Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Действительно, каждое свободное многкество в (е имеет ис более п элементов (следствие 3 теоремы 3); свободное множество в 1е, имеющее наибольшее возможное число р элементов. гл. и, 1з ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА есть максимальное свободное множество в Р и тем самым его базис (предложение 3); если р=п, то это множество является также базисом пространства Е (следствие 3 теоремы 3) и, значит, 1'=Е. Опгеделение 2. Говорят, что подпространство $л векторного пространства Е имеет в Е конечную факторразмерность, если факторпространство Е/Р конечномерно.
Размерность Е!)г называется тогда факторразмерностью (л в Е и обозначается сойше 1л или просто сойшК В случае, когда Е1)г бесконечномерко, говорят, что )л имеет бесконечную факторразмерность в Е. Факторразмерность подпространства (л векторного пространства Е может быть определена также как размерность дополнения к 1'; следовательно, когда Е конечномерно, имеем сойше Р' = йш Š— йш 1'. Пведложение 7. Если М и 1ч' — конечномерные надпространства векторного пространства Г, то ЛХГ) Л~ и М+Х конечно- мерны и йш (М+ Л') л- йш (М Д М) = 61ш М+ й|п Л'. (2) Предложение очевидно, когда МПЛ'=(О), ибо тогда М+Л' есть прямая сумма.
Для получения равенства (2) в общем случае достаточно применить этот результат к подпространствам М, = = М/(МП1У) и М =Л~/(ЛХПЛ) факторпространства Е~(11ХПЛ), приняв во внимание формулу (1), дающуло размерность этих надпространств; действительно, имеем М,ПФ,=(0) и М,+Л,= =(М+Л)~(ЛХПЛ) (гл. 1, з 6, теорема 6). Предложение 8. Если М и лч" — подпространства векторного пространства Е, илгеюи1ив конечную факторразмерность, то МПРХ и М+лт также имеют конечную факторразмерность и сойш(М+ Л)+ со61ш (Мп У) = сойш М+ сод1ш Х. (3) Действительно, М!(МПЛ') изоморфно (М+Ю)~дг, т. е.
Надпространству пространства Е~Л', и, следовательно (предложение 6), конечномерно. Отсюда вытекает конечноыериость нро- 919 строение ВектОРных ПРОстнлистВ странства Е»=-Е/(МПЛ'). В обозначениях предложения 7 имеем: йшМ, =. Сойш(МПЛ») — сойшМ, йш /»' = сойш (М П Лс) — сой ш Лс, йш(М +Л',)=-сойш(М()Л) — сайго(М+Ж); вносяэтивыражениявсоотношениейш(М,+Л'»)=ЙшМ, Д Йшд'ы получаем (3). Одномерные (соответственно двумерные) надпространства векторного пространства Е пад произвольным телом К, по аналогии с языком классической аналитической геометрии, часто называют прямыми (соответственно плоскостями); с другой стороны, подпространство Н векторного пространства Е, имеющее факторразмерность 1, называют гииерилоскостью «).
Можно также определить гиперплоскости как максимальные элементы упорядоченного по включению множества (О всех подпространств векторного пространства Е, отличных от Е. Действительно, между подпространствами пространства Е, содержащими заданное его подпространство Н, и подпространствами факторпространства Е/Н имеется взаимно однозначное соответствие (гл. 1, $ 6, теорема 6); поэтому для максимальности Н необходимо и достаточно, чтобы Е/Н не содержало никакого надпространства, отличного от (О) и самого Е/Н, а это означает, что Е/Н одномерно.
Заметим, что гиперплоскости векторного пространства конечной размерности п — это его подпространства размерности и — 1. Пведложение 9. Каждое подпространспыо Р веьтиорного пространства Е над телом К есть пересечение гиперилоскосисей, содержащих это иодиространство. Достаточно показать, что для каждого хб Г существует гиперплоскость, содержащая 1' и не содержащая х.
