Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пусть (ех)кеь — свободное се,чейство элементов векторного пространства Е над телом К и (а,)„г — семейство элементов иэ Е, каждый иэ которых является линейной комбинацией элементов ех, с коэффициентами, принадлежащими подтелу Кэ тела К. При этих условиях 'коэффициенты первичных соотношений между элементами а, принадлежат К и пространство линейных соотношений между эгпими элементами порождается множеством всех первичных соотношений. Счедствие 1.
Если семейство (а,) свободное относительно К,. то оно свободное относительно К. Следствие 2. Если элемент хйЕ есть одновременно линейная комбинация элементов ех с коэффициентами иэ К, и линейная 5 сужкние телА скллявов 24й комбинацил элементов и, с коэффициентими иэ К, то он является линейной комбинацией элементов и, с коэффициентами ив К„, Чтобы убедиться в этом, достаточно применить предложение 6 к семейству, образованному всеми а, и х. Следствие 3.
Ринг (т 3, и' 2) множестви А всех а, относительно Кв равен рингу А относительно К. Действительно, в силу следствия 1, максилтальное свободное множество ВС А относительно К„является таковым также относительно К. и обратно. ,э, Подтело. аесо«1ннрооанное е подпроетп7эанеплоом Пусть Š— векторное пространство над телом К, (ал)„«т — его базис и У вЂ” надпространство. Как мы знаем (1 4, п' 6), существует яо крайней мере одна система линейных уравнений («система уравнений надпространства Ул) с коэффициентами из К: ~ «а в =- " (Ь б М) лн (7) такая, что у совпадает с множеством всех х=г е,а„, где (5,) л пробегает множество всевозможных решений ел«стел«ля (7), состоящих из элементов тела К. Пгедложенне 7.
Пусть ʄ— подтело тела К. Для того чтобы подпространство У простринства Е порождалось множестволл ув тех его элементов, компоненты которых (относительно (и,)) принадлежит К, необходимо и достатпочно, чтобы существовала систпема уривнений этого подпространстви, все коэффициенты которой принадлежит Кл. Согласно теореме 1, а), условие достаточно. Опо также необходимо: действительно, у есть надпространство векторного пространства Е«относительно Кв, образованного всевозможными линейнымп комбинациями элементов а„с коэффициентами пз К,; поэтому существует система уравнений (7) надпространства с коэффициентами из Кл.
Согласно теореме 1,а), У, порождает надпространство пространства Е, определяемое той же системой; а так как, по предположению, У«порождает в Е подпро- 250 гл. и, 'з 5 линкинля Алгевгл странство И, то определенная так система (7) и есть как раз система уравнений последнего в Е. Пгкдложкнив 8. Если поопространство У просьпраььспьва Е порождаетсл некоторым множеством элементов, компоненты которых (относительно (а,)) принадлежат подтелу Кв тела К, то компоненты всех первичных элементов этого подпространства (относительно базиса (а„)) принадлежат К„. Пусть х= 2', $,аь — первичный элемент из У; по предположеь нию, Р порождается семейством элементов Ьь, = — ~ рььа„где все ~м ь принадлежат К,.
Покажем, что если (~х) — решение системы Х 14ьь =- 5 (ь Е Н), (8) ь где Н вЂ” множество тех ь Е 1, для которых сь = О илн $ь = 1, то з= 2 ~хЬх есть не что иное, как х. Действительно, У(г — х)С: СН, х и следовательно, У (г — х) ~ У (х), причем У (э — х) Ф У (х), поскольку элемент х первичный; значит, в силу предложения 2, г — х = О. По коэффициенты н свободные члены системы (8) принадлежат К,; следовательно (теорема 1, б)), эта система обладает решением, состоящим нз элементов подтела К„чем предложение и доказано, Предложение 8 подсказывает следующее определение: Опгвдвлвннв 2.
Пусть Š— векторное пространство над телом К (а,) — его базис и ьг — подпространство. Нодтелом тела К, ассоциированным с подпространством У относительно базиса (аь), наэываетсл тело, порожденное компонентами первичных элементов из ьг относительно (а,). Из предложений 7 и 8, если принять во внимание предложение 3, непосредственно вытекает другая характеристика подтела, ассоциированного с подпространством Твогвмл 2. Нодтело, ассоциированное с подпроспьранством 1 пространства Е относительно базиса (а,) этого пространства. есть наименьшее из подтел К, тела К, обладающих тем свойспьвом, 251 СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ что У порождается множеством всех своих элементов, компоненты которых принадлежат Кз, а также наименьшее из подтел Кь .таких, что сузцествует система уравнений подпространства 1', все коэффициенты которых принадлежат К„.
