Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для того чтобы Ь чь (01, необходимо п достаточно, чтобы существовачн левые идеалы кольца А, нзоморфные а/. В атолл случае подмодуль Мл в М, ортогональный к модулю Ма, сопряженному к .11, сводится к 10,'. а15) Распространить предложение 0 и теоремы 3 и 4 на вполне приводимые модули Я 1, упражнения 22 и след., и гл. 1, 1 6, упражнение 18), никакой простой подыодуль которых не имеет сопряженного. сводящегося к,'О). *16) Пусть Š— векторное пространство конечном размерности ь .
1 вад полем Л'; показать, что не существует изоморфизма ~р этого пространства Е на Е*, зависящего лишь от заданной в Л' стуктуры векторного пространства. (Заметить, что для такого изоморфизма а отображение (х, у) —. (х, ф(у)) произведения Елсй в Л' было бы анаеряатпны.н (гл. 1, 1 7, и' 4) относительно всякого автоморфизма а пространства Е, иными словамн, каков бы ни был автоморфизм и, тождественно вьшолнялось бы равенство ~х, 6 (у)'.
(а(х), ф(н(у))).) й 5. Сужение тела окаляров Пусть Š— векторное пространство относительно тела К. Прн сужении области операторов заданного на Е внешнего закона до подтела Ке тела К Е становится векторным пространством относительно Ке. В этом параграфе будет исследована связь между двумя определенными так структурами векторного прострапства н Е. 1. лзизтаеы отллносилллельно ллодыге.аи Как мы знаем ($1, и" 2), тело К является левым векторным пространством относительно К,. Пекдложвнпв 1. Если (ах)ле„— базис Е относительно К и (р„)аелг — базис К относительно Ке, то семейство (Рвал)1х н)еькм является базисом Е отяосителыш К,. Действительно, очевидно, семейство (рвах) порождает Е, рассматриваемое как векторное пространство над Ке.
С другой стороны, опо является свободным семейством в этом векторном пРостРанстве; в самом доле, соотношение ~~' йхн()них=О, где а,н йх„с К„и Ох„=й для всех кроне конечного числа пар (Х, (л), 16' 244 гл. ы,)Ь ЛИНЕННАЯ АЛГЕВРА может быть записано в виде ~ (2' Оьф»)ая — — О и, значит, влеь» чет л,' альф»=О для всех Х; а для каждого Х соотношение ~~' дьф»-— -О » » влечет ць»=О для всех Следствие. Если [Е: К! и [К: К,! определены, то определено также [Е: К,! и [Е ' Кв! [Е ' К)[К ' Кг!' (1) Обратно, если [Е: Ко! определено, то определены также [Е: К! и [К: Кс! и имеет место равенство (1). Первое утверждение есть непосредственное следствие предложения 1.
Обратно, если [Е: Кд! определено, то каждый базис пространства Е относительно К„н в частности базис, определенный в предлоягении 1, конечен, а это влечет конечность множеств индексов Ь и М. 2. 11ерв~чные элементпьс векпьорноео подпростпранстпва Пусть (а„)пт — базис векторного пространства Е над телом К. Для каждого элемента х= ~'с,а, из Е обозначим через 1(х) пг (конечное) множество тех индексов г б 1, для которых $„~ О. Очевидно, х~ О тогда п только тогда, когда 1(х) Ф О. Пгедложение 2. Пусть У вЂ” подпространство векторного пространства Е и 1 (х), где хс Ъ', — минимальный элемент мпожества всех 1 (у) С Х, соответствующихэлементам у~О иэ Г (упорядоченного по включению). Тогда для того, чтобы элемент гй Р удовлетворял условию 1 (г) г 1 (х), необходимо и достаточно, чтобы он имел вид в=ах, где дй К, и тогда либо г=О, либо 1(г)=1(х). Последнее утверждение очевидно.
Пусть теперь х == ~ $„а„ г г= У ~,а„таково, что 1 (г) г 1 (х), и н — какой-нибудь индекс г из 1 (х), так что $„ФО. Положим о= $„$„' и г' =. г — ох. Тогда 1(г') г С 1(х) и кб1(г'), поэтому 1(г') Ф 1(х) и, следовательно, г'=О. В тех же предположениях и обозначениях, предложение 2 означает, что задание 1(х) определяет х с точностью до скалярного множителя; в частности, этот множитель всегда можно 245 сужкнив твля скллягов выбрать так, чтобы сделать одну из компонент $, элемента х рав- ной 1. Это оправдывает следующее определение: Опэкдклвник 1. Пусть У вЂ” надпространство векторного пространсгпва Е.
Элелсент х б 'сс называется первичным элементом этого надпространства относительно базиса (а,)цс пространства Е (или, если можно не опасаться недоразумения, просто первичным элементом надпространства У), если он удовлетворяет слгдуюисим двум условиялс; а)У(х) есть минимальный' элемент упорядоченного по включению множества ОЗ» тех л (у)Г Х, которые соответствуют элементам у ~ О из б) хотя бы одна из компонент $, элемента х равна 1. Пекдложкннв 3. гггножество всех первичых элементов из у является систелсой образуюилих этого подпространгтва, Пусть х = ~ $сас — элемент нз»; доказательство того, что х есть линейная комбинация первичных элементов, проведем индукцией по числу и элементов множества л (х). При п=О наше утверждение очевидно; предположим, что п ) О.
