Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Для каждого элемента з= = (з>) б Ц Е~ >!сложил> >ЕГ й(з) =О. если ", с„для бесконечного множества индексов е б Х; К(г)= И и„(г,) в противном случае. >Е> Последняя формула пмеет смысл, поскольку а, = е, для всех кроме конечного числа индексов; и следовательно, если г, = е, для всех кроме конечного числа индексов, то и„(з,) = 1 для всех кроме конечного числа индексов.
Непосредственно проверяется, что определенное так отображение я полилинейно и отвечает поставленным условиял>. Отсюда сразу следует, что в рассматриваемом случае гомоморфкзмы 1, и гс„, определенные в начале этого и', инъектпивмы; окп позволяют отождествить алгебры Е, с коммутирующими подал гебрамк текзорного произведения ® Е„, а А — с общим н) пгнложнннп ) и главк гп подкольцом всех этих подалгебр. Кроме того, каково бы ни было непустое множество Х~ 1, ЯЕ, канонически отождествнмо (Х) с некоторой подалгеброй тенаорного произведения ® Е,; по усло- У) впю, ® Е, означает кольцо А .
М) Тензорное произведение ® Е~ можно определить также как еиндукт <)) тинный предела тенаорных произведений ® Ь'„где У пробегает мнои) жество всех конечных нодмножеотв множества ПРПЛОвНЕНИЕ П К ГЛАВЕ П1 ТЕПЗОРПЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НАД НЕКОММУТАТИВНЬ|М КОЛЬЦОМ Все кольца операторов, встречающиеся в этом приложении, предполагаются имеющими единичный элемент (но не обязательно коммутагпивными), а все модули над этими кольцами — унитарными. Так же, как в з 2, одно и то же множество сможет наделятпься структурами модуля относительно различных колец операторов. В случае, когда оба множества Е и г наделены структурой левого (или правого) А-модуля, коммутативная группа всех А-линейных отобрвлсений Е в с, во избежание всякой путаницы, обозначается Хл(Е, с).
Аналогично Хл(Е) означает кольцо всех А-эндоморфизмов модуля Е. 1. 1емаортвое тэтэотвзоедетвмо доую моду.гей' Пусть А — кольцо, Š— правый А-модуль и Š— левый А-модуль. Рассмотрим Х-модуль С = Х формальных линеиных коы, <кхк> бинаций элементов произведения Е х г с коэффициентами из кольца Х рациональных целых чисел (гл. П, з 1, и' 8); такпы образом, модуль С имеет бааис, образованный всевозможными парами (х, у), где хРЕ и уЕР. Пусть  — подгруппа коммутатнвной группы С.
порожденная элементами следующих типов: (х, + хю у) — (х„у) — (х„у), (х, у,+уз) — (х, у,) — (х, уэ), (хс., у) — (х., Ау), гло х, х„х, принадлежат Е, у, у„у, принадлежат Р и от А. 460 ПРИЛОЖЕНИЕ Н К ГЛАВЕ ПЛ Опгеделенпе 1, Тснзорным произведением правого А-модуля Е и левого А-модуля Р называют коммутативную группу С/В (факторгруппу группы формальных линейных комбинаций элементов произведения Е Х Р с целыми коэффициентами по ее подгруппе, порожденной элементамн типов (1)).
9то тензорное произведение обозначается Е лх, Р или Ь'ЯАР (или просто Е ® Р, если нет опасности смешения). Для любых хе Е и у Ь Р элемент тснэорного ироизвсдсния Е|3 Р, являющийся каноническим образом элемента (х, у) Р С в С).0, обозначается хз у. Отображение (х, у) -л х ® у произведения Е Х Р в Ь' л3Р называется каноническим отображением Е Х Р в Е ® Р, Очевидно, Е ЯА Р канонически пзоморфно факторгруппе группы Е Зер по ее подгруппе, порожденной всевозможными элементами вида (хЬ) 8 у — х ® (1у), где Ь е А.
улан мы увнднлл (и' 3), в случае, когда А --колплутатнвное кольцо, ато определение н определение 3 1 1 действительна приводят к одной н той же коммутатнвной группе Е ®Р. Однако в смысле теперешнего определения Ь ЗГ не наделено структурой А-модуля; в в' 3 мы увидим, что это расхождение двух определений несущественно. ПРедлОжение 1. а) 11усть д — Х-линейное отображение группы ЕЯАР в коммутативную груипу 6. Тогда отобралсение (х, у) — ь — ь т'(х, у) = у (х ~3 у) произведения Е Х Р в 6 удовлетворяет следующим условиям: 1(хл 1 хл У) = 1(хл У) + 1(хл У) ~( Ул"-У ) =1(х, Ул)+1(х, У,), (2) 1(хЬ, у) =1(х, Ьу).
б) Обратно. пусть ~-- отображение произведения Е Х Р в коммутативную группу 6, удовлетворяющее условиям (2). Тогда существует, и иритолл единственное, У-линейное отображение д группы Е Я А Р в 6 такое, что 1 (х, у) = д (х оэ у) для всех х б Е, у Ь Р. По определению тензорного произведения Е ВАР. имеем 0=(х,+х ) 8 у — х,з у — х,сс у= =хе (у,+уз) — х<$ у,— хл3 у =(х1л) 8 у — х~в ()лу), откуда следует а).
