Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 85
Текст из файла (страница 85)
1. Опреде чемтге определтгтыелей Пусть и — эндоморфизм А-модуля Е, имеющего базис, состоящий из и элементов; и-я внешняя степень /~ и этого эндоморфизма и (з 5, и' 7) есть эндоморфизм модуля /~Е; ио этот последний модуль имеет базис, состоящий из единспювнного элемента (з 5, и' 6), иньмш словами, изоморфел А (рассматриваемому Н как А-модуль), и следовательно, каждый эндоморфизм модуля /~ Е есть гомотетия г — ')г (гл.
11, ~ 4, предло;кение 1). Опекдклкник 1. Определителем эндоморфизма и модуля Е, имеющего базис, состоящий из п злелгвнтов, называют скаляр А, ь обозначаемый г)еьи„такой, что внешняя степень /~и совпадает с гомотетией г — эьг модуля /~Е. Согласно определению /),и, каковы бы ни были и элементов хз 6 Е, и(х,) Л ... Л и(х,„)=(беби) х, Л ... Л х.. (1) Определитель тождественного эндоморфпзма равен 1. Ткоекмз 1. Если и и о — зндоморфазмы модуля Е', то Йе1 (и о о) = (ое1 и) (йе1 о).
(2) Действительно (4 5, формула (8)), /~ (и о о) = (/~ и) ь (Д о) . Опгкделенпе 2. //усть Х вЂ” квадратная матрица и-го порядка над колемутативгзым кольцол~ А с множеством / индексов строк и столбцов. Определитель эндоморфизма А-модуля А, 1 о и Р в д н л <1 т в л н 413 имеющего матрицу Х относительно канонического базиса этого модуля (гл. 11, з 6, и' 5), зывается определителем матрицы Х и обозначается <1е1 Х или В том (наиболее часто встречающемся) случае, когда 1 есть интервал [1, и[< 1Ц, так что Х=- Д<,)««„, <,<„, определитель матрицы Х обозначают также <1еСЯ«)««„, «;<„(илп просто ЙеС(З<,). если это не грозит никакой путаницей), нлн $,.(~, или, наконец, Если (е,)<,<.-„ — канонический базис модуля А", эндоморф«зм и, матрнцей которого служит Х, — это зндоморфизь<, для которого и (е<) есть столбец х; = ~~~ е;йп матрицы Х (гл.
11, =1' '* з 6, и'3); таким образом, согласно (1), определитель матрицы Х определяется соотношением х, Л ... Л х„=(<)еСХ) е, Л ... Л е<о (3) так что можно написать (см. гл. П, $1, и= 6) <1еС Х = е<Л ... Ле„ Матрицу Х, у которой дсС Х = 1, называют унимоду ярной. Пусть Ь' — А-модуль, имеющий базис (а,), состоящий из и этементов. Определителем и векторов х,=~~ аД„(1 61'< п) этого <=< модуля относительно базиса (а,) называют определитель матрицы ($,.;),1-й столбец которой образован компонентами х, относительно базиса (а,); этот определитель обозначают иногда [х,х„ ..., х„[ (если никакая неясность по поводу базиса невозможна).
Таким образом, имеем т<Л . Лх'„=[х„...,х„[ а,Л- Ла„. ГЛ ПГ.$ ь 414 полилпнкинля л !Гякэл П р и и е р ы. Определитель квадратной матрицы первого порядка равен ее единственному элементу. Для матрицы второго порядка аа ап Хам а« ./ имеем в предыдущих обозначениях х, Л г =(«,аи+е«а«,) Л («,а1«+с,а„) = аман«, Л сз-' а««а,«г. Л ч. откуда аи а« =-а„аз« вЂ” а,«а, а„а « 3 а меча н я е. Рассматривая определитель матрицы Х=-ЯО), часто позволнют себе, допуская вольность речи, говорить об «элементах определителя«, «строках определителя«, «столбцах определителяэь понимая под этим элементы, строки и столбцы матряцы Х.
Если Х н У вЂ” квадратные матрицы язд А с одинаковым множеством индексов 1, то их произведение ХУ соответствует конпо- 1 вицин эндоморфизмоз модуля А, соответствующих матрицам У и Х (гл. 11, з 6, и' 4); поэтому, согласно теореме 1, имеем: Пгкдложкняк 1.
