Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

Принимая во внимание предложение 2 т 2, достаточно показать, что д (уу') = д (у) у (у') в Е<в>, и так как образ Е при каноническом отображении х — + е <><> х порождает Е<в> (рассматриваемое как В-модуль), то можно ограничиться случаем, когда у = е <Е> х, у' =- е б) х', где х их' принадлежат Е; тогда имеем уу' =с <><> (хх'), и соотношение д (уу') = д (у) д (у') вытекает из того, что 7 есть А-представление. Предложение 1 $2 также распространяется на алгебры; проверку выполнения етого мы предоставим читателю. В силу установленного только что предложения 5, доказательство предложения 4 т 2 показывает тогда, что расширение кольца операторов алгебры также есть транзитивная операция; точнее говоря, если С вЂ” коммутативное кольцо с единицей е, А и  — его подкольца такие, что ей А ~ В, и Š— алгебра над А, то алгебра Е<с> изоморфна алгебре (Е<в>)<с>. Пгкдложкник 6.

Если алгебра Е' обладает базисом (а>) относительно А, то ее каноническое отображение х —. е К х в Е<в> 371 ткнзоэнык пгоггзккдкния Алгккя есть А-ивоморфизм; по отождествлении Е с ее образом Е, при этом изоморфизме (аг,) является базисом алгебры Его> относительно В, и каждое А-представлсние алгебры Е в лгсбру ггг относительно В однозначно продолжается до В-представления алгебры Егвг в Лг.

Это непосредственно следует нз установленного выше ир дложення 5 н теоремы 1 $ 2. Заметим, что таблица умножения базиса (ак) (гл. 11, ь 7, и 2) одна и та же для алгебр Е н Егор Пгкдложкннк 7. Пусть А — кольцо целостности, об.гадаюгцее единицей (обозначаемой 1), К вЂ” его поле отношений и Е— алгебра над А, все ненулевые элементы которой свободные (относительно структуры А-модуля в А). Тогда каноническое отображение х — ь 1 Я х алгебры Е в алгебру Еггп над гголем Х есть А-изоморфизм Е на подалгебру Е, в К Я Е такую, что Ерц = КЕ,; при отождествлении Е с Е, посредством этого изолшрфиглга каждое А-представлсние г" олгебраг Е в алгебру 6 над К однозначно продолжается до К-представления 7 алгсоры Е<лг в С; если 7'— А -изоморфизм, то у' — К-иэоморфиз.к.

Справедливость предложения вытекает нз установленного выше предложения 5 н следствия 1 теоремы 2 $ 2. У п р а ж н е и и я. 1) Пусть Е и Р— алгебръг яад коммутативиым кольцом А с единицей. Если и — левый идеал в Е и Ь вЂ” левый идеал в Р, то аддитивиая подгруппа е Е Я Г, порожденная элементами з Я у, где з пробегает а и у пробегает Ь, есть леэьш идеал алгебры Е ЯР. 2) Пусть Е и Р— алгебры иад полем Е, имеюпще кагкдая единичный элемент, и С вЂ” центр алгебры Е. Показать„что подалггбра алгебры Е ЯР, порожденная алемевтами, перестаяоаочными со всеми элементами из Е, совпадает с С ЯР; центром алгебры Е ЯГ сяужнт подалгебра С ЯВ, где В- центр Г.

3) Пусть Е„Ем Рг, Г, — алгебры над кольцом А, Если и представление Е, в Р., и о — яредставлеяпе Г, в Р„то тензорное произведение и Я и есть представлеиие алгебры Е, Я Г, в алгебру Еа Я Рг. 4) Пусть  — коммутативиое кольцо с единицей с, А — его подкольцо, содержащее е, и Е, Р— алгебры пад А.

Показать, что алгебра (Е ЯР) г иэоморфиа алгебре Е< ЯГ 21а 372 с!(»лп.!и!!клс! си л;!гиии ! гл. мп 14 5) !!усть Л вЂ” алгебра иад иолси К и б — и»диоде мого поли. !!оиазатьь что если алгебра Ес ! обладает единицей, то зто жс вери и дли алгсбры и. )Восиольюи стьси тсорсиоб ! 4 5 главы 11.) З б!.