Пересечение У с прямой Кх сводится к О, иныл»и словамп. Г, — 1'-'Кт есть «) В Приложении П к этов главе словам «прлмав>, «плоскость» я «твлврплоскость» будет придан более широкий смысл, а то, что было вазваио выше этк»ш словами, будет именоваться соответственко однородной нрлмсй, однородной с>нос«осты» и однородной»нпср«лоск»стью. ~о впредь до Пряложеявя П можно ие опасаться путвмвпы, к потому првлагатетьвос «однородная» будет кама опускаться. гл п,)з 220 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА прямая сумма. Пусть гт' — надпространство, дополнительное к У1; Е есть прямая сумма подпространств Н= Р+Иг и Кх, иными слонами, Н есть гиперплоскость, содержащая Р' и не содержащая х, 4.
Ратгг лтгнейгиого отпображеным Пусть Е и Р— векторные пространства над телом К и и— линейное отображение Е в Р. и(Е) изоморфно векторному про- "1 страяству Е/Н, где Н=и (0); значит, и (Ь) изоморфно подпространсгпву 6 в Е, дополнительному к Ч (предложение 5), а сужение и на 6 есть изоморфизм 6 на и(6)=-и (Е). Следовательно, если (а,)— базис в 6, элементы и (а,) образуют базис н и(Е). Опееделенив 3. Ьсли линейное отображение и векторного пространства Е в векторное пространство Р таково, что надпространство и(Е) имеет в Р конечную размерность, то последняя называется рангом и и обозначается о(и).
В случае, когда и (Ь) бесконечномерно, говорят, что и — линейное отображение бесконечного ранга. Пгедложение 10. Ранг линейного отображения и простран- -1 ства Е в Р равен факторразмерности подпространства и (О) в Е Это сразу вытекает из сделанных вьпзе замечаний. Следовзгельно, йш и (Е) = сойтк и (0) = о (и), если все три числа конечны. В случае, когда Ь' конечномерно, ьтжно также написать о(и) = йшŠ— 11ип и(0). (5) Пеедложение 11. Пусть Е и Р— конечномерные векторньм пространства; для каждого линейного отображения и пространства Ь' в Р имеем о(и) ст1п(йтЕ, йтр); (б) от того чтобы о(и) = йтЕ, необходимо и достаточно, чтобы и было изоморфизмом Е в Р; для того чтобы о (и) = бгт Р, необхо димо и достаточно, чтобы и отображало Е на Р.
Это — следствие определения 3 и предложения 10. 221 СТРОБНИБ ВБКТОРНЫХ ЪЪРОСТРАНСТВ Слкдствив. Пусть Š— векторное пространство конечной разлъерности п; следуюп(ие четыре свойства его эндоморфизма и равносильньс а) и — автоморфизль пространства Е; б) и — взаимно однозначное отображение Е в Е', н) и — отображение Е на Е; г) и — линейное отображение ранга п.
Напротив, когда Е бескокечномерно, его эндоморфнзм может быть взаимно однозначным нлп отображающим Е на Е, ке будучи автоморфизмом (упражнение 8). У п р э ж н е н и я. 1) Показать, что если Š— векторное пространство над телом К, содержащим бесконечное число элементов, то множество всех систем образугощих атого пространства не пндуктнвно относвтельно отвод~ения порядка >, (Образовать убывающую последовательность (Еи) систем образующих пространства Е, имеющую пустое пересечение.! 2) Пусть и — линейное отображение ж-мерного векторного нро-! странства Е в гьмерное векторное пространство Г; положим Н=-и (О).
Показать, что если (г — р-мерное подпространство пространства Е и Уг)Н с-мерно, то и(У) (р — д)-мерно. Показать, что если И'— подпространство пространства Е такое, что ИгПи (Е) г-мерно, то .1 и(И') имеет размерность г+ги — о (и). 3) Пусть и и и — линейные отображения иъ-мерного векторного пространства в и-мерное векторное пространство. Показать, что ~ й (и) — 0 (о) ( < 0 (и-( о) < п11п (ю, и, О (и)+ й (о)), причем 0(и+Р) ъюжет врнннмать всякое целое значение, удовлетворяющее этим неравенствам. 4) Пусть Е, Г, С вЂ” конечномерные векторные пространства нал телом К, и — линейное отображение Е в Е и и — линейное отображе- -1 нне Е в С.
