Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Линейные отображения 1. Лынвйные фунзст(ытх Оягндаз!извне '!. Рууспгь Е и Š— .надули относительно одного и пгаго же кольца А. Линейным отображением Е в Р называется «сяю!в представление (гл. 1, 5 4, и' 4) Е в Р. Иными слонамн, отображение и модуля Е н Г линейно! если и (х-(-у).= и (х)+и (у), каковы бы нн были хр Е, ур Е, и и()вх) = = йи (х) ири любьзх х б Е и ), Р А. 203 .!Иг!еинык Отонглжкння 3 а и е ч а в в е.
Если Ь' и Š— коммутатнвные грузны, рассматриваемые как модули над кольцом Е (11, в' 1), то каждое нредстввленне в группы (бе» операторов) Е в группу (без операторов) Р есть также линейное отображение Е в Г, поскольку соогноюенве и (вв)=нв (г) сводится к и (х--, 'у) = — в (г)-(- в (у) индукцней по и. П р и и е р ы. 1) Проекция рг произведения ( (Е, семейств» м! модулей на частичное произведение $ ) Е, есть;жнейное отображессд нню Точно так же, если модуль Е есть !!р»ман сумма семейства (Ы,) своих подмодулей, а х, (в) — коыпонента х б Е в Ы„(1 1, п~ 7), то х, — линейное отображение (1 1, предложение 7). 2) Пусть а — элемент А-модуля Е; отображение л Ла А-модулн :1, в Е линейно; обозначим его Ое; если Š— унитарный модуль, то 0„(е)=а (где е — единица кольца А). '3) Пусть 1 — открытый интервал числовой праной Н, Š— векторное пространство всех дифференцнруемых чпсловых функций ва 1 и Р— векторное пространство всех числовых функций на 1.
Отображение х — х', относящее каждой двфференцнруемой функции х ее производную, есть линейное отображение Е в Р.. Все свойства представлений произвольных групп с операторамн (гл. (, х 6, и'и' 12 н (3) сохраняют силу и для линейных отображений; напомним их вкратце. Для того чтобы отображение модуля Ь' в модуль Р было и»о.пору)измом Е в Р, необходимо и достаточно, чтобы оно было взаимно однозначна!м линейным отображением Е в Р, илп чтобы -3 и (О) сводилось к О. Пусть и — линейное отображение Е в Е, тогда и(Е) есть под- -1 модуль модуля Р; Н =.
и (О) есть подмодуль модуля Ь', и и (Е) нзоморфно фактормодулло Е/Н; и есть композиция канонического гомоморфизыаЕна Е/Н, изоморфизма Е/Н на и(Ь) и канонического изол!орфизма и (Е) в Р. Если ЛХ вЂ” ггодмодуль модуля Е, то и (М) — подмодуль модуля г', нзоморфнышу фактормодулям .)Х/(М()Н) и (М+Н)/Н; в частности, если сумл!» М+ХХ прямая (т. о. если М()Н=-(О)), то сужение и на.1Х есть изоморфизм М н» -1 и(М). Если М' — подмодуль модуля Р, то и (ЛХ') — подмодуль -1 модуля ь', содержаплнй и, а фактормодуль и (м!')/и изочорфен М' г) и (Ь). гл.
Н,ФЕ 204 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Если Š— система образующих подмодуля М модуля Е, т~ и(Е) есть система образующихдля и(ЯХ). Вчастности, если и(х)=-О для всех хб о', то и (х)=-0 также для всех хб М. Ссылаясь на этот результат, мы будем называть его иногда «принципом продолжения линейнии тос«еде«тес нян «принципом продолжено» по линейпостин Наконец, если Е, Р, 6 — А-модули, и — линейное отображение Е в Р н и — линейное отображение Р в 6, то композиция сои есть линейное отображение Е в 6.
Множество всех линейных отображений модуля Е в модуль г будет ооозначаться ь (Е, Р). Ясно, что если и и и — такие отобрв. ження, то также — и и и+и являются линейными отобрав«гинями Е в Р; тем самым Ж(Е,Р) есть аддитивная подгруппа модуля РБ (множества всех отображений Е в Р); напротив, если А некоммутатнвно, то из= — аи, где а б А, нс будет, вообще говоря, линейным отображением Е в Р; действительно, ю(ьх)с-аи (Хх) =.