Среди всех ненулевых элементов гб»", для которых л'(г)С Х(х), выберем элемент у= цсас, у которого л' (у) содержит наименьшее число элеменс тов; тогда У (у) минимально в Ос», согласно предложению 2, можно, в случае необходимости умножив предварительно у на надлежащий скаляр, считать, что существует н б У (у), для которого ззч=-1, так что у первичен. Пусть з=х — ~„у; г принадлежит» и л'(г) содержит не более и — 1 элементов; значит, з, а следовательно и х, есть линейная комбинация первичных элементов. З.
Иервнзсньсе реисенин смегпеиьс лннейньсэс уравненнй Рассмотрим сначала однородную линейную систему л, $киы=О (сб1) вес. с коэффициентами ам из К. Всевозможные ее решения (ьк)зеь, составленные из элементов тела К, образуют векторное надпространство» пространства Е.=К,; первичные элементы этого сю, 246 Гсс. ы, 1:> линвинля Алгкггл надпространства )г относительно канонического базиса пространства Е будут называться первичными решениями системы (2), Пусть теперь дана неоднородная линейная система Хвалил =>й (<Е1), (3) >.Е с.
где коэффициенты а>„и свободные члены >й принадлежат К; сопоставим ей однородную систему ~~ Блал,— ес)<=0 (<б/) (4) лЕс- относительно неизвестных Е н Ел; буделс, по <тределепию, называть решение (~л) системы (3) первичным, если решение системы (4), образованное элементами ~л и б=1. есть первичное респение этой однородной системы. Певдложкпик 5. Если козу>>рис(иенгпьс с<л, и своГ>одньсе члены д„ системы скалярных линейных уравнений ~ $лал< = с)< ЛЕс. (3) принадлежат подтелу К, тела К, то первичные решения (~л) этой системы состоят из элементов этого подспела. В силу определения первичных решений, достаточно провести доказательство для однородного случая (с)< = 0 при всех <).
Будем рассматривать К как правое векторное пространство над К„ Пгкдложкник 4. а) Лодпространство в К< ~, образованное всеми решениями системы однородных линейных уравнений (2), порождается множеством первичных решений этой системьс. б) Неодссородная линейная система (3), имегощая хотя бы одно решение, имеет хотя бы одно первичное решение. Действительно, а) непосредственно вытекает из предложения 3.
Применение а) к системе (4) показывает, что если (3) имеет хотя бы одно решение (~л), то решение системы (4), образованное всеми ьл и $ = 1, является линейной колсбинацией первичных решений этой системы; отсюда следует, что (4) обладает по крайней мере одним первичным решениевц в котором $ Ф О; умножив это решение па е ', мы и получим первичное реп<ение системы (4), в котором $ = 1. 247 сужении твлА скАляРОВ и пусть г' — его подпространство, порожденное элементамн первичного решения системы (2); г" содержит единицу тела К и коиечномерно, а потому (у 3, теорема 2) обладает базисом (е,)энея„относительяо К„в котором е,=1. Для каждого Хбl.
я имеем ьь= ~ е;~м, где ~ы принадлежат Кэ. Подставляя в (2), шо ' получаем чггкуда следует, что ~ ~ьехь„=О для всех Э (0~<1<к) и всех ь Иными словами, (~гл) для каждого значения 1 есть решение системы (2); тем самым это относится, в частности, и к (адьо). Так как ььо равно нулю всякий раа, когда ьь равно нулю, а (ьь) есть первичное решение системы (2), то предлоясение 2 показывает тогда, что, для каждого Х, ьэо=й~ь, где орК. Кроме того, поскольку (Ьь) — первичное решение, существует р р Л, для которого ь„=1, т. е. ~э — — е,; по определению элементов ~ы, имеем тогда ~ос =1 н ь„;=0 при 1 < г-< и; отсюда следует, что О=1 и потому ьь = едока К, для всех Л. 3 а меча н ие.
Предложение 5 показывает апостериорп, ято понятие первичного решения системы линейных уравнений завпсвт лишь от тела, порожденного коэффициентами п свободными члепамя системы, цо пе от яадтела, в котором рассматриваются зсе решении этой системы. Предложения 4 и 5 покааывают, что справедлива Твогемя 1.
а) Подпространство в К,, образованное всеми ш) решениями системы однородных линейных уравнений (2), коэффициентев которой принадлежат подтелу Кэ тела К, порождается множеством тех решений, которые состоят из элементов этого подтела. б) Если какая-нибудь линейная система (3) с коэффициенгпами ,и свободными членами, принадлежащими К, допускает решение. ,состоящее из элементов тела К, то она допускает решение, состоя...цее из элементов подтела К . гл. Н,15 ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА 4. Прнмененне и пространетвтэ лннейнавэс еоотномвеннй меэвсду ааданнымн алмленто нн аеэстоуэного пуэоет1эанетеа Пусть 5= (а„)мт — заданное семейство элементов векторного пространства Е над К.
Напомним, что пространством линейных соотношений между элементами семейства ~Д мы назвалп (з 1, и' 8) надпространство У Я) прямой суммы К~~~, образованное теми ее элементами $,),еы для которых ~ $,а„=О (5) в пространстве Е; мы будем называть с, коэффициентами линейного соотношения (5). Линейные соотношения (5), для которых ($„). есть первичный элемент надпространства г' ($) относительно канонического базиса пространства К( ~, будут называться пер- (О вичными соотношениями между элементами а,. Пусть (ех)хеь — базис пространства Е и а,= ' а,хех, соотно- АЕЬ шение (5) равносильно системе однородных линейных уравнений ь,а„А=О (Х6Е) (6) аег относительно $,. Тем самым Р (~) есть пространство решений системы (6), а первичные соотношения между элементамн а, соответствуют первичным решениям этой системы. Поэтому пз предложения 5 и теоремы 1 вытекает ПРБдложепие 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