Показать, что размерность и (Е) Г) и (О) равна О (и) — о ( Р ° и); вывестн отсюда, что если Е и-мерно, то щах(0, о(и)+й(с] — и) <0(о и) < пйп(0(и), 0(о)), причем 0 (Р ь и) ыожет прнннмать вснкое целое значение, удовлетворяющее этим неравенствам. Пусть Н вЂ” четвертое конечномерное венторное пространство вад К и и — линейное отображение С в Н. Показать, что й ( - и)+ 0 ( ° о) < й (о)+ О (и ° ). 5) Еслн и и и — дза эпдоморфизма векторного пространства Е конечной размерности такие. что и Р есть тождественное отображение 822 гл. ы, 14 линкйнлн л/>Гкнгл Е па себя, то и н э — взаимно обратюсе автоморфизмы пространства l. (см.
упражнение 8). 6) Пусть Š— произвольное векторное пространство. Покааать. что если и — его эндоморфивм, не являющийся правым делителем нуля в кольце с'(Е), то и(Е)=Е. (См. $ 2, упражнение 5.) 7) Пусть Š— произвольное векторное пространство и ц, х— -> > два его эпдоморфнзма, удовлетворяющие условию ю (О) С- и (О). Пока. зать, что существует эпдоморфивм э пространства Е такой, что м=- -> = э ю. (Разложить Е в прямую сумму ю(0) и некоторого другого под пространства.) 8) Пусть Š— векторное пространство, имеющее бесконечный счетный базис (е„).
а) Эпдоморфизм э, пространства Е, определяемый условиямв э, (ес„с) .- О, и, (сс„) = е„для всех п, отображаетЕ иа себя, но не является автоморфнзмом этого пространства; существует взаимно одпоэиачяыб эндоморфизм э, пространства Е ганой, что э>(Е) чь Р, а и, э, есть тождественное отображение Е на себя. б) Аналогично пусть цс — эндоморфнзм пространства Е„апре деляемый условиями цс (е,„)=0, ис(.,„>) =е„для всех и, н А — кольцо вндоморфизыов пространства Е.
Показать, что в> и в, образуют баэз> А-модуля А,. Вывести отсюда, что А-модуль А," для каждого р > И взоморфеп А,. э9) а) Пусть Š— векторное пространство вад телом К. Каждое отображение 1 пространства Р. в себя, перестановочное го всеми аетэмэрфиэмвмв ц этого пространства (т. е. такое, что 1(и(х))=э(1(х)) для каждого х б Е и каждого автоморфизма и пространства Е). инее> вид х - ах, где а принадлежит К. (Записать, что 1 перестановочпо с каждым авто>>орфизмом и, оставляющим ипварнантпым элемент х Г Е, и вывести отсюда, что 1(х)Г-й(х) х, где 0(х) б К ) б) Пусть 1 — отображение Е>сЕ в Е такое, что для каждого автэмэрфиэма и пространства Е тождествевво 1 (ц (х), ц (у))= и (1(х.
у)). Показать, что для всех пар (х, у) линейно независимых элементов из Е имеет место равенство 1(х, у)=ах+ру, где а и р — постоянные скаляры, и что 1(Хх, рх) = >р ()с, р) х, где >р — произвольное отображение /ГхК в К. (Тот же метод ) Если при этом 1(и (х), и(у))>-и (1(х у)) д >в каждого эндэмэрфээма и простравства Е, то 1(х, у)=ах+ бу, каковы бы нн Г>ыли х, у. Обобщить на отображения Е" в Е. 8 4. Двойственность .(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
