Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В самом деле, достаточно (по линейности) доказать, что д(з (< ф х))= зу(Г Я х) при любых ар В, <ЕВ, х~ Е; но так как, по определению, з (<Ях) =(зг) <5х, то у (з (< О х)) = а ((з<) я х) = (з<) <' (х) = з (<< (х)) = зу (З я х). Поскольку, очевидно, д(е<9х) = е~(х) = ~(х), предложение доказано, 23" 1'л. Н1, 12 ПОЛИЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА Говорят, что В-модуль Е<в> получен путем расширения кольца А операторов модуля Ь' до В; А-линейное отображение х — ьегз х модуля Ь в Е<в> называется каноническим отображением этого модуля в его расширение Е<в>. В случае, когда зто отображение есть А-изоморфизм, Е чаще всего отождествляется с его образом Е,.
Пгкдложвняк 3, Для каждого А-линейного отображения А-модуля Ь' в А-лгодуль Е' существует однозначно определенное В-линейное отображение у В-модуля Егв> в Егв> такое, что у(е ~г х) =с Я> (х) для каждого тб Е. Достаточно применить предложение 2 к А-линейному отображению х —. е Я>'(х) модуля Ь' в Е<в>. В случае, когда канонические отображения Е в Егв> и Ь" в Е;в являются изоморфизмами, посредством которых Ь' и Ь" отождествляются соответственно с подмодулями А-модулей В®Е и Вбг>Е', можно также сказать, что каждое А-линейное отображение Е в Е' однозначно продолжается до В-линейного отображения Егв> в Егв>. Расширение кольца операторов модуля есть транзитивная операция; говоря точно, имеет место следующее предложение: ПРедлоя<енив 4. Пусть С вЂ” кольцо (коммутативное или нет) с единицей е и А,  — подкольца этого кольца, содерясащиеся в его центре, ггричелг ей Ач, В.
Каков бы ни бил А-лгодуль Е, С-модуль Ьгс> изо орфея С-модулю (Егв>)гс>. Применим критерий предложении 1. Пусть ~ — А-линейное отображение модуля Е в унитарный С-модуль Л" и гр — каноническое отобран>ение Е в Егв>, согласно предложению 2, существует В-линейное отображение у модули Егв> в Л' такое, что д (гр (х)) =-г (х); точно так я<е, если обозначить через г>> каноническое отображение Е,в> в (Вгв>)гс>, существует С-линейное отображение Й модуля (егв>)гс> в л' такое, чтой(>(>(гр(х))) =а(гр(х)) 1(х); так как х — +>(>(гр(х)) есть А-линейное отображение Е в (Егв>)гс>, предложение 1 устанавливает существование изоморфизма Его> на (Егв>)гс> (называемого, как и изоморфизм, обратный ему, каноническим), относящего каждому элементу вида е ® х (х й Е) из Е>с> елемент ф(гР(х)) из (Егв>)гс>.
РАсшиРенив ксльцА ОпеРАтОРОВ ь>одуля 357 о 3 а м е ч а я и я. 1) ((оскальцу вообще А-модуль В Я Е не изоморфев Г, было бы неправильно думать, что сужение кольца операторов модуля (гл. П, 1 1, и' 1, и 1 б) и расширение этого кольца операторов являются взаимво абра>эмми операциями.
2) В случае, когда А — преиеесль>гое (яо обязательно коммутативпое) подкольцо кольца В, содержащее его единицу, также можно определить расшире>сие кольца операторов произвольного увптарного (левого) А-модуля де В и обобщить предыдущие предложения (см. упрвжпеиве 7 и Призе»севве П к этой главе). В>. Т'асм<и1оенне кольца опе1>азиатов свободного модуля Каноническое отображение х — + е <8 х А-модуля Ь" в В-модуль Е;в> вообще пе есть А-изоморфизм (око может быть тождественно пулевым, когда пи В, кп Е ие сводятся к О; см. ниже теорему 2). Однако оио является А-изоморфизмом в двух важных случаях, которые мы теперь рассмотрим.
Тко>емь 1. Пусть  — кольцо (коммутативкое или кет), обладающее единицей с, и А — подкольцо этого кольца, содержащееся в его цептре и такое, что с р А. Каноническое отображение х — > е <3 х унитарного А-модуля Е, имеющего базис (аь), в Е<о> есть А-иэоморфиэ.к; по оп>ождсствлении Ь" с его образом Ь', при этом иэоморфиэме базис (аь) модуля Е относительна Л является также базисом В-.иодуля Е<э>.
Каждое Л-линейное отображение )' модуля Е в произвольный В-модуль однозначно продолжается до В-линейного огпображсния )т модуля Е<в> в Ьг такого, чпго 7 ( ~ Цаь) = ~~' $А7 (аь) длл каждого элемента ~ $ьаь из Е<в> (ььс В) ь Действительно, при х= ~ сьаь соотношение е(й> х=О записы- А вается в виде ~' (($ьс) О>> аь) = О и, значит ($ 1, следствие 1 предлоь женка 7), влечет $ье=О для кап>дога ), откуда вА=О дчя каждого Х; тем самым каноническое отображение х — ге О» х есть изоморфизм.
То, что (аь) служит базисом для Е<ам непосредственно вытекает из следствия 1 предложения 7 $1 и определеиия виешиего закона В-модуля Е<э>, поскольку для каждого индекса )с и каждого 1б В можно, по отождествлении Е с Е„написать гл. пг,12 полилинеггнля ллгеБРА с ах=(се) ЧО аь. Наконец, последнее утверждение теореиьг есть непосредственное следствие предложения 2, раз только Е отождествлено с подмодулем (пад А) модуля Есю, Предпоггоьс ения теоремы 1 выполнены, в частности, когда Е— векторное пространство иад полем А, а  — нодтело этого поля (коымутатпвное илп пег), содержащее А в своем центре; к этому случаю мы всюду и будем ее применять.
