Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Линейные у>ормьс. Сопр/сслсензсьсй лсодуэзь Опгкдклкннк 1. Линейной формой на левом А-модулс Е наэываепсся всякое линейное отображение Е в А-лсодульА, (т. е. н колы>о А, рассматриваемое как левый модуль относительно А). 223 двойственность « )) р я м е р. 'Отображение х ~ х(«) о«есть линейная форме а вэ векторном пространстве С (относительно Н) всех неврерыввмх числовых функций нв интервале (в, 6)., Каковы бы нн были линейная форма и на Е и ар А, отображение х —. и(х)а тоже есть линейная форма на Е, ибо для каждого ХЕ А имеем и (Хх) а — --()и (х))а=к(и (х) а); эта линейная форма обозначается иа. Непосредственно ясно, что в множестве с (Е, А,) всех линейных форм на Е закон аддитнвной группы и внешний закон (а, и) — » иа определяют структуру правого модуля относительно А.
Наделенное этой структурой, .Ж (Е, А,) называется модулем, сопряженным к Е' (илн просто сопряжен»»ым к Е э)); мы будем впредь обозначать его Еэ. Пгвдложеиин 1. Если А — кольцо с единицей, то модуль, сопряженный и левому модулю А„изол«орфея правому модулю А„. Действительно, пусть е — единица кольца А и и — линейная форма па А,; для каждого $ р А, полагая а= и (е), имеем: и (й)= =и (йе)=$и (е) —.$а; обратно, $ — > $а для кап дого ар А есть линейная форма и на А» такая, что и(е)=а; поэтому отображение и » и (е) есть изоморфизм модуля, сопрнженного к А„на правый модуль Ав. Основываясь на этом изоморфизме, модуль, сопряженный к А„обычно отождествляют с Ав, отождествляя каждую линейную форму и на А, с и(е).
Пусть Š— левый А-модуль и Еэ — модуль, сопрян«енный к Е; каждой паре элементов хр Е, х' р Е* соответствует элемент х' (х) кольца А; этот элемент часто обозначают (х, х'). Отображение (х, х') — » (х, х') называется канонической билинейной ") Далее в этом трактате для векторных простравств, наделенных жололо»воа, будет определено понлтие «сопряженного пространства», зависящего от этой топологии и отличного от определенного здесь. Мы предостерегаем читателя против оврометчивого распространения вэ «топологическое» сопряженное пространство свойств «алгебраического» соприжеввого, устанавливаемых в этом параграфе. гл. ы, 14 224 г1инейная алгев РА формойе), определенной на Е)сЕо; имеем тождественно ( 7 -.'- у, х ) =- (х, г ) —' ,(у, л' ), (х, .г +у ) =(г, х ) ь-(г, у ), (ас', х ) =-а(оь х ).
',.г, л'а) = (х, х') а. (1) (2) (3) (4) 3 а м е ч а н и е. Модуль Ьв, сопрюкенный к яровому А-модулю Е, есть левый А-модульб значение х' (х) каноннчвской билинейной формы на ЬХЬ'в записывают тогда Сх', х), а формулы, соответствующие (3) н (4), припекают зяд Сх', ха) = (х', х) а н Сах', х) = а Сх', х)'. В случае, когда А коммутатнвно, можно пользоваться н тем н другим обозначением.
Каждую линейную форму х' на Е можно рассматривать как частичное отображение (Теор. мн., Рез., 3 3, п' 13) х — ь(х,х'), порожденное канонической билинейной формой. Точно так же для каждого х~ Е частичное отображение х'ь(х, х') является линейной форлсой на нравом А-модуле Ев; обозначая ее х, имеем тождественно (х, х')=(х,х'); непосредственно ясно, что х —.
