, то Š— тело. 2) Пусть К вЂ” поле характеристики 2 н Š— его квадратичное расширение, имеющее базис, образованный элементами 1 и о, где из=пи+() (а 4 К, р С К).
Покааать, что если уравнение х' — ах— — ()=О не имеет в Л корня, то Š— тело; если это уравнение имеет два различных корня, то Е есть прямая компоаицкя двух полей, паоморфных К; наконец, если оно имеет только один корень (что возможно, лишь когда а=О), то Е изоморфно алгебре, обладающей базисом 1. о, где от=О. ,Пннейное отображение, оставляющее 1 инварнактяой н заменяющее и на и+и, есть автоморфиам алгебры Р. 3) Если А — коммутативкое кольцо с единицей н характеристикой —,2, то центр алгебры кватерпионов над А, соответствующей парс элементов (а, ()), не являющихся делителями нуля, совпадает с А.
4) Пусть К вЂ” пеле характеристики ~2; показать, что алгебра кватернионов над К, соответствующая паре (1, б), иаоморфна алгебре всех матриц второго порядка над К. (Рассмотреть базис алгебры квэ. ! 1 тернионов, образованный элементами —,(1 — и), —,, (1 к).,—,(о ю). 26 ! —,,( - а).) е5) Каждая алгебра кватерниоиов Е над полем Л' характеристнкк ' коммутативна, и квадраты всех хбЕпринадлежат К. !!оэтому подалгебра Кх алгебры Е, порожденнан элементом х Ч К, является квадратичным расширением К. а Š— квадратичным расширением Хх, Покааать, что множество С тех элементов из Е, квадрат которых равен квадрату какого-нибудь элемента из К, есть векторное надпространство в Е размерности 1, 2 или 4.
Если С одномерно (в этом случае С=К), то Š— тело. Если С двумерно, то в Е существует квадратичное расгпнреиие К„поля К, являющеесн телом, и Е имеет базис относительно К ., образованный злемецтаын 1 и и, где ие=.—.О; множество а тех у 4 Е, длн которых уе =О, есть идеал размерности и Е)а изоморфно Кх. Наконец, если С имеет раамерность 4 (н значит, совпадает с Е), то множество а тех у 4 Е, для которых уз= О, есть идеал размерности 3 и Е/а изоморфно К; в Е существуег базис (1, е,, е,„ео) такой, что е,=е)=ее=О, е,ее=ел, е,ее —— е,е,=-О; Кеэ4 б есть единственный одномерный идеал з Е; он является анпулятором идеала а, н а(5 есть прямая суыма двух взаимно аннулирующнхся а Е/Ь одномерных идеалов.
еб) Пусть К вЂ” поле характеристики =-2 и Š— алгебра ранга ! над К, обладающая базисом (1, и, и, ю), где ! — единичный элемент. Гл 1ь линий нля АЛГББРА а покарные произведения элементов и, в, ю задаются формулами (18! в которых а замекено нулем. а) Если р не является в К квадратом, то в Е не существует одно мерного левого (соответственно правого) идеала; множество а тех х Ь Е, для которых за=О, есть двусторонний идеал равмерпости 2, н Е!а есть тело, иаоморфнае некоторому квадратичному расширению поля Л' б) Если р является в К квадратом чьО, то в Е существует басю (е„ез, ез, е,) со следующей таблицей умножения: ( гз ) сз ! сз ) еа ед! О )е~(0 0)., .э(0) з ., / ., ! о о)о Множество а тех л Ь.Е, для которых з'=О, есть двусторовввв идеал размерности 2, являгощийся прямой суммой взаимно аннулирую шихся двусторонних идеалов Кеа и Ке„' эти последние являются един.
огненными одномерными (левыми или правыми) идеалами в Е. Факторалгебра Е!а есть прямая композиция двух полей, изоморфных Л'. в) Если (1=0, то множество а тех х 6 Е, для которых зз=-п, есть двусторопнин идеал размерности 3; Кю=Ь есть единственный одномерный (левый или правый) идеал в Е; это — двусторонний идеал. являющняся левым и правым аннулятором' идеала а. а/Ь есть прз мая сумма двух взаимно аннулирующихся одномерных двусторонних идеалов фактаралгебры Е!Ь! наконец, Е7а есть поле, изоморфное Л' 7) Пусть К вЂ” поле характеристики -'-2 и Š— алгебра над Л, обладающая базнсовг из четырех элементов 1, 1, !', Л (где 1 — един вч ный элемент), с таблицей умножения !2=!2=Аз=! 1!'=Е=Л, !к=А!=.0 го=!Ь=-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
