Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 60
Текст из файла (страница 60)
3. Пода.ггебры. ХГдеа,гы. Фагсгпора ггебрьг Пусть Š— алгебра относительно кольца А. В любом подкольце Р кольца с операторами Е (т. е., по определению, устойчивом подкольце этого кольца; см. гл. 1, э 8, и' 4) структура, индуцированная заданной в Е структурой алгебры, тонге есть структура алгебры относительно А; наделенное этой структурой, Р называется подалгвброй алгебры Ь'. Каково бы ни было множество М С Е, множество Л' тех элементов из Е, которые перестановочны с каждьаг элементом кз М, есть подалгебра алгебры Е (гл. 1, э 8, предложение 2); в частности, центр алгебры Е есть ее подалгебра. Нет необходимости вновь определять понятие (левого, правого илн двустороннего) идеала алгебры: оно было определено более общим образом для любого кольца с операторами (гл.
1, з 8, и'5). Если а — двусторонний идеал алгебры Е (относительно кольца А), то структура кольца с операторами в фактормножестве Е,'а есть структура алгебры относительно А; наделенное этой структурой, Е~а называется факторалвеброй Е по а. А Предстпаеленглм Пусть Е н Р— алгебры относительно одного и того же кольца А; мы уже определили (гл. 1, э 8, п' 8) представления Е в Р: напомним, что отображение и алгебры Е в Р есть представление, если оно удовлетворяет тождествам и(х+у)=и(х)+и(у), и(ху)=и(х)и(у), и(ах)=аи(х) (акА, хкЕ, убЕ). Можно также сказать, что и есть представление Е в Г, если оно есть линейное отображение А-модуля Е в А-модуль Г 288 гл.п, $ 7 линкйнля АлгкьРА и одновременно представление относительно мультипликативных законов, заданных в Е и Р.
Все свойства представлений колец с операторами относятся, в частности, к представлениям алгебр: если и — представление Е в Р, — 1 то и (Е) есть подалгебра алгебры Р; а = и (0) есть двусторонний идеал алгебры Е, и(Е) изоморфно факторалгебре Е(а, и и есть композиция канонического гомоморфизма Е на Е)а и изоморфизма Е/а ка и(Е); если 6 — подалгебра алгебры Е, то и(6)— подалгебра алгебры Р, изоморфная факторалгебрам 646па) и (6+а)!а.
Если алгебра Е допускает базис (аь), то ее представление 1 в алгебру Р полностью определяется элементами ) (аь) ($ 2, следствие 2 предложения 3); обратно, задание этих элементов определяет линейное отображение ~ А-модуля Е в А-модуль Р; для того чтобы у было представлением алгебры Е в алгебру Р, необходимо и достаточно, чтобы, согласно формулам (6) и (7), у(аь)у(ая)=~ух„е~(а ) для любой пары пндек- сов ()., р). В случае, когда Е обладает единичным элементом е, причем этот элемент свободный (что всегда имеет место для алгебр над полем), отображение и — ьсге есть ивоморфивм ~ркольца А (рассматриваемого как алгебра относительно самого себя) в алгебру Е; поскольку ах = (ае) х = — х (ие), <р (А) есть подкольцо центра алгебры Е, и структура алгебры относительно А по сути ничем не отличается от структуры алгебры относительно у(А).
Поэтому А и ~р(А) обычно отождествляют, рассматривая тем самым А как подалгебрр алгебры Е, содержащуюся в центре этой алгебры и имеющую тот же единичный элемент, что и Е. Заметнее, что з этом случае каждый идеал кольца (бев операторов) Е есть также идеал алгебры Е (напротив, подкольцо кольца без операторов Е не обязательно является подалгеброй алгебры Е). Вообще, з случае, когда К обладает еляняцей е, ее аннулягор о (1 1, а' 9) есть также аанулятор Е; образ А пря представлении а — ае есть полалгебра алгебры Е, язонорфнея А/о.
Структура точного модуля (относягельно А!о), ассочоьрованноео ($ 1, и' 9) со структурой А-модуля з Е, вместе с умножением определяет в Е структуру алгебры опюсктельно кольца А ~о, в которой е является своболнын элементом; АЛГЕБРЫ '>яц мы будем н эту структуру алгебры называть ассоциированной с заданной в В структурой алгебры относительно А. 3 а м е ч а н и е. Кэк уже указывалось (гл. 1, 1 8), при рассмотрении в множестве В нескольких структур кольца с операторами (н, в частности, нескольких структур алгебры), в основе которых ложку одна и тэ же структура кольца (беэ операторов), следует тщательно различать понятна подалгебры, идеала, представления н т.
