Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 90
Текст из файла (страница 90)
11, $ 4, предложение 5), модуль, сопрялсепн!р!! к ЛЕ, есть А-модуль, изоморфный прямой сумме модулгп. 442 полилинкпнйя йлгвпрй гл, ып 18 р сопряженных к модулям ДЕ, т. е. (тоорема 1) — прямой сумме к+1 модулей /1Е* (О=-д р-< и), или А-модулю /1Е*. Говоря точно (гл, 11, з 4, и' 3), мы будем капо>п>чески отожоесп>влять /1Е* с модулем, сопряженным к /1Е, так, что каноническая билинейная форма (х, х') на (/1Е) х (/1Е*) будет определяться формулой ч ч п Р >' ~' „, Х*;,=- ~'(:,„„') (:.р~/(Е,о;, /1Е*).
(13) '>=о ' >=о ' >=-о Если (с>),;-„— базис модуля Е и (е,')> -,,-„- — сопряженный базис в Е*, то пз формул (7) и (13) следует, что (сн) и (сн) являются сопряженными базисами соответственно для ЦЕ п /~Е*, где Н пробогает теперь множество всех подмножеств ппторвала (1, и] 51ожпо также сказать, что первая из формул (7) справедлива в без предположения, что Ег и Е имеют одинаковое число элементов, Для каждого линейного отображения и модуля Е в модуль Р мы определили ($ 5, и' 9) его каноническое продолжение и па /~Е э Р (как отображение, совпадающее нз каждом Ц Е с /~ и). Формула (11) показывает, что отображепче, сопряженное к и, есть не что иное, как каноническое продолжение отображении 'и на />1 Е*.
чо. Вну»>ренние проилведениэ> 7>-овь»зори и у-форма> Для каждого элемента хб ДЕ отооражеиие з — ь г д х есть эндолорфизл> структуры Л-модуля в /1 Е (правая гомотгтпя кольца /1 Е). Поэтому сопряженное отооражеппе есть эпдоморфпзм модуля /1 Е"'. Оп>гд>сльтп>в 1. Лево>м внутренним проиэвсде>гиен х 1х' злс.мента хб >",Е и элсмс>опа х'РНЕР называется значение, принимасйше в х' отображением, сопряэкенним к эндол>ор(диэл>у з — г /ч х модуля /1 Е.
Согласно определению сопряженного лпнойиого отооражсния >гл, 1(, 1 4, формула (12)), для всех хб /1Е, х' б >~ Е" и зб /1Е имеем (14) (г, х 1х') =(з 7( х, х') даоистзннность для Вмкшггкн ллгинеы 446 Пгкдложкннк 2. Сложение и внеиьнийзанон композиции (х, х')— — ь х 1х' на /1 Ем определяют в этом множестве структуру левого модуля относительно кольца /тЕ. Действительно, из (14) следует, что отображение (х, х') —:. --- х 1х' билинейно (относительно структур А-модуля и /1Е и /1 Еь); тем самым асе саодптся и доказательству тождества (х /г !у) ~ х' = — х ~ (у 1 х') (15) Пусть (е,)!«;„— базис модуля Е; как билинейная функция от (х, х'), произведение х 1х' для любых хб /~Е и х'5/1Е* определяется значениями произеед!сии!1 ен 1 ег,, где Н и Ь вЂ” произвольные подмиожостаа пнтерзала [1, п1.
Но согласно формулам (14) х 5, матрица (рг„к) зндоморфгжма з — ь з Л егг модуля /1Е отиоситель. ио базиса (ег) задается соотношениями рь, к=О, если КПНФЯ или К()Н=0 и А~К()Н, и (ьь,к=-угг и, если К()Н=Я и Е == К( гН (напомним, что окп = ( — 1)', где т — !пего тех пар (г, /). а которых ! 5 К, /бН и / <. !).
Так как матрица эндоморфпзма х' — ен 1х' есть матрица, трапспопироаанпая к (р!. к), то мы видим, что сн А ее =О, если Н ~~ Е, енме!.=як,нск, если НС /., где К озка тает дог!алкснис к Н относительно Е. (16) Эти формулы показывают, в частности, что если х есть р-вентоу! Р '1 (злемент из /1 Е), а х' — д-фаул!а (элемепт пз/~ Ее), то внутреннее пропзаедеиие х 1х' равно нулю прп р > ц и яаляотся (о — р)-формой при р~ а. При р=. о, как показывает срааненис формул (16) н (7), х ! х' =(х, х').