Длн доказательства б) заметим, что, в обозначениях определения 1, 1 продолжается до У-линейного отобра- ш иложвник и к гллвв гы кения Х группы С' в 6 (гл. 11, з 2, замечание после следствия 2 предложения 3). В силу соотношений (2), Х аннулируется иа всех элементах типа (1), а значит, и на .Р.
Следовательно, существует Х-линейное отображение у факторгруппы СХР = Е Ялр в 6 такое, что Х уь~р, где ~р — каноническое отображение С на С!Р (гл. П, з 2, предложение 1); единственность у очевидна, поскольку Е Ял Р порождается (как Х-модуль) элементами вида х Я у. Таким образом, предложение 1 определяет канонический изоморфизм коммутативиой группы всех отображений Х произведения Е Х Р в 6, удовлетворяющих условиям (2), иа коммутативиую группу Жз(ЕЯлР, 6) Х-линейных отображений ЕЯлр в 6. Слвдствик. Пусть Н вЂ” кол~мутативная группа и Ь вЂ” отображение ЕХР в ХХ, удовлетворяюи(ее условиял~ (2) и такое, что Н порождается множестволз Ь(ЕхР). Предположим, что для калсдой коммутативной группы 6 и каждого отображения 1 произведения Е г.
Р в 6, удовлетворяющего условиям (2), существует 7-линейное отображение д группы ХХ в 6 такое, что Х =- доЬ. Тогда существует, и притом единственный, изоморфизм ф группы Е Ял Р на Н такой, что Ь = ~уоО, где 0 означает каноническое отображение Е х Р в Е Ял Р. Согласно предложению 1, существует, и притом единственное, Х линейное отображение ф группы Е Ядр в П такое, что Ь = фпО. С другой стороны, если принять за 6 коммутативную группу Е Ялр, а за Х вЂ” отображение О, то из предположений, сделанных относительно Ь и Н, будет следовать существование Х-линейного отображения ф, группы Н в Е Я 4 Р такого, что О.=~у„ьй. Для завершения доказательства остается показать, что фон, и ф„ьф— тождественные отображения соответственно Н и Е Ялр на себя.
Но так как ф, о ф и 0 = ф, о Ь = О, то фг ь ф есть тождественное отобрая1ение Е Ял Р на себя, поскольку О (Е Х Р) порождает груииу Е Ял Р. Точно так же, фп~р1пЬ='фчО=Ь, и потому фон, есть тождественное отображение ХХ на себя, поскольку Ь(Е х Р), по предположению, порождает Н. Отметим, что, в силу предложения 1, пара (с Ялу, О) является решевием следующей проблемы универсального отобрпженив (Теор. мв., гл. 17, 1 3): род структуры л есть род структуры коммутативвой группы, морфвзмамв являются 2-яивейяые отображения. а а-отобра- 462 пиилогккннв г! к 1'г!Авк 1ы жеяяя зто отображения Р хР в коммутатявкую группу, удовлетворяюлгяе условиям (2).
Таким образом, свойство едвястясквостя, установленное в следствии, есть не что иное, как обигее свойство единстяевности решения проблемы универсального отображения (там же), Пгкдложкник 2. Пусть Е и Е, —. правые А-.чооули, Е и г!в левые Л-лгодули, 6 — яоммутативная группа и !' — Х-нолилинсйпое олгображение Е Х Р Х Е! Х Г! в 6 такое, чтв ((гЬ, у, д„у,) = )(х, Ьу, х„у,), )(х, у, ггпу., у,) =-)(х, у, х„Ьу!) для любых х б Е, л, ч Е„уй Г, у! б Гг и Ь б А. Тогда существует, и притом единственное, Х-билинейное отображение д произведения (Е Згс) Х (Ег Ял г:г) в 6 такое, что г(х, у. х, у) = = д (х 8 у, хг З у!) для любых х б Е, у б Р, хг й Ег.
уг б Ег. Единственность у явствует из того, что элементы вида х ® у (соответственно хЩу!) порождают Е®лр (соответственно ЕгЯлс !). Докажем его сУЩествование. ДлЯ кажДой паРы (х,. У,) б Е, Х Рг существует, и притом единственное, Х-линейное отображение Ь„ группы Ездя" в 6 такое, что Ь„я (х3у) =Т (х, у, хь у,), Отображение (х„у,) — ьЬ, д пронзведенияЕгХРг в Хх(Ефлг",6) Х-билпнейно. и Ьк и, = Ь, г,„дли всех Ьб А. Поэтому существует 7;линейное отображение Ь группы Е,злр! в Хх(ЕЯлр, 6) такое, что Ь (х, 8 у,) = )гк, В силу предложения 1 т г, тогда существует Х-билинейное отображение у произведения (Ефлр) х (Е,3 грг) в 6 такое, что , (хогг