д. относительно этих различных структур. В чэствостн, рассмотрим в кольце и структуры алгебры относительно двух различных подколец А, В его центра, н пусть а — элемент нэ А, не принадлежащий В; если /— нредстаэленне В, рассматриваемого как алгебра над А, то ) (аэ)= .=а> (х) => (а) > (э) для всех х 8 В; напротив, если г — представление В, рассматриваемого как алгебра нэд, В, то Л(ах) =Х (а) З (э), но, вообще говоря, в(ах) ы- ав (х), В. Произведения тв прямые гумми а иебр Пусть (Е„) — семейство алгебр над одним и тем же кольцом А; очевидно, кольцо с операторами Е = Ц Е„(гл. 1, з 8, и'10) тоже есть алгебра над А; она называется произведением алгебр Е,.
Каждое свойство произведений колец с операторами относится, в частности, к произведениям алгебр. В случае, когда семейство (Е,) конечно, компоненты Е,' модуля Е, отождествляемые соответственно с Е, ($ 1, и' 4), являются подалгебрами алгебры Е и Е ость прямая композиция (гл. 1, 8, п' 11) этих подалгебр, Но если, обратно, Р есть алгебра над А и (Р„) — конечное семейство ее подалгебр таких, что А-модуль Р есть прял>ая сумма (з 1, и' 7) >годмодулгй Р„(что, допуская вольность речи, выражают, говоря, что алгебра Р есть прямая сумма подалггбр Р>), то, вообще говоря, отсюда еще никоим образом не следует, что Р есть прямая композиция подалгебр Р„ (нлц, что то же, нзоморфно произведению ЦР,); как известно (гл.
1, з 8, предложение 7), для того чтобы Р было прямой композицией Р„, необходимо и достаточно, чтобы Р>„Р„=(0) для всех пар различных индексов (Х, )л). Если это условие не выполнено, то мультипликативный закон на Р не опредгляетс» однозначно знанием мультипликативных законов на каждой нз подалгебр Р„; для его определения следуе~ еще знать, как перемно>ггаются элементы, принадлежащие двум различным Р,.
гв н Бурсаки гл ы,17 :1ИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 6. Прымеры алгебрг А ЛолъНа эндоморусизаао» 11усть Š— унитарный правый модуль над кольцозс А; как млс видечн (1 2, п' 5), множество Х (Е) всех эндоморфизмов чодуля Е наделено структурой кольна с операторами. имеюсцгй своей областью операторов ценпср С кольца А; поскольку сло'кепне и внешний закон этой структуры определяют в Х (Ь) структуру унитарного С-модуля, мы видны, что Х(Ь) есть плсгбра относительно С, имеющая своим едпппчныч элементом тождественное отображение Е на себя.
Наиболее важен тот случай. когда Е обладает конечны.ч базиа.ч пз и элементов относительно А; тогда Х (Е) пзоморфно вольс!у Мч (А) квадратных .ссптриц и-го порядка над А (1 6, и' 5). Если А коммутативнш то М„(А) есть алгебра относительно с1; канонический оазис (Еы) этой алгебрьс (1 бы п' 2) ямеет таблицу уяпо'кения Е11Е» а = О, если )' Ь, 1 ) (1б) Е11Е11 = Еп каковы с>ы кк,сычи, с )с 1 Единичный олемент 1„алгебры М„(А) равен ~ Ь'„: кольцо А С='1 отождествимо с подкольцом матриц аl„(осб А).
'т. Ырилсе1сьс сслгебрс Ы. Л»адусссссси снже раегсссс)сенссл сгольна Пусть Л ". Боммутатпвное кольцо с единицей. Кто вваеритичньсм расширением называется алгебра Е относптелыш А, имеющая базис, состоящий из двух элементов, один из которых служит ее единицей; таким обрааом. при отождествлении единицы алгебры Е с единицей кольца А, которую мы будем обозначать 1, А отождествляется с подкольцом кольца Е.
Если и — второй элемент рассматрпваелсого базиса, то каждый элемент нз Е однозначным образом записывается в виде а+ Ьи, где аб А и Ь б А. Поскольку, по предположению, 1 и= и 1=», Ь'коммутативно, и таблица умножения базиса (1, и) полностью опреле.зяется заданием иг, т. е, определяющего его соотношения ссг = ап -'.— р (а б А, )) б А); (! !) 291 ллгннгы условия ассоциативности выполнены, каковь! бы ни были а н р, так что последние могут быть выбраны произвольно. Исследуем строение алгебры Е, когда А есть поле характе- ристики ~ 2 (гл.
1, $8, и' 8). Захгечая, что (а ср Ьи)а = (аб+ 2а) (а -1- би) — ', 1)Ьа — ааб — и', и полагая и отой формул! б = !, а =- — —, видим, что можно припять за новый базис в Е множество, образованное элементами а 1 и и = и — —, где га = у й А. Возможны три случая: 1' у не является в А квадратом, '1'огда Е есть поле; действительно, если а+ ЬиФ О, то, в силу предполо;кенни, (а+ Ьо) х т т а ь ,,<(а — Ьи)=г!т.-уб чей, и значит, —,— „-- и есть эле. ' — тба а мент, обратный а с Ьс. 'Если А — поле пеществепимх чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