относительно хб/1Е, уб/1Е, х'5/тЕе. По в правой его части стоит значение, принимаемое в х' композицией зндоморфизма, сопряженного к з — ь з Л х, и зпдоморфпзма, сопряженного з э —. х г1 у; эта композиция есть не что иное (гл. П, $ 4, формула (15)), как отображенне, сопряженное к композиции = — э (з г1 х) /г у этих зндоморфтгзмоа, т. е., аследстапе ассоциато скости умножения в кольце /1Е, -к зпдоморфпзму: — ь зЛ(хну); а ото!ода и вытекает формула (15). 444 гл.
эги , 'и ! олилинкиыан АлГеБРА Игкдложкннк 3. Пусэпь и — автоморфиэм модуля Е и и — его ганоническое продолхсение на /~г Е. Каковы бы ни бьти х б /~ Е их'б'Л Еь, и(т 1х') = и (х) -1 и (х'), (17) Покажем прежде всего, что для канонического продолжения и лэобого линейного отображения и модуля Е в модуль Р имеет место равенство у и(х') ='и(и (х) 1х').
(1 8) Действительно, отображение х' — +х 1'и (х') есть композиции отображений 'и н у' — > х 1 у', сопряженных соответственно к отображениям и и г —.- гЛх, и, значит, является сопряженным к отображению г . и(гЛ х) (гл. 11, з 4, формула (15)); но так как и есть представление кольца ДЕ в кольцо/~Р ($ 5, и' 9), то и(г Л х) = = и (г) Ли(х); вновь применяя формулу, дающую сопряженное и композиции двух линейных отображений, получаем (18). В случао, когда и есть автоыорфизм модуля Е, заменяя в (18) х' нэ и (х'), получим треоуемую формулу (17).
Рассмотрим теперь для произвольного элемента х' Р /~ Еь эндонорфизм г' — ьх' Лг' модуля /),Еь (левую гомотетию кольцаДЕ*). Сопряэкенное к нему отображение есть эндоморфпзм модуля Д Е. Опгкдклкник 2, Правил~ внутренним произведением х ~ . х' элемента х б Д'Е и элемента х' с /~ Еь называется зна ~ение, принимаемое в х огпобраэкениелц сопряэкеннылэ к эндоморфиэму г' — +х'Л г' .модуля /~ Е'"". Таким образоы, имеем тождественно (х ~ х', г') = (х, х' Л г'). (19) Так же, как прн доказательстве предложения 2, устанавливается, что сложение и внетний закон (х, х) — ьх~ х' на /~Е определяют в этом множестве структуру правого модуля относительно кольца ДЕ*; иными словами, имеет место тождество и 1 — (х' Л У') = (х '- х') 1- У'.
445 деойстее!гпость для В!!Бшпгп Алгияеы Для любого базиса (е,)!«;„модуля Е пчеем еьг-ел=О- если Н! Е, е!.'- си=Он,кск если Н! Е, (21) где К означает дополнение к Н относительно Е. Отсюда, в частности, следует, что если х — р-ве>опор и х — д-у!ирма, то х ! х' = О при р <, д и есть (р — д)-вектор при р). д: при р = д гчоеа имеем хЕ х'=(х,х'). Наконец, если и — линейное отображение Е п Е и и — его каноническое продолжение па/1Е, то тождественно и (х) ! х'=и(х! и(х')), (22) и. в частности, если и — автоморЯизм модуля Е, то и (х) ! и (т') =- и (х ' х'). ('3) -б. Казеоннчесэгие мзо.иор9ыниы 1з-оезг!гзо1>оо и (и — р)- фотэм Пусть Š— модуль, обладающий базисом, состоящим из и злечеитое; как мы знаем (т 5, теорема 2), вггешняя степень ДЕ имеет базис, образованный едино!наемным злеменп!ом.