Определитель произведения ХУ квадратных матриц Х и У (именпцих одно и то же множество индексов) равен произведению определителей этих матриц. Другими словами, если рассматривать в Л и множестве Ы„(А) ° всех квадратных матриц п-го порядка над А липть алгебраические структурьц определяемые одними мрльтипликативныл«и законами этих двух колец, можно сказать, что Х вЂ” ь«)е$Х есть представление М„(А) в А. Следствие 1. Если Х и У вЂ” квадратные матрицы одинакового. порядка, то г)ес(ХУ) =г)еь(УХ). Отметим аналогию между этим следствием н предложением 2 1 4, относящимся к «леву произведения двух матриц. Однако зтэ аналогия не полна: действительно, если Х вЂ” матрица из п«строк н и столбцов, У вЂ” матрица из и строк и ж столбцов и п(т, то, как можно наказать, бег(Х«)=-0, тогда кзк вообще йеь(РХ) —.—, О (упражнение 6).
Сужение представления Х вЂ”: г)е$ Х на (мультнплнкативную) группу обратимых матриц и-го порядка над А (нзоморфную 415 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ линейной группе С1 (А)) является представлением этой группы в группу обратимых элементов кольца А. Отсюда: Слкдствик 2. Если Х вЂ” обратимая квадратная матрица над А, то ее определитель обратим в А, причем йеС(Х ') =-(г)еСХ) '. (4) Ниже мы увидим (теорема 2), что, и обратно, если г(еС Х обратим в А, то матрица Х обратима. Отметим, что образом алгебры зтз(А) при отображении Х ~ бег Х является все кольцо А, ибо определитель диагональной матрицы равен а. На тон же основании образ группы обратимых матриц прн отображении Х г(ег Х совпадает с группой всех обратимых элементов нз А.
Пгкдложкник 2. Две подобные квадратные матрицы имеют одинаковые определители, Коли Х и Х' подобны, то существует обратимая матрица Р такая, что Х'=РХР г; поэтому справедливость утверждения вытекает иэ предложения 1 и его следствия. Предложение 2 можно доказать также, заметив, что две подобные матрицы могут- рассматриваться как матрпцы одного и того же эндоморфизма модуля А" относительно двух разных базцсон.
Слкдствнк. Определитель мтприцы не изменигпся, если подвергнуть строки и столбцы этой матрицы одной и той эхе подстаковке (гл. П, $6, п' 11). й, Лжзгтеелеигсе оп роде.гипге гя Пгвдложкник 3. Определитель магприцы Х п-ео порядка является знакопеременной полилинейной формой относительно и столбцов хг этой матрицы. Это утверждение есть непосредственное следствие формулы (3) и того, что (х .
. х )- хг Л .. Л х — знакоперемепное полнлинейное отображение (см. $ 8). г>.ы>,зс полплппеинля >п)гкш < В частности, оиределитезь с дзуыя совпадающими столбцами равен нулю. Если произвести нзд столбцами определителя подстановку о, он умножится ва за. Если к столбцу определителя прибавить скалярное крзтвоз другого столбца, определитель ве изменится. Следствии. Каждая знакопсрсмснная полили нсйная форма оп>носитсльна и всюпаров л< из А" может бьлпь записана в виде (~„..., ~„) ь(з,, ..., ~„) ().6А). Действительно, такой форме соответствует линейная 'форма на п-й внешней степени 6 модуля А" ($ 5, и' 5); так как 6 имеет базис, образованный единственным элементом с, то каждая линейная форма на 6 записывается в виде $с — Ц, где ).6 А, чем утверждение следствия н доказано.
Заменяя в формуле (3) каждый из столб>цов х< его выраже- нием 5) с>с>< и раскрывая внешнее производенпе, видим, что > — 1 л' (йесХ).с, Л Л с„=~~'5а<>) > . $а<з],асс<)) Л ° Л са<„>, и так как са«> Л ... Л са<„>=. за с, Л ... Л с„, то получаем, что <)еВ Х = <)об (ь<>) = Х за%а<», > ° ° ° $а<а), а| (5) а где сумма распространяется на все и! подстановок о симметрической группы Правая часть формулы (5) будет называться полним разложением определителя матрицы Х.
