Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Отметим еще, что теорема 1, примененная к случаю р=и. позволяет вновь получить, в пополнеяном виде, предложение 6 1 6 относительно системы и однородных линейных уравнений с и кеизвестныыи: л опгкдвлитвли нлд полки; глзложимык р-ввктогы 431 Пгвдложвнив 2. Для того чтобы однородная линейная система и уравнений с и неизвестными над полем обладала ненулевым решением, необходимо и достаточно, чтобы определитель ев матрицы равнялся нулю.
:5, Ментарные подпространспьва и раз.голеи.мте р-векто5эм Пгвдложенне 3. Пусть г — ненулевой р-вгктор над векторным пространством Е; векторы х й Е, для которых зЛх=О, образуют в Е векторное подпространство У;, при этом, если (хь)1п;<, — свободная система векторов иг у„то д < р и существует (р — у)-вектор е такой, что г= еЛх,Л... Лхе. Действительно, образуем базис пространства Е, первыми векторами которого служат х„,..., х (гл. П, $3, теорема 2); пусть х„„,..., х -- остальные векторы этого базиса.
В обозначениях из п' 6 з 3 можно написать г = ~ анхн, где Н пробегает множество н всех подмножеств интервала 11, и"5, состоящих иэ р элементов; пз выполнения соотношения гдх1 — — О для индекса 1 вытекает тогда, чтоан=О для каждого Н, не содержащего П так как по предположению зЛх,=О для всех 1 от 1 до д, то мы видим, что ин = О для всех Н, нг содержащих интервала (1, д1 ~ Х. Поэтому р ) а и существует (р — д)-вектор е такой, что г= пах, Л...
Лх,. Следствие 1. Для каждого ненулевого р-вгктора з над векторным пространством Е имеет место неравенство ипп У„<р; для разложимости з необходимо и достаточно, чтобы п1ш У„= р. Неравенство П1ш У <р сразу следует из предложения 3, поскольку каждая свободная система в Уе содержит не более р элементов; если Йш р =р, то для установления разложнмости нужно взять в предложении 3 в качестве (хз) базис подпространства $'.; обратное очевидно, ибо сслп э=утаи... дурФО, то векторы у,.
(1 <1 <р) образуют свободную систему (теорема 1) и принадлежат у., а значит, т', р-мерно. Если р-вектор г н вектор х отнесены к какому-нибудь базису. е;) ~ ~ .р пространства Е, то соотношение з Л х= О равноснльно И системе ( ) однородных линейных уравненнй для компонент р-, 1 432 ПОЛИЛИНБННАЯ АЛГЕБРА Гл, 1Н, '17 вектора х; необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять компоненты р-зектора е, чтобы ея был рагложиным, получим, написав, что ( линейных форм, стоящих в левых (,р+»/ частях упомянутых уравнений, являются линейнымн комбннацняыи каких-нибудь и — р нз ннх (см, 3 8, упражнение 6). Компоненты р-вектора е иногда называют его ероеемаяоеекями коорознотомц относительно базиса (е»).
Слкдствнв 2. Пусть (х»)»я» „и (у»)1»<р — две свободные ' сиоп»вмы р векторов векторного пространства Л. Для того чтобы (ненулевые) р-веюпорь»х,Л... Лхр и у,Л... Лур отличались друг от друга лишь скалярным множителем, необходимо и достаточно, чтобы (р-мерные) подпространства, порожденные соответственно векторами х„..., хр и у„..., у, совпадали. Таким образом, каждому ненулевому разложимому р-вектору г соответствует р-мерное векторное подпрострапство )'е пространства Е; каждая (свободная) система (х,)»<» р р векторов из Е такая, что г =х,И...
Ихр, является базисом этого подпространства Ъ',; мы будем называть Р, векторным подпространством, определяемым рагложимым р-вгктором г. Следствие 2 предложения 3 показывает, что каждое р-мерное векторное надпространство может быть определено разлон»имым р-вектором н что все разложимые р-векторы, определяющие одно и то же надпространство, отличаются друг от друга лишь ненулевым скалярным множителем. 8 а м е ч а в н е. пусть (х»)1» „и (у»)»» „— дза базиса одного и того же р-мерного подпростраиства У пространства Е; пусть у» = ~ аых (» <» ~ р) и А — квадратная матрица (ам) р-го порядка 1=1 (матрица перехода 'от базиса (х») к базису (у») (гл.
П, 5 6, и'9)). Согласно определению определителей (н предложению 7 З 5), имеем у, Л... Л ур =(бе» А) х, Л... И хо. Для равенства рвзложимых р-векторов х,Л.. Лхр н у»Л...Лур необходимо н достаточно, чтобы матрица перехода от (х») н (у») была упимодуяярной. ПустьЕотиесево к определенному базису (е»), » „; отнеся каждому свободному семейству (х,),, „р векторов пространства Е матрицу Х из и строк и р столбцов, 1'-й столбец которой длн каждого» (» < 1' < р) образуют компоненты вектора *, относительно базиса (е;), зпчлкггг.г.гп гглд полям; г гзпжпчык юпкктогы 433 чы;гозучпм взанлпго одяозпачноо отображевяе свободных семейств чг р векторов пространства Г (ямеющзх 11, р) свопм множествам зядеясов) па множество бр,о (К) всовоеогожных матрац яз и строк гг р сточбцов пад полом К, имеющих рон, р. Если Х и У вЂ” »гатрзцы ыз о строк и р столбцов, соответствугощне описанным способом свободггым системам (»;)г; -, н (уг)г г .. то дзя равенства р-векторов о»Л ..