и Пгидложгник 4. Нуспгь е — элеменл! из Д Е, образующий базис ,«поза модуля, и е' — элемент из 11 Еи, образующий базис, сопряженный к е. Тогда оп!обралсение х —: х ! е' есть изол!орудизл! !р р и-р .!одуля )!!Е на модуль ДЕз, отображнощий ДЕ на /~ Е* для каждого р (0~<р~(п); изо.иор(!!изме.!!, обратным к !р, является тображение х' — > е 1- х'.
В Е имеется базис (е;)! =-; итакой, что е = е, Л... де„откуда .'' =езЛ... Ле„', где (е~) — базис, сопряженный к (е,); поэтому, !.огласио формулам (16), для каждого Н г ' 11, г!1 имеем <р (гн) = дн, негг . (24) где Н' — дополнение к Н з 11, п~). Этн формулы показывают, что <р р — и ость изоморфизм ДЕнаДЕ* и отображает /~Ека Д Е" (гл.(1, 1 2, и' 3). Точно так гке, если !Р означает отображение х' — > е И х', 446 гл. <ы, 1 8- полкл<<пкйнхн а<!Гкнгх формулы (21) дают ф(<'я ) — - ои ясп, (25) откуда явствует, что ф есть изоморфпзм, обратный к <р (поскольку — ! дя,н равно 1 или — 1); мы будем в дальнейп<ем обозначать его <р. г р Сужение <р па подмодуль /1 Ь', являющееся пзоморфизмом /Л Е на /1 Е*, мы обозначим <рр, а изоморфпзм, обратный к <р„, будет -! обозначаться <р„.
Изоморфизм <у зависит от выбрапного в /<, Ь' базиса е; по всякий другой базис этого модуля получается умножением е на, обратимый элемент кольца А; следовательно, изоморфизмы <р, и соответствующие различным базисам для /1Е, совпадают с тонкостью до обратимого множителя. При заданном базисе е модуля ь /1 Е мы будем называть изоморфизм <р (соответственно каждое— ! — ! из его сужений <о„) и обратный изоморфкзм <р (соответственно <р ) каноническими игоморфизмами /1Е на /<Е* и /<Е* на ДЕ (соотг н — г о — г н ветственно ДЕ на /1 Е* и /1 Е" на /<,Е), соответствующими.
базису с. Мшкно показать (упражнение 8), что вообще не существует изо. норфнзна, который зависел бы лишь от структуры модуля в Е (Теор. ин., гл. 1у, Прнложевне) (см. управ<пенне 12). В глазе 1Х будут рас- Р ь — о смотрены некоторые нзонорфнзмы/< Е на /< Е, связанные с теорией билинейных форм. Формула (14) прп х' = е' дает (з, <р (х) ) = (з у< х, с'). Если х — р-вектор и з — (п-р)-вектор, то зу<х=Ле, где Л- скаляр, откуда (з/<х,с') = Л и, следовательно, « -., рр (х) ) с = з /< х. 447 дкоп1'тзюшо1'ть для Внешней АлГЯБРы Таким >ке образом для р-формы х' н (и — р)-формы з' получаем из (19) формулу — 1 ( ср„п (х'), г') е' = х' Л г'.
(27) Заменим теперь В тождестве (15) х' на е'; мы получим гр (х Л у) = х -1 1р (у) или, заменяя ср(у) на х'. -1 х 1х' =1р(х Л ср(х')). (28) Таким же образом из (20) получим х1 х'= 1р(1р(х)Лх'). (29) б>орл>улы (28) и (29) сводят с помощью изоморфизма 1р внутренние произнедения к внешним. Отображение, сопряженное к лр„, являющееся изоморфнзмом з — Р р Л Е наЛ Ез, для каждого р (0<р .и) равно ( — 1)"1" ">лр„„; з самом деле, для каждого р-вектора х и каждого (и — р)-вектора " имеем (гл. 11, З 4, формула (12)) (х, 'срп(з»=-(з. 1рг(х»; поэтому, з силу (26) и формулы (12) з 5, (з» = Л =.( — 1)" "хЛЕ=( — 1)" откуда 1р — ( 1) гр Заметим, что для каждого целого р число — р' имеет ту же чет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
