Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(18) 273 ылтрицы Действительно, и=фи ии 1р, где 1р — тождественное отображение Е на себя и ф — тождественное отображение Р на себя. Если в правой части этого соотноюения взять матрицу 1р относительно (ау) н (а;), матрицу и относительно (а,) и (Ь,.) и матрицу 1Р относительно (Ь1) и (Ь;), то формула (18) будет непосредственно следовать из формулы (4). Слвдствнв 1.
Если Г и У' — матрицы эндоморфиэма и л1одуля Е соответственно относительно базисов (ае) и (а,), то Г' = Р 1НР. (19) Слвдствив 2. Если ж=(Ц) и ж=(Ц;) — однострочные матрицы, образованные компонентами элемента хбЕ относиупельно базисов (а1) и (а1), то (20) Достаточно прибуенить предложение 8 к отображению $ — +х$ модуля Ал в Р, взяв матрицы этого отображения, с одной стороны, относительно базисов (е) и (а1), с другой стороны, отнссительно базисов (е) и (ау). Формула (20) равносильна формулам называемым формулами преобразования координат; заметим, что они выражают компоненты х относительно базиса (а,) через компоненты х относительно базиса (а1) н элементы матрицы Р, т.
е. компоненты базиса (ае) относительно базиса (а1); говорят, что при переходе к новому базису компетенты элементов модуля Е преобразуются контравариантным образом. Пусть теперь ж'=Я;) и х'=(Э1) — одностолбцовые матрицы (элементы которых принадлежат А'), образованные компонентами линейной формы х'бЕ* относительно базисов (а1) и (а,'), сопряженных к (ае) н (ае). Поскольку матрицей перехода от (а,') к (а1) 18 п. Бурбаки гл.п, зб 274 ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА служит 'Р ', имеем х'='Р 'ж', что может быть записано также в виде ' = 'к'Р (22) или с;. = ~~~ Ца,, (1~( (( и). (23) т=$ Говорят, что при переходе к новому бааису компоненты линейных форм на Е преобразуются ковариантным образом.
10. Эиаиеиьенпьтв«ме лааэтьрицы Опгвделвние 6. Матрицы Х и Х' иэ т строк и и столбцов над кольцом А с единицей называются эквивалентными, если существуют обратимая квадратная матрица т-го порядка Р и обратимая квадратная л«атрица и-го порядка () такие, что Х =РХЕ. (24) Прн этом определении предложение 8 можно выразить, сказав, что при переходе н новым базисам в унитарных А-модулях Е и Р (имеющих конечные базисы) матрица линейного отображснив и модуля Е вг" относительно новых базисов эквивалентна матрице отображения и относительно старых базисов.
Другое истолкование состоит в рассмотрении линейных отображений и и и' модуля Е в г, имеющих матрицы Х и Х' относительно фиксированных базисов (а«)гя«н„гг (Ь;)«»,, этих модулеп; тогда соотношение (24) равносильно соотношению и'=«ро и ц, где «р и «Р вЂ” автоморфизмы Е и Р, имеющие относительно базисов (а«) и (Ьг) соответственно матрицы () и Р. Очевидно, отношеняе «Х и Х' эквнвалентны«действительно есть отношение оквкоаленшноов«и (Теор.
мн., Реа., З 5) в множестве матряц яз ш строк к и столбцов над А, чем к оправдывается принятая термняологяя. Примеры эквивалентных матриц. 1) Говорят, что матрицы Х=(4;,) н Х' =(4,',) яа «л строк н и столбцов «отлкчоютол лишь порядком со«рок«, еаля существует подстановка о ннтервала (1, т) натурального ряда такая, что 4,.' ==боб для каждой пары индексов (д () (говорят также, что Х' получается ну«вы выполнения над 275 матрицы строками матрш<ы Х подстановки о ь). Матрицы Х н Х' тогда вквивалентньн нбо Х'=РХ, где Р— матрица подстановки о ' (над индексами базиса (Ь,) модуля Г; см.
