Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Действительно, пусть М(|и)=(Ььн)|л,нпьхм — матрица отображения 'и относительно базисов (Ъ|',) и (аь); по определению, [)Ак есть ).-я компонента элемента 'и(6„') в Ее, т. е., согласно формуле (12) т 4, примененной к правым модулял|, ( и (6„'), аь) = (Ьн, п (аь)); гл. и, 1~ ЛИНКЙНАЯ АЛГКВРА но (о', и(ах)) есть не что иное, как )х-я компонента элементе и (ах) в Е, т. е. а„ю Очевидно, '('Х)=Х. В силу формул (13) и (15) з 4, имеем '(Х+ У) = 'Х+ 'У, (11) '(Хг) = 'г'Х (12) всякий раз, когда матрицы Х+У и ХЯ определены. Разумеется, следует помнить, что в правой части формулы (12) произведения элементов матрицы Л на элементы матрицы Х должны браться в кольце Ас. Применим предложение 1, в частности, к линейной форме х' на Е. Сопряженное к ней отображение есть не что иное, как линейное отображение Авт в Е* (рассматриваемое как правый Ас-модуль), обозначавшееся выше через О, (и' 4).
Тем самым транспонирование однострочной матрицы М(х') (относительно базиса (ах) и базиса в А», образованного одним элементом е) дает одно- столбцовую матрицу, элелтентами которой являются компонеяпты Ц формы х' относительно базиса (ах) (рассматриваемые как элементы кольца Ао); это также прямо вытекает из определения матрицы М(х'). В соответствии с принятым в и' 4 соглашением, эта одностолбцовая матрица отождествляется с элементом х' сопряженного модуля Ев, и следовательно, соотношение (10) при и = х' дает (13) (х', х) = х' х. Пусть и — линейное отображение Е в Е; для каждой линейной формы у'р Е", в силу (10) и предложения 1, имеем 'и(у') ™('") у'='М(и).у' поэтому соотношения (12) и (13) показывают, что ('и (у'), х) = 'у' М(и) х, (14) и фундаментальная формула (12) з 4 (записанная для правых модулей) принимает вид частного случая ассоциативности произведения матриц: у' (М (и) х) = ( у' М (и)) х.
Следует помнить, что в зтнх формулах элементы одностолбцовых матриц х', у' должны рассыатрнэаться кан принадлежащие Ао, л алоыонты однострочных матриц 'л', 'у' — нан принадлежащие А . 269 МАТРИЦЫ Обратимые квадратные матрицы над А, с множеством Е индексов строк и столбцов, соответствуют автоморьригмам модуля Е (и' 5). Для каждого такого автоморфнзма и нонтрагредиентный автоморфизм и сопряженного модуля Е* ($ 4, и' 10), являющийся обратным к 'и, совпадает с сопряженным к автоморфнзму, обратному к и; таким образом, полагав Х=М (и), в силу предложения 1 имеем М (и) =('Х) г= ь(Х '), что позволяет, не опасаясь двусмысленности, обозначать эту матрицу просто 'Х ', опа называется матрнцей, нонтрагредиентной к обратимой матрице Х, и иногда обозначается Х.
Если Х и У вЂ” обратимые квадратные матрицы одинакового порядка над А, то, в силу (12), '(ХУ) '=('Х ') ('У ') (15) (где произведения, входящие в матрицу, стоящую в правой части, берутся в польце А'). ь. ЗХатрицы нсьд телом Матрицы из т строк и и столбцов над телом К оказываются во взаимно однозначном соответствии с линейными отображениями правого векторного пространства Е= Кв в правое векторное пространство Р=Кв~, если каждому такому отображению отнесена его матрица относительно канонических базисов пространств Е н Р.
По определению, ранг такой матрицы Х есть ранг того линейного отображения и пространства Е в Е, которому она соответствует; так как это число, по определению, есть размерность подпространства и(Е) пространства Р, то это же можно выразить (отождествляя столбцы матрицы Х с образами элементов канонического базиса пространства Е при отображеяии и) посредством следующего определения: Опгкдклкник 5.
Пусть Х вЂ” матрица иг т строк и и столбцов над телом К. Ее рангом о(Х) над К нпгььвается размерность подпространствп в Кл', порогьсденногс и столбцами матрицы Х. Можно также сказать, что ранг матрицы Х вЂ” это наибольшее число ее линейно независимых столбцов. Согласно определению 5, о(Х) (ппп (т, п); для каждой подматрицы У матрицы Х .имеем й(У)<Я(Х) 270 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА гл. Н,1с Если Е и Р— конечномерные векторные пространства и и— линейное отображение Е в Р, то ранг матрицы М (и) (относительно любых базисов в Е и Р) равен рангу и.
Понятие ранга матрицы лишь на вид зависит от тела, к которому считаются принадлежащими элементы матрицы. А именно: Пгедложяпие 2. Если элементы матрицы Х иг т строк и и столбцов принадлеэсат подтелу Кг тела К, то ранг Х опгносительно Кг равен рангу Х относительно К. Действительно, столбцы матрицы Х принадлежат надпространству Нг над телом К„порожденному каноническим базисом пространства Кв, поэтому справедливость предложения вытекает из следствия 3 предложения 6 з 5.