6. 1Хримеиеиие: кольт1а эидомотзфизмоо эпела оизиостзтельио его иодтел Пусть К вЂ” произвольное тело и й(К) — кольцо эндоморфиз.чов его аддитивной группы (без операторов) (гл. 1, 1 З„л'1); К (К) есть часть множества К всех отображений К в себя; если наделить К его структурой левого векторного пространства над К (произведением структур векторного пространства его сомножителей (3 1, и' 4); напомним, что произведением аи элементов аб К и иР К служит отображение а — ьаи(Д тела К в себя), то б (К) будет подпространством векторного пространства К, ибо для каждого ибо(Х) имеем аи(в+ц)=а(и(С)+и(т|))= — -аи(с)+аи(ц), каковы бы ни были в, з) и а из К.
Заметим, что если абК, иб й(К), одаб(К), то а(ио)=(аи) с, но, вообще говоря, а(ио) ьь и(ао). Для каждого подтела Х тела К обозначим через Кь тело К, наделенное его структурой правого векторного пространства над Ь. Кольцо зндоморфизмов Х (Кь) этого векторного пространства (з 2, и' 5) есть подкольцо кольца К(К), образованное темя эндоморфнзмами и аддитнвной группы тела К, для которых и (ЕА) = — --и($) Х, каковы бы ни были ьб К и Хб А.; ясно, что и (Кь) ость также векторное подпространство (левого) векторного пространства д(К) над К. Нашей целью будет охарактеризовать среди всех подколец кольца К (К) кольца эндоморфизмов Я (Кь), соответствующие тем подтелам Ь тела К, для которых размерность Кь относительно А' (которую мы будем для краткости называть индексом э' в К) конечна.
Заметим прежде всего, что (в прежних обозначениях) каждый элемент Х из А, обладает тем свойством, что и ДХ)=и $) Х для каждога зб К и каждого ибер = — Х (Кь). Обратно, для любого оя'с ~ й (К) множество всех Л р К, обладающих этим свойстволы .есть подтело тела К. Более общим образоы; гл.и,$ь 252 У!ИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ПРвдложение 9. Пусть Е и Р— правьге векторные пространства над телом К и «Е вЂ” некоторое множество представлений аддитивной группы (без операторов) Е в аддитивную группу (без операторов) Е. Множество К, = у (аФ) тех Лб К, для которых ~(хЛ)=1(х) Л, каковы бы ни были хбЕ и ~б Ф, есгпь подтело тела К; Кв есть наибольшее из подтел Е тела К таких, что коэийое «б»г» есть линейное отображение Е в г, где Е и Е рассматриваются как векторные пространства над Ь.
В самом деле, если Ь обладает этим последним свойством. то для каждого Лб Е действительно 1(хЛ)=-1'(х)Л, каковы бы ни были хб Е н ~алый; таким образом, достаточно доказать справедливость первого утверждения. Прежде всего, К» содержит единицу тела К и, значит. Бе сводится к 0; при этом, если ЛбК, и 1»бК„то очевидно Л вЂ” 1»б К, и Л)гб К«, так что К, — подкольцо кольца К. Наконец, если Лс К, и Л ~ О, то для всех хс Е и ~бой имеем 1(х) =1((хЛ ') Л) =1(хЛ г) Л, откуда 1(хЛ') = =-1(х) Л'', и значит, Л гс К„.
Мы будем называть тело у(ы11), определенное в предложении 9. подтавом тела К„ассоциироваггнылг с множеством представлений ар. В дальнейшем будет рассматриваться лигпь случай Е =- Е =. К: в этом случае У есть некоторое множество эндоморфизмов аддитивпой группы К. Если, в частности, »У состоит из изоморфизмов структуры тела К на структуру его подтела, то )((«Ф) есть не что иное, как множество тех злементов из К, которые инвариантны относительно всех изоморфизмов 1 р ог»; действительно, отношение «~ЯЛ) =-1Я) Л для всех $б К н ~бый» принимает тогда впд 1(ь)1(Л) =1(ь) Л и, значит, равносильно отношению «1(Л) = — Л для всех ~б»А>.
Нам потребуется такнге следующее вспомогательное предложение: Пгедложгиик 10, Пусть Š— .гевое векогорное пространств~ над телом К, (а,) — его базис и У вЂ” пойпространство. Пусть. долее, в㻠— некоторое множество эндоморфизмов аддитивной. группы К и ~ для каждого 1'Р 11 — отображение Е в Е, определяемое формулой гг(~л~ ~$,а„) = ~~~1(сг) а,. Если в этих условиях 1'(У) $ г для каждого 1'р И, пго подтело у (Ф) тела Х, ассоциированное с ву, СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ содернсигп подтело тела К, ассоциированное с 'У относительно базиса (а~) Пусть хе Е. Очевидно, в обозначениях и' 2, ХЦ(х))С 1 (х) лля всех !роЯ. В частности, если у= ~ тьа„— первичный элемент надпространства у, то иа предположения !(у) С у и предложения 2 п' 2 вытекает, что для каждого ~б К существует рб К такое, что Х(~у)=-ру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