и' 5). Точно так же говорят, что Х н Х' отличаютсл лишь порлдком столбцов, если существует подстановна т интервала [1, и[ такая, что Ц,= ь,. и> для каждой пары индексов (с, >). Так как тогда матрицы, транспоннрованные по отношению к Х н Х', отличаются лишь порндком строк, то они эквивалентны в, звачит, то же верно для Х и Х' (более точно: Х'=Х<'>, где <'> — матрица подстановки т (над индексами базиса (а<) модуля Х)). 2) Предположим тенер>и что для некоторого индекса !' и всех ~ (1 -..-: <.:т) имеют место равенства ",„= й;, + с<а>ь, где Ь— индекс ча >' и р — какой-нибудь элемент из А; говорят, что Х' получается из Х путем прибавление и !'-.иу аполбцу матрицы Х Ь-ео столбца, умноженного справа на р.
П в этом случае Х и Х' вквиеалентны: действительно, при втором из рассмотренных выше истолкований имеем и'(а,)=и (ад+ и (аь) и=и (а;! оар), значит, и'=и <о, где <о — автоморфнзм модули Х, определяемым условиями <о(а>)=а,+аар и <р(аь).=аь дпя ВСЕХ Ь па !' (Эта дЕНСтВИтЕЛЬКО азтОМОрфиэи, Нба ЭкдОМОрфИЗМ <Г', определяемый услониямн ьо'(а,)=а, — аьр и ю'(аа) — а>, для всех Ь чь >', обратен ~р). Так же убеждаемся в эквивалентности матриц Х и Х', когда Х' получается из Х путем прибавлении к <-й строке матрицы Х строки с индексом Ь чь <, умноженной слева па какой-нибудь элемент Л р А< тогда Х'= — РХ, где Р— матрица автоморфизма ф модуля Г, определнемого условиями ф(ЬА)=ЬА-Ь Ь;Л и ф(Ьь)=.Ь>, для всех Ь на Ь.
3) Наконец, Х и Х' аквивалептны также, если для ааданного индекса > и всех ! (1 ~ 1.< т) имеют место равенства зц=.$<>>ь, где р — обратимый элемент кольца А; действительно, тогда Х'=-ХЧ>, где <,> — матрица автоморфвзма <о модуля Г, определяемого условиями ч(а,)=а>р и <р(аь)=ад для всех Ь ч= >. В этом случае говорят, что Х' получается из Х путем умноженнл >чео столбца .иатрицьь Х справа на Точно так же Х' и Х эквивалентны, если Х' получается из Х путем умножении 1-й строки матрицы Х слева на обратимый элемент Л ЕА: тогда Х'=РХ, где Р— матрица автоморфизма ф модуля Г, определяемого условиями ф(ь,)=ьел и ф(ьа)=ьп для всех ь ~ ц Пгвдло>квнпк 9. Длл того чтобы две матрицы из т строк и н столбцов над телом К были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они имсли одинаковый Ранг.
Согласно первому кз приведенных выше истолкований эквивалентности, условие необходимо, поскольку ранг линейноги 1>>и 276 линвинзя Алгкввл гл, ы,16 отображения равен рангу матрицы этого отображения относительно любых базисов. Для установления досвзато юности условия покажем, что каждая матрица Х ранга г эквивалентна матрице (25) (где в правой части стоит клеточная матрица, соответствующая разбиению (1, лз1 на (1, г) и (г+1, т1 н разбиению (1, п) на 11, г) и (г+1, п)), называемой канонической матриг)ей ранга г из т строк и и столбцов над Х.
Предположим для этого, что Х есть матрица линейного отображения и модуля Е в Г относительно базисов (аг) и (Ь,), я покахсем,чтовЕиГсуществуютбазисы(аг) и (Ь,), относительно кото- -1 рых и имеет матрицу Н. Так как и — ранга г, то Нс-и(0) — размерности и — г; пусть 6 — подмодуль в Е, дополнительный к Н; тогда существует базис (аь) модуля Е такой, что (ат)гиги„будет базисом в 6 и (аг)„+1<;н„— базисом в Н. В таком случае векторы и(а,.) (1~<, < г) образуютбазисви(Е); значитврсуществует базис (Ьг)гиря, такой, что Ь,а и (а,.) (1< )< г) (у 3, теорема 2). Очевидно, базисы (а,), (Ь,) удовлетворяют поставленному требованию. В случае, когда А=(ан) — лево заданная матрица из лз строк и л столбцов изд телом К, можко, как мы зто увидим, явно определить обратимые квадратные матрицы Р и (), для которых РАГУ=0, где О'— каноническая матрица (25).