х есть (называемое каноническим) линейное отображение модуля Е в модуль Е*о, солряхгсннмй к модулю Е*, сопряженному к Е (н называемый вторим сопряженным к Е). В случае, когда А обладает единицей е, каноническое отображение модуля А, в его второй сопряженный, в силу продложепия 1, есть ягохезеоивенное отображение А, на себя; поскольку каящая линейная формах' яа А, отождествнма с элементом С'=х'(е), канонической билинейной формой является отображенне (С, З') Ц'. 2. Ортпогонггльноотпь Мне)кества М ~ Е и М' С Е* называются ортогональными, осли ортогональны любые два элемента хЕ М и х' ~ М'. В част- *) Общее понятие билинейной формы будет определено н изучено з гэ»- вах 111 и 1Х. Ош еделение 2. Пусть Š— модуль и Ев — сопряженный модуль; элементьс хй Е и х' й Е" называются ортогональными, если (х, х')= — О.
ДВОЙСТВЕННОСТЬ 225 ности, говорят, что х'Е Ев (соответственно хЕ Е) ортогонально к М (соответственно к М'), если оно ортогонально к любому элементу иэ М (соответственно М'). Если х' и у' ортогональны к М, то в силу (2) и (4) то же верно для х'+у', а также для х'а при каждом сб р А; этим оправдывается следующее определение: Оп еделение 3.
Пусть М вЂ” произвольное множество элементов из Е (соответственно М' — произвольное множество элементов из Еа). Полным подмодулгм, ортогональным к М (соответственно к М') (или, допуская вольность речи, просто подмодулем, ортогональным к М (соответственно к М'), если можно не опасаться нутаницы), называется множество тех х' б Е* (соответственно тех хб Е), которые ортогональны к М (соответственно к М').
По определению линейной формы, подмодуль модуля Е", арто. гопальвый к Е, сводится к О; подмодулбм в Е*, ортогональаым к (О), служит вса Ел. П~едложение 2. Пуппь М и Л' — подмножгппва модуля Е такие, что М ~ Л'; если М' и Л" — подмодули сопряженного модуля Е*, ортогональные соответппвенно к ЛХ и Л', то Л" С М'. П~едложение 3. Пусть (М„) — произвольное семейство подмножеств модуля Е; подмодуль, ортогональный к объединению всех М„есть пересечение ПМ,' ортогональных к ним подмоду- 6 лей М,'; он есть также подмодуль, ортогональный к подмодулю в Е, порожденному объединением всех М„. Предложения 2 и 3 являются непосредственныыи следствиями определения 3. Два аналогичных предложения относительно подмодулей модули Е, ортогональиых к подмножествам сопряженного модуля Еа, мы предоставляем сформулировать читателю.
Если М вЂ” подмодузь модуля Е, М' — подмодуль сопряженного модуля Е*, ортогопальный и М, и М" — подмодуль в Е, ортогояальный к М', то М С М"; поможет случиться,что М чь М' (см. упра>внепяя О и 5). тб Н. Бурбаки гл. ы, 14 226 ЛИНЕЙНАЯ АЛГКБРА 3. Сопряженный н фантормодулю. Сопряженный и прямой сумме Пгкдложкник 4. ХХусть Š— А-модуль, М вЂ” гго подмодуль и ьр — канонический гомоморфизм Е на Е/М. Опгображенис, относящсг каждой линейной форме и на Е(М линейную форму ил ьр на Е, есть изоморфиз.ч модуля, сопряженного к Е~АХ, наортогональный к АХ ьгодмодуль М' модуля Ев. Это предложение сразу следует из предложения 1 $2, если заметить, что определенный в нем канонический изоморфизм и-+ иь ьр есть также изоморфизм структур правого А-модуля в сопряженном к Е,ьМ и в М'.
Точно так же предложение 3 4 2 показывает, что если модуль Е является прямой сумльой семейства (ЗХА)ьеь своих подмодулей, то сопряженный модуль Е* изоморфеп произведению )1 Мь модуьеь лей Мь", сопряженных к АХю В частности, модуль, сопряженный к Аьью, изоморфен (в силу предложения 1) модулю Ав. В случае, когда Е есть прямая сумма конечного семейства сваях подмодулей, имеет место следующее более точное предложение: Пгкдложьник 5.