Т! и!со)с!.с и тевзорные пространства у. л'еизо)эьс Опгкдклкник (. Пусть Š— унитарный модуль над коммутотивньсм кольоолс А. р раз контравариантным и д раэ ковариантным тензоро.и над Е ноэьсвается всякий элелсенгп тенэорного произведения ® Ес, где р иэ модулей Е, совпадают с Е, а остальные с=! д — с сопрялсеннысс модулем Е*! число р+ д называется порядком е) тенэора. В случае, когда д --.= 0 (соответственно р =- О), имеется лишь один модуль тензоров порядка р + д, а именно р-я тензорная степень Е (соответственно д-я тензорная степень Е*); его тензоры называют контравариантными тенторами р-го порядка (соответственно ковариантными тензорами д-го порядка); контравариантные тензоры первого порядка, т. е.

элементы модуля Е, называют также контравариантными векторами; точно так же ковариантные тенэоры порвого порядка, т. е. элементы сопряженного модуля Е* (линейные формы на Е), назьсиают ковариантными векторами. В дополнение к определению 1 условимся рассматривать скаляры (элементы кольна А) как теизоры и называть их тензорами нулевого порядка. В случае, когда р и д отличны от нуля, р раз коптравариаитные и д раз ковариантные тензоры называют смешиннньссс; они абра(г+в)' зуют Р ~ ' различных лсодуле!с, но между любьыси вумя из р)д! и этих модулей существует каноническое взаимно однозначное соответствие (з ), и' 7); во многих случаях можно ограничиться рассмотрением лишь одного из пих, например произведения Р п ((ЗЕ) бб ((;;) Е"), которое будет обозначаться Т,", (Е) пли просто Е,"„ если это не сможет повлечь путашщы.

Элементами Е«служат ») В русской математической литературе вместо «порядок теизора» говорят «ел«вынесть (или, реже, ране) тсизора.— Пере«. l тглнзОРы и твнзОРныв пРОстРАнстВА 373 всевозможные линейные комоинации тензоров вида х,хл х„х,'х„... х,, (называемых так!не разложилсыыи тензорами), где х! — произвольные элементы из Е, а х,'.-произвольные :глементы из Е* (мы опускаем символ (л) в обозначонии этих теп- 7' '7 зоров). Пусть Я Г« - другсгй модуль р раз коптраварпантных 7=.! и д рас! коварпаптных теизоров такой, что Е, = Е, когда «7 есть один из членов строго возрастагощей последовательности (и!)сн, Р пз р чисел интервала (), р+ с)), и Ет=-Е*, когда т ость один пз членов строго возрастающей последовательности (й,)! образованной остальными чпсламн этого интервала; капоничеР‫ ский изоморфнзм Е,", па с,)о Е« относит каждому разложимому « =.

! тензору х, ... хех, '... х.', (.с,.ЕЕ, хг'бЕ*) разложнмый тензор У,У« ... У„,«, тле Ул. = х, и 77« = х,' (1 с!:: Р, (:-1< д). Предположим теперь, что Е о .задает наносным базиса«н (ал)! л.с„(что, несомненно, является наиболее важным случаем); будем в дальнейпгем обозначзтс, !срез (ал)сил -„базяс в Е*, гонрлженный и (ал) (гл. )), » «".. ! ' '!); тогда модуль Е«обладает базисом пз и"'«элементов, обра.юваиным разложпмылги тензо- рами ал ... ал а"' ... а'7, где ("' ) пробегает множество 1Р всех последовательностей пз р элемснтов интервала 1= [л, и) С Х, и ()л!) — множество 1«всох последовательностей из д жтементов этого интервала. Говоря о ко7внонептах тензора хб Е,"„мы всюду, где не оговорено противное, имеем в виду компоненты х относи- тельно базиса, полученного таким способом, отправляясь от неко- торого базиса (ал) модуля Е; допуская вольность речи, их называют колспоненталси х относипгвльно базиса (ал); компонента х относ !- тельно злемента ал ...