=(ах) и(х), а Аю(х)=(ха)и(х), н потому ю(хх)=.хю(х) для всех хбЕ и всех ХбА, вообще говоря, лишь если а принадлежит центру СкольцаА. Иначе говоря, вообще ь (Е, Р) можно наделить структурой модуля относительно С (но не относительно А). х. Лтгнейтсые окаобрагкетгггм фа«спьормодулм Пусть Š— А-модуль, Н вЂ” его подмодуль и «р — канонический гомоморфизм Е на факторлгодуль Е~Н. Если р' — линейное отображение Е/Н в А-модуль Р, то росу есть линейное отображение Е в Р, аннулирующееся для всех хр Н; обратно, если у— линейное отображение Е в Р, аннулирующееся для всех хр Н, то х== у (шоаН) влечет д(х — у)=0, т. е.
у(х)=у(у); тем самым г согласуетсясотношениемхьы у (шойН) (Теор. мн., Рез., $ 5, и' 7) и, следовательно, имеет вид усср, где у' — отображение Е/Н в Р, линейность которого легко проверяется. Другими словами: Предложение 1. Нусть Е и Р— А-модули, Н вЂ” подмодуль модуля Е и ~р — канонический гомоморфизм Е на Е/Н. Отображение, отнссящее каждому линейному отображению Г фаюпормодуля Е(Н в Р линейное отображение ро ~р модуля Е в Р, есть 205 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ изоморфизм модуля Ж (Е/Н, Р) (относительно центра С кольца А ) на подмодуль модуля Х (Е, Р), образованный теми линейными отображениями Е в Р, которые аннулируются на Н.
Зтот изоморфизм и изоморфнзм, обратный ему, будут называться каноническими. 3 а м е ч а н н е. Предыдущее рассуждение может быть обобщена следующим обрааом: если к — линейное отображеннс Е в Р, М— произвольный подмодуль в Е н функция и согласу«тол (Теор. мн., рез„1 5, и' 8) с отношениями зквнвалентностн х ж у (шоб М) в Е н х' ж у' (шов и(М)) в Р, то отображение к фактормодуля Е/М в Р/и (М ), получающееся путем ее фа юкориоо Ч хи, линейно и отображает Е/М на к(Е)/о(М); прн зтом иод=у к,где ч — каноннческвй гомоморфнзм Е яа Е/М, а $ — каноннческнй гомоморфнзм Р на Р/и(М) «). З..ттлнейиые опгобугаохентсм е пуго!«муто сумму Пусть Е и Р— А-модули и Р являетсн прямой суммой конечного семейства (Лг!)!я/мо своих подмодУлей; длЯ каждого У б Р обозначим через /с!(у) компоненту у в Лг! (1(/~(п). Пусть и — линейное отображение Е в Р; для каждого хбЕ имеем и(х) = о о = '~„, /с/ (и (х)), т.
е. и = ~", /с/«и; иными словами, линейное отображе/=-! 3 ! ние и вполне определяется знанием линейных отображений и! = /с,. о и модуля Е в модули Л/ (1 </< и). Обратно, если и/ для каждого / — произвольное линейное отображение Е в Л'/, то и= ~ч и, !'= 1 есть линейное отображение Е в Г такое, что и,=й.ои. В итоге, если рассматривать линейные отображения Е в Л/! (1< /< и) как линейные отображения Е в Р и тем самым модуль Х (Е,Лг,)— как подмодуль модуля Ж(Е, Р), то получаем: Пгедложение 2, Если Р— прямая сумма конечного семейства (Л/ ) своих подмодулей, то модуль Ж (Е, Р) есть прямая сумма своих поомодулей Ж (Е, Л'!).
*) Этн результаты сохраняют силу также, когда Е п Р— кроко««льни« группы с опораторамн (коммутатнзпые нлн нет), к — представление Е Яо Р н М вЂ” устойчнвая нормальная подгруппа группы Е (откуда следует, что и (М) есть устойчивая нормальная подгруппа группы и (Е) = Р). 206 ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. 11. 4. Лттзейззеге оепобразгсентя птзямот суммы Пусть теперь Š— 4-модуль, являющийся прямой суммой произвольного семейства (Мь) своих подмодулей, и г — произвольный А-модуль. Для каждого хр Е обозначим через Ьг (х) компоненту х в Мь, так что х = — ~„йх (х).