Пусть Š— модуль, являющийся пржчой суммой конечного сгльгйства (йХь)ьаьа„своих подльодулгй, и Л'ь для каждого индекса ь означает подмодуль г'. М;, дополнительный к М,. ьв-ь Тогда модуль Е*, сопряжгннььй к Е, есть прямая сумма своих под' модулсй Лгь', ортогональных соотвгтспгвгнно к Л;; гь' для каждого индекса ь изоморфно модулю Мь, сопряженному к М;, и подмодуль Мь, ортогональный к Мь, равен ~~~~ЛГ;. ьч ь Это предложение вытекает из предложения 4 з 2 и его следствия, если принять во внимание, что определенные там изоморфизмы являются здесь изоморфизмами рассматриваемых правых А-модулей.
В соответствии со сказанным в и' 4 з 2,модуль М , сопряженный к ЛХь, часто отождсспьвлягтся с подмодулем Л'; посредством отождествления каждой линейной формы и на Мь с (однозначно определенной) линейной формой х', служащей продолжением и на Е и аннулирующейся на Лгь. двоистввнность 4. Коордтхнитиые фор.мз!. Сопрзгокенные базисы Пусть Š— унитарный А-модуль, ооладаюгций конечным базисом (а!)!<з,„, так как Е есть прямая сумма и своих подмодулей, изоморфных А„то, в силу предложений 1 и 5, сопряженный модуль Е* есть прямая сумма и своих подмодулей, изоморфных Аз.
Точнее, обозначим через а,' для каждого индекса 1 линейную форму на Е такую, что а,' (х) для каждого х = ~ зза! р Е равно 1=. ! его компоненте с,: а', называется )-й координатной формой (относительно базиса (а;)), а! образуют базис сопряженного модуля Ее; действительно, для каждой линейной формы х' на Е в имеем х'(х) = ~ $!х'(а!) = ~з аг(х)х' (а!), т.
е. х'== ~ а;х' (а!); 1=! з= — 1 1=! обратно, для каждой линейной формы р' = ,'~~~ а ()! имеем у' (а,) = (),, ~! поскольку а';(а!)= з(сдиницекольцаА) на,'(а!)=Одля всех ) ~ !. Базис (а!) модуля Ее называется сопряженным к базису (а!) модуля Е; согласно следствию 2 предложения 3 з 2, он однозначно определяется условиями (ае, а,) = бзг (1 ц, ! < и, 1 х.
/ < и), (5) где бз1 есть функция пары (),)), равная е при ) = ! и () при ) ~ ), называемая кронекеровс им символом. в Для любых двух элементов х=- ~~~ ~$газб Е и х' = ч~~ а! Ц а Е" г=! имеем (6) 3 а и е ч а н н я. ! ) При отождествлении модуля, сопряженного в А,", с модулем А" базис, сопряженный к канонячесяому базису (( 1, и' 8) модуля А,", отождествляется с наноннчесннм базисом модуля А",!. 2) В случае, когда Е есть лрввмй А-модуль с базисом (а!)!<! ., формула (6) заменяется формулой и (х', х) = ч~~ ~зг!с), 1-! 15* 228 гл.ги 14 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА элементов х= ч' аД1 бе, х'= г=! справедливой для любой пары = ~ с(в,' б Е'.
Соотношения (6) позволяют установить, что каноническое отображение х —. х модуля Е в его второй сопряженный Е"е есть в этом случае изоморфизм Е на Е**; действительно, так как (ап аг) =-(а„а,') = б„, каковы бы ни были 1 н ), то (а)) есть базис в Е**, сопряженный к (а(). Тогда Е отождествляют с Еее посредством изоморфизма х — эх, что позволяет называть (аг) базисом, сопряженным к (аг).
В случае, когда Е обладает бес«снечпмм базисом (а„), можно по- прежнему определять для каждого индекса ««вердин«юную форму в,', относящую каждому х б Е его мю иомяояеяту относительно базиса (в,). Но семейство (а„'), все еще являющееся свободным, уже ве будет теперь базисом модуля Е*, Е. Деойгтеенногпзь д«ая нонечтсомерньсзс еентпорньсзс прогэнранеюзе Результаты, полученные в п' 4, применнлгы, в частности, к конечномерным векторным пространствам: Значит, если прп этом К коммутативно, то пространство Е*, сопряженное к векторному пространству Е над К конечной размерности и, изоморфно Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