Можно ограничиться случаем, когда с=о(А) ) О, кбо иначе А — пулевая матрица и нечего доказывать. Умножая А слева и справа иа матрицы надлежащих подстаковок, молско всегда свести дело к случаю, когда а„4 О, а умножая слева первую строку ва а;,', — к случаю, когда ам=(; вычти тогда первую строку, умяожеииую каждый раз ка надлежащий скаляр, из каждой другой, мы обратим все члены первого столбца, кроме аы, в О; другими словами, существуют обратимая квадратная матрица Р, и матрица подстановки В, такие, что ()ге ° (ап О Р,АН, = (г 277 МАТРИЦЫ где В=(бы) есть матрица из т — 1 стропи и — 1 столбцов (2 < 1 еп т, 2 -..
1' ~ и). Если  — ненулевая матрица, то, умножая ее слева и справа на матрицы надлежащих подстановок, можно добиться, чтобы дте =- О. Поступая так последовательно с первыми г столбцами, убедппсн в существовании обратимой квадратной матрицы Р и матрицы подстановки Р (лево задаваемых указаннытш операциями), для которых рь г.г ..
реп ~г Рг)П = рг, г.е )ееп (26) О О Наконец, вычтя из каждого на и — г последних стотбцов этой матрицы надлежащие кратные первых г столбцов, что сводится к умноженито справа на (явно определяемую) обратиыую квадратную матрицу Б, придем к канонической матрице се. В том частном случае, когда А есть ебратамаи нвадратная матрица, в качестве Я можно взять еднни'шую матрицу; согласно формуле (26), тогда матрица Р, определенная описанным способом, будет просто матрпцей, обратной к Л (см. 1 3, и' 2, замечение 1 после следствия 3 теоремы 3, а также $6, упражыение Оа). Операции, приведнпее к матрице (26), позволяют также явно определить решения линейного уравнения Лх= Ь с явно ааданным вектором Ь.
Действительно, это уравнение может быть записано в виде РАН(Р 'х)=Р Ь; поснольку  — ыатрица подстановки, компоненты вектора )е=Х 'х, с точностью до порядка, те же, что у х. Теперь, дли того, чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы т — г последянх компонент вектора Р Ь были нулями; если зто выполнено, то иа соотношения РЛВу=РЬ сразу получаются первые г компонент вектора у в виде явных функций последних и — г, остающихся произвольными. Этот метод явного разрешения линейных уравнений известен под ыазванием метода последовательных иадетанееее; он действительно сводится к выражению первой компоненты вектора у через остальные с помощью первого уравнонпя, затем подстановке этого выражения в остальные уравыеннл и применению к этим последним той же процедуры до тех пор, пока мы не придем к системе, матрица которой имеет вид (26).
.е е. Подобные тсвадратпньге маупгоиг(ы Опгвдклкиик 7. Квадратные матрицы п-го чорядка Х, Х' над кольцом А с единицей называются подобными, если суи(ествует обратимая квадратная матриоа п-го порядка Р такая, что Х':=РХР '. (27) гл, ы,16 линийнхя Алгнпгь При этом определении следствие 1 предложения 8 можно выразить, сказав, что прн переходе в унитарном А-модуле Ю (имеющем конечный базис) к новому базису матрица эндоморфизма и модуля Ь' относительно нового базиса подобна матрице и относительно старого базиса.
Другое истолкование состоит в рассмотрении зндоморфнзмов и, и' н автаморфпзз»а ~р модули Е, имеющих Х, Х' н Р своими матрицами относительно некоторого финсираеаннага базиса в Е; соотношение (27) равносильно тогда соотношению и'=гр»и»«р ', Очевидна, и здесь отношение «Х н Х' похабны» есть отношение »зеиеееюгтн»ети в множестве всех квадратных матриц и-го порядка яад А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