Лхо в у, Л... Лур неооходпмо и достоточко, чтобы сувгсство. вала рггггзгоггггозрнов квадратная матрица .! р-го порядка такая, что У.—.ХА. Тем самьвг определяется взаимно о,гнозпочпоо отображение »шожества всех рззложпыых р-векторов иод Л па угокгоорггггоокеегооо множества бр, о (К) по огпвоженжо о»ооооеегягггоегггге: »существует увемодулярвая г:водратпая матрица А р-го поря»в о токая, что У=ХАю г1редлогггенгге 3 поэзо»гает перевести некоторые свойства подпространств пространства Е в свойства разложпмых р-венторов, опргдолнющих эти надпространства.
Тагг, например, имеем следугощпе предложеггпяг Пгвдложвпив 4. Пусть Р и Иг — векторные подпространппга пространства Е, имеющие соответственгго раззщрносгпи р и д; нреоположим, что р <б г), и пусть и — разлоокимый р-вектор, ояределягощий Р, и и — разложггмый д-векпгор» определяющий И', Д»гя того чтобы $'С:Иг, необходимо и достаточно, тгобы существовал (д-.-р)-вектор и такой, что и»= иЛ т Это предложение есть непосредственное следствие предложеюгн 3, примененного к разложнмому д-вектору иг и р венторам, оораэующнм базис подпространства Р.
11гкдложкнив 5. Пусть Г и Иг — ветпорные ггодпространства пространства Е, имеющие соответственно размерности р и д, о — разложимый р-вектор, определяющий 1', и иг — разложимый у-веюпор, определтощий Иг; для того чтобы УП И'= (О), нсобходи.чо и достаточно, ыпобы иЛигФО; разложизгггй (р+ д)-вектор оЛ ге опрсдсляегп пгогда ггодпространспгво 1'з-1Г, Действительно, если 1'()Иг имеет размерность г)0, то существует разложпмый г.-всктор ., опредслчющнй У( )И', такой, что о будет пронзвсдтгпсгг = п некоторого (р-- г)-вектора, и — произведенпегг = и некоторого (а — г)-вектора; по тогда пЛ го=-О.
Если. напротив. Р()И =-(0), то сузгщпа 1г Р И' прямая; поэтому, гслп (х,)г<г<р — базис надпространства 1', а (у,.)г<;.-„— базис подпространства И', то р -4- г) векторов х,. н у; образуют базис 88 и. втрсаьо полилмнкяпля ллгшп л гл. Пьзу поди ространства р + Ис, н нх впешноз произведение есть ненулевой разложныый (р+ о)-вектор, определяющий ['+ И', но (следствне2 предложения 3) оно лпшь ненулевым скалнряым множителем отличается от пЛ ш. Пусть à — (ал-1)-мерное векторное пространство над полем Х; э л в векторном пространстве р= д К (О (р ( а) размерности й= Гад 1 ) множество 11а„(Е) всех ненулевых разло ккмых (р+1)-век.
р торов насыщено по отвошеяшо й(р); «существует й —,-'О такое, что а= да« между и и а (гл. П, Приложение 111, и* 1). Его канонический обраа Ср.«(Ю) в проективнок пространстве Р(Г) размерности й — 1 пазывается (р-1)-и эрассманианам пространства Ь (нтн проективного пространства Р(Е)). Согласно предыдущему, существует каноническая биекция Ср„(К) на множество всех (р+1)-мерных векторных надпространств пространства р (кли на множество всех р-мерных проективных линейных многообразий пространства Р(Г)).
В случае, когда Г=.. Ха" «, вместо Сао (Е) пишут Ста р(К). У и р а ж не в н я. 1) Пусть Х вЂ” матрица над полем. Для того чтобы она была матрицей ранга р, достаточно, чтобы она содержала такой ненулевой минор р-го порядка, что все содер«кашне его миноры (р+1)-го порядка равяы нулю. [Показать, что каждый столбец матрицы Х будет линейной комбинацией тех р столбцов, которым принадлежат элементы указанного минора.] «2) Пусть К вЂ” модуль над коммутатквным кольцом С, имеющий конечвый базис, состонщий из а элементов. а) Для того чтобы р элементов х«(1 < 1 ~( р) модуля Е обравовывали зависимую систему, необходимо н достаточно, 'чтобы рх, у( ... ... Дар — — О для некоторого скаляра р -О.
[Для установления достаточности условия рассмотреть матрицу А из а строк и р столбцов, образованную компонентами элементов хб свести к случаю, когда проиаведенне некоторого минора (р — 1)-го порядка матрицы А па р не равно нулю; далее, ваписать,что произведение на р каждого па миноров р-го порядка, содержащих этот минор (р — 1)-го порядка, равяо кулю, и воспользоваться формулой (12) 1 6.) В частности, если р ) а, элементы х«всегда образуют зависимую систему. б) Показать, что если (х«) — свободная система р элементов модуля Е, то при а =-,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