Если и — линейное отооражение Е и Е, то и (х) =и (У Ьь (х)): —. ~~ и (Ь1 (х)) =- ~ иь (й1 (х)). А ь где иь — сужение и на подмодуль Мл. Тем самым значение и длп каждого хб Ь' определяется знанием сужений и на подмодулн Мь . Обратно, пусть для каждого Ь задано линейное отображеп1И иь модуля МА в Р; если для каждого хкЕ положить и(х) = — ~, иь(йь(х)) (выражение, имеющее смысл, поскольку йь(х) П, аяаЧИт, иь (Ь1, (Х))=0 дЛя ВСЕХ КРОМЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛа НидЕКСОВ А).
то ясно, что и будет линейным отображением Е в Г, сужение которого на каждое Мь совпадает с их. В итоге: Пгедложение 3. Пусть Е и Р— А-.чодули, причем Е вслп прямая сумка семейства (МА) своих подмодулей. Каково бь1 нн было семейство (их) линейных отображений иь .чодулей МА в Е. существувль, и притом только одно, линейное отображение а модуля Е в Е, сужение которого на Мх равно иь для каждого Х. Следствие '1 .
й! адуль Х (Е, Г ) изоморфен произведении И Я(М1, Г") модулей Х(М1,, г"). Следствие 2. Если Е обладает базисаль (ах), то для каждого семейстпва (Ьх) злементов из Р существует однозначно определенное линейное отображение и модуля Е в Р такое, что и(ах).= 61 для каждого А. Это отображение определяется формулой и(2 вхаь) = л Е1,Ь1 л х Следовательно, для того чтобы и было изоморфизмом Е в г", необходимо и достаточно, чтобы (Ьх) было свободным семейством; лля того чтобы и было изоморфизмом Е на Г, необходимо и достаточно, чтобы (ЬА) было базисом модуля Г". 3 а м е ч а в и е.
Пусть Т вЂ” произвольное множество, отожлествлевиое с каиовическим базисом модуля А1 1 фврмальнкх линга 1т 1ИИКЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИ51 нык комбинаций (с козффициеатами из А) элементов множества 1 Я 1, п' 8). Следствие 2 предложения 3 показывает, что любое отображение ) множества Т в А-модуль Р ыожет быть, и притом едивствевным образом, продолжено до линейного отображения ) модуля .11' в Р, а именно по формуле 5 (~ ~$се) =- ~~ й1) (1). Предположим теперь, что Е есть прямая сумма конечного СЕМЕйотВа (Ме)1»1»ю СВОИХ ПОдмадупсй. В тЕХ жв ОбавиаЧЕпнял, т что н выше, нзоморфизы () Ж(М1, Г) на с (Е, Г), определенный 1=1 ПРИ ДОКаватЕЛЬСтВЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 3, ЗаПНШЕтон В ВИДЕ (из) — Л тг и,.гн,; 1 — -1 когда иепробегает в (Ме, Г), и,гй1 пробегает подмодуль Р;модуля Х (Е,Г), образованный теми линейными отображенняыи Е в Г, которые аннулируются иа подподуле Р1 — ~ 1)Х1„ дополнительЗФ1 ном к М .
Теы самым имеем: Пввдложенне 4. Пуспгь Š— модуль, являющийся прямой сум.мой конечного семейства (Мг)1»1 - своих подмодулей; далее. Ре для каждого индекса 1 — подмодуль ~~ Ме, дополнительный А юг к М;, и Р; — подмодуль модуля Х(Е, Г), образованный теми лингйныл1и отображениями. Е в Г, которые аннулируются на Р,. Тогда Р,' изоморфгн Ж (Ме, Г) и Х (Е, Г) есть пря мая сулема поомодулей Р; (1< 1< т). 3 а м е ч а н и е.
Изоморфизм иг — из Ье модуля с (М1, Р) на Р1 есть композиция изоморфизма Ж (М1, Р) на .2* (с)Р1, Р). порождаемого каноническим изоморфизмом Л11 на сУР1 Я 1, предложение 1), и канонического изоморфиама х(о )Р1, Р) на Р(, определенного в предложении 1. Х (Ме, Р) и Р1 часто отождествляются посредством изомор физма из — и1* Ьз и изоморфизма, обратного ему, которые мы называем каноническими. Следствие. Подл1одуль М1 модуля Х (Е, Г), образованный тел1о линейными отобр жвниями Е в Г, которые аннулируются на М1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