3. Модули пад ьгольг(о.ьь ььелоеьььиоепьи Рассмотрим теперь модули над кольцом целостности А (гл. 1, 8, и' 3) и векторные пространства, получающиеся из них путем расширения А до его по.гя отношений (гл. 1, З 9, и' 4). Тгогвыл 2. Пусть А — кольцо целостности с единицей (обо- значаемой 1) и К вЂ” его поле отношений. 11усть, далее, Š— про- извольный унитарнъсй А-модуль, Еск1 — векпсорное простран- ство ссад К, получающееся путелс расширен я кольца операторов модуля Е до К, и ср — каноническое отображение х —. 1 Я х модуля Е в Ескр При этих условиях: 1' Векторное пространство Еск> равно Кср (Е) (множеству элементов )з, где Х пробегает К, а з пробегает ср(Е)). 2' Для того чтобы ср (х) чь О, необходилсо и достаточно, чтобы х бы свободнылс олементолс в Е.
1' Каждый элемент из Е<к> имеет вид г = ~~' ассу(х,), где а~с й К с и хсзр Е (предложение 2); для каждого с существует а б А такое, что ас Ф О и аДс б А; поэтому а =-1 сг ас ~ь О и асс = рс принадлежит А для каждого с; следовательно, в Е<к1 "=а "(ал) =а с ~~'" ()сср(хс) =а гср(~~', рвсхс), поскольку ср А-линейно. 2' Если элемент х й Е не свободный, то в А существует а Ф О такое, что ах=О; тогда в векторном пространстве Еск~ имеем аср(х) = су(ах) =О, откуда ср(х) =О. Обратно, предположим, что ср (х)=18х=-О в КЗЕ, и покажем, что элемент х не свободный, Согласпо предложению 8 $1, в Х (рассматриваемом как А-модуль) существует подмодуль Кы.
РАсшивенгле кольца ОПЕРАТО!'ОВ ИОдуля 359 годер;кащнй А, порожденный конечным числом элементов $„.й К и такой, что 1 8 х = О также в тензорном произведении К, 3 Е. Но, как мы видели в 1', в А существует и ьь О такое, что все ))г = а~, принадлежат Л. Отсюда сразу следует, что каждый элемент из К, имеет впд а г$, где ~б 1, пныаш словамп, что К, содержится г А-модуле К„= и 'Л. Очевидно, 1 Я х = О в тензорном произведении К„3 Е. Но отображение с — эи$ есть пзоморфнзм А-модуля К„на Л-модуль А; при этом, согласно предложению 5 з 1., канонический изоморфизм А 3 Е на Е относит тепзорному произведению ).3 х элемент Ххб Е; поэтому существует изоморфизм К„3 Е па Е, относящий тензорному произведению з 8 х элемент (и$) хб Е.
Следовательно, предположение, что 1®х=О в К ЯЕ, влечет, что их=.О в Е, иными словами, что элемент хб Е не свободный. Слкдствик 1. Пусть Š— унитарный А-модуль, все нснулевьге з.гементы готороео свободные. Тогда его каноническое опюбражение гу в векторное пространство Р = Ери есть А-изоморфизм такой, что: 1' Векогорное пространство г равно Кгу (Е). 2' При оогождествлении Г посредством изоморфизма гу с модулем гр(Е) каждое А-линейное отображение ~ модуля Е в произво.льное векторное пространспгво 6 над К однозначно продолжается до К-линейного отображения ~ пространства Р в 6; при гогом, если ~ — А-изоморфизм Е в 6, пю г' есть К-изоморфизм Р в 6.
Нужно лггшь убедиться в том, что вместе с г также г' является изоморфизмом; но так как каждый ненулевой элемент из р имеет вид Хх, где ЛчК, хбЕ, ХФО и хФО, то г()х)=)ч(х)сьО, поскольку 1(х) ~ О в силу предполохгенпя. Векторное пространство Есин получающееся из унитарного А-модуля Е, все ненулевые элементы которого свободные, путем расширения кольца операторов А до его поля отношений К, будет пазьгваться векторнылг пространстсом, ассоциированным с Е; при этом Г всегда будет отождествляться с его образом в Еры прп каноническом пзоморфизме х — +1 3 х, Размерность Е<кг будет называться рангом А-модуля Е; более общим образом, ранг любого множество М~Е будет, по опреде- гл.
пк зЗ полилинвннля Алгкзгя ленпю, считаться равным рангу канонического образа М в Е<к>, т. е. (гл. 1!, з 3, и' 2) размерности векторного надпространства, порождаемого зтпм образом. Рангом каждого отображения а множества Л в Е будет считаться, по определению, ранг д(Е), Слкдствпв 2.
Пусть Š— унитарный А-модуль, все ненулевые элементы которого свободные. Всякий его А-изоморфизм ф в векторное пространство Г, над К такой, что Р, =- Кф(Е), продолжается до К-изоморфизма векторного пространства г' =Виси ассоциированного с Е, на векторное пространство Г . Это непосредственно вытекает пз следствия 1 и условия р,= = К~) (Е). Слвдствпв 3. Множество Я всех зависимых элементов произвольного унитарного А-модуля Е является его подмодулем; все ненулевые элементгл фактормодуля Ь",Я свободные, а векторное пространство Е<~~ изолюрфно векторному пространству, ассоциированному с лгодулсм Е/Я. Действительно, Я есть прообраз нуля относительно канонического А-линейного отображения ц модуля Е в К 3 Е, и ц(Е) изоморфпо Е/Я; так как Е л> = Кц (Е), то Е<к> изоморфио векторному пространству, ассоциированному с Е/Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