Так как кольцо А коммутативно, то для любой пары подстановок о, т группы ю„имеем Е а«), < ° ° за<а),а = ьа<з<>>), т<>) ° ° ° Ьа<т<а)), з<а). Беря, в частности, т=-е ' и замечая, что еа з —— еа, мы видим поэтому также, что де< Х = Х еаза), а<>) ° ° 5а, а<а) ° (6) а Для каждой пары индексов (>, у) положим т)<> —— -"...
формулы (5) и (6) показывают, что деь(т)<>) =йе1($<>); иными словами: 417 опгеделителн Пгедложение 4. Определитель матрицы, получаюгцейся путем транспонирования матрицы Х, равен определителю матрицы Х. Это свойство выражают также, говоря, что вильена отрок столькими не изменяет они«ения олределителя. В главе ььь будо» дано другое доказательство этого предложения, оспозавяое яа наприаодимостя определителя, рассматриваемого как поливом от своих эломеятов. Следствие. Определитель квадратной матрицы Х лвллетсл знакоггеременной гголилинейной функцией ее строк. Чтобы убедиться в этом, достаточно применить предложение 3 к транспонированной матрице Х.
Отсюда вытекают то жо следствия, что и из продложевяя 3, с заменой в формулировках слова естолбец» словом «строка», Из формулы (6) непосредственно видно, что определитель общей матрицы Х и-го порядка над А, рассматриваемый как функция ее и столбцов х«(1 с г( п), является результатом антисимметрирования полнлинейной формы (х„..., х„)-+(х„еь)... (х„, е,',), где (е,') означает базис, сопряженный к каноническому базису (е,) модуля А" (см. теорему 1 $ 5); рассматриваемый как функция и строк хг (1 < г ~ и) матрицы Х, ее определитель опять-таки есть результат антисимметрирования той же полилииейной формы в силу предложения 4. 3. Миноры маюгрнцы Каждой прямоугольной матрице Х =(чьи), множества Л, М индексов строк и столбцов которой различны, но имеют одно и то лсе число олементов гг, как мы видели (гл.
11, з 6, и' 5), можно несколькимн способами поставить в соответствие квадратную матрлцу и-го порядка, множеством индексов строк и столбцов которой служит интервал 11, и] С: 1ч, располагая элементы множества л. в последовательность ()ьь) и элементы множества М вЂ” в последовательность (рь); соответствующей квадратной матрицей будет матрица (ггьг)г<ькт ьы;<т где ггг;= зь о,. 27 н. Бурса«и 418 гл. Ш,16 ПОЛИЛИНКйцАЯ АЛГЕБРА Опгкдклкник 3. Пусть Х вЂ” прямоугольная матрица иг т строк и п аполбцов. Ее минорами р-го порядка (где р(ппп(т, п)) называют определители квадратных матриц р-го порядка, получающихся из подматриц матрицы Х, имеющих р строк и р столбцов. Различные квадратные матрицы, получающиеся из заданной подматрицы матрицы Х, отличаются друг от друга лишь порядком строк и столбцов, а потому их определители с точностью до знака совпадают; тем самым миноры р-го порядка матрицы Х определены с точностью до знака.
Во всей остающейся части этой главы мы ограничимся тем случаем, когда множеством индексов строк матрицы Х=(Б11) служит интервал [1,ту~с(, а множеством яндексов столбцов — интервал 11, и'1. Пусть тогда Н (соответственно К) — иодмножество множества индексов 11,т| (соответственно 11, пу), состоящее из р элементов, и рассмотрим подматрицу матрицы Х, получающуюся путем вычеркивания в Х строк с индексами ьй СН ц столбцов с индексами уйСК; обозначим через Хп,л определитель квадратной матрицы, получающейся из этой подматрицы путем расположения индексов ее строк и столбцов в возрастающую последовательность (1„) (соответствепно (уь)); тем самым минор Хп, л определен соотношением (сь,Ь,У,-' ... +с1„Ь,;,) Л...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