ал ав! ... а «ооозпачается «и л л ! « причем верхние индексы называются контравариантныжи, а спгж- нпе — ковариагстнлгми; таким образом, "ал, ал а~! ... ав«. ((7 сх ),СР ) 7 Р+« Если теперь ® Е« — второй модуль р раз коптраварпант7=1 ных и д раз ковариантных тепзсг)с!!в такой, что Е«= Г для ) =. 77! гл. Нп 14 374 полилннвйная ллгкврь (1 ц г-,'Р) и Е„=Е* для ч = Ьг (1<1~< д), то базис этого ьгодуля, соответствующий базису (аь) модуля Е, образован тензорапп Ь,Ь ... Ь,, где Ьь, ="аь, и Ьь =а"1', причем ()ьь) 1 прооегает ХР, а (и;) пробегает 12. )(о11поненты тензора, принадлежащего этому модулю, обозначают чаще всего так же, как и в случае модуля Е"; однако прп желании избежать смешения этого модуля с другими коптраварнацтный индекс Х, помещают на 1-и месте, незанятые же лгеста оставляют пустыми или помечают точкой; например, коьшоненты тензора, принадлежащего ЕЯ Ее ф Ее ЯЕ, обозначают $"1' ' "' илн $~1 ьз, когда предРгоз Ргаз почитают точную запись, и $'1 ' в противном случае.

хх Р1~ 2 Пусть (аь) — другой базис модуля Е и (аь) — сопряженный базис в Е"", если Р— матрица перехода от (аь) к (аь) (гл. П, х 6, п' 9), то матрпцей перехода от (аь) к (аь) будет матрица 'Р ', контрагредиентмая к Р (гл. 11, 3 6, и 9 ); отсюда следует, что в Е" матр~цей перехода от базиса (аь, ... аьравь ... а"е) к базису (аь ... аь авь ... а"ч) служит тензорное произведение 1 Р Р ЯР,® ... ЯР „, где Рь=-Р (1<2(Р) и Р „='Р' (1 < 1< д).

Аналогичный результат справедлив для любого другого модуля Р раз контравариантных и а раз ковариантных тензоров. Как мы увидим нигке (и' 4), прн вычислениях с тевэорами элементы матрицы перехода Р принято обозначать а" (или, лучиге, ох"), где Х вЂ” индекс столбца рассматриваемого элементе, а р — индекс се1 роки; напротив, элементы контрегреднентной матрицы 'Р 1 обозначюотсн б' (нлн, лучше, р'р), где Х вЂ” индекс столбца элемента, а р— Ь1 ° ° ° Ь индекс строки; прк этих обозначениях компоненты 1 ' ''' Р тензора Р1 ''' "а относительно базиса (а„) вырюкзютсн через компоненты — ь ..ьр "а этого тензоре относительно базисе (аь) по формулам — о,' ... иР(3 ', Р231''' Р. (2) — >ос, " "о„ р, " нч с, сч (с,.)(с 3 а м е ч а н и е.

Многие авторы прндерживаютси при вычислевилх с текзорачи такого соглашэнии: если написано выражение, ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫВ ПРОСТРАНСТВА содержащее компококты некоторых текзоров и, возможко, векторов выбранного базиса модуля Е (кли сопряженного базиса), то под ким подразумевается вырзжевие, получающееся из него следующим спо- собом: каждому яз индексов, фигурарующих в написанном вырюке- иии один рав как верхний индекс и един рав как нижний (такие иадексы называют внеммми индексами> выражевия), придают все звачевая от 1 до а и затем образрот сумму всех получеквых тзк злемоктоз. Пра таком соглашении запись формул (1) и (2) принимает соответственно вкд к:$' "а ...а а'...ач, х ...ь и и и, и„г, ''' „х, ь х х с ь, о ...

Характеристики

Список файлов книги