Из доказанного выше предложения 1 и теоремы 4 з 4 вытекает Пгедложение 3, Ранг матрицы Х над телом К равен рангу транспонированной матрицы Х. Тем самым ранг матрицы Х равен также наибольшему числу ее линейно независимых строк (рассматриваемых как элементы левого модуля К,".).
Квадратные матрицы и-го порядка над телом К соответствуют эндоморфвзмам пространства Е = Кв, оян образуют кольцо, изоморфное кольцу ь (Е) эндоморфизмов пространства Е (и' 5); поскольку автоморфиэмам этого пространства соответствуют обратимые квадратные матрицы, нз следствия предложения 11 з 3 вытекает Пгедложеняе 4. д"ля того чтобы квадратная матрица п-го порядка над спелом К была обратимой, необходимо и достаточно„ чтобы она была матрицей ранга и. 8. Матггриг1ьг и линейнтле уравнении " ~ Пусть А -- кольцо с едииицеи; рассмотрим систему т линейных (справа) уравнений с и непзвостныл~и, коэффициенты которой и свободные члены принадлежат А: п ~ Я„Ц=(); (1< 1(т).
(16~ |=с МАТРИЦЫ Пусть (гс) — канонический базис произведения Ь'= Ав, как мы знаем (з 4, и' 7). система (16) равносильна уравнению (17) где а>= ~ гр;,, Ь= ~ гс(1;. Матрица А = (и„) из гп строк и гс столбцов называется матрицсй система (16); сказать, что система (16) имеет решение, все равно, что сказать, что матрпца, образованная одним столбцом Ь= (рс), есть линейная комбинация п столбцов матрицы А. Когда речь идет о системе (16) над телом К, приведенное только что истолкование в соедянеиии с определением ранга матрицы дает Пгвдложвнив 5. Для того стобьс система (16) т линсйнаэ.
уравнений с п неизвестными над телом К имела решение, необходимо и доста>почно, чтобьс матрица В, полученная путем окаймлсния матрицьс А = (ас,) систгмьс (иЛ-1)-м столбцом (рс), образованнь>м свободными членами уравнгншс, и.игла тот хсг ранг, что и А. Это условие всегда выполнено, когда т= и и А — обратимая матрица, т. е. матрица ранга и (предложение 4). Замечая, что если обозначить через х матрицу, состоящую из одной строки Я>)си>,„(п'4), то уравнение (17) запишется в виде А х=Ь, заключаем, что в этом случае имеется единственное решение, г а именно задаваемое формулой х=А ' Ь.
9. Переход и тсоаому бизтгсу Пгвдложвнив 6. Пуспъь  — унитарный правый А-модуль, имеющий базис (ас)си с-, состоящий из п элементов. Для того чтобы л сгмсйюпво из п элементов ас =, аси>с (1< с~< п) было базисом чз модуля Е, необходимо и достаточно, чтобы квадратная матрица п-го порядка Р= (ая) была обратима. гл. и, 'зб ЛИНБЙНАЯ АЛГЕБРА Действительно, Р есть не что иное„как матрица эндоморфизма и модуля Е, определяемого условиями и(а>)=аг (т ~( > - и), относительно базиса (а,). Но для того, чтобы и был автоморфизмом модуля Е, необходимо и достаточно, чтобы (аз) было базисом этого модуля Я 2, следствие 2 предложения 3), чем справедливость предложения и доказана. Обратимая матрица Р называется матрицей перехода от базиса (а,) к базису (а,).
Ее можно таьпке рассматривать как матрицу тождественного отображения ~р модуля Р па себя относительно базисов (а,) и (а,) (в этом порядке); нз формулы (4) сразу следует тогда, что матрнцей перехода от базиса (а;) к базису (а;) служит матрица Р ', обратная к Р. Пгедложение 7. Пусть (а;') и (а() — базисы, сопряженные соответственно к (а;) и (а,); матрицей перехода от базиса (а,') к базису (а,') служит матрица 'Р ', контрагредиентная ь" матрице Р перехода от базиса (а;) к базису (а,.). Действительно, сопряженное к тождественному отображению ~р модуля Е на себя есть тождествеппое отображение у' сопряженного модуля Е* па себя; согласно предложению 1, матрица отображения ~р' относительно базисов (а() и (а() (в этом порядка) получается путем травспонирования матрицы отображения относительно базисов (а,) и (а,) (в этом порядке), т.
е. транспоппрованин матрицы Р >. Пгедложеиие 8. Пусть Е и Р— унитарные правые А-модули, имея>щие соответственно базисы (а,.)1 <;н„и (6,)>м, ~, состоящие иг и и т элементов. Пусть, далее, и — линейное отображение Е в Р и П вЂ” его матрица (из т строк и и столбцов) относительно базисов (а;) и (Ь,). Наконец, пусть (аг'ьгк㠄— второй базисе Е, (Ь;)ин»я — второй базис в Р, Р— матрица перехода от (аг) к (а>) и (> — матрица перехода от (6,) к (Ь>). Тогда матрица У' отображения и относительно базисов (аг) и (6>) задается формулой П' = >',> ЧУР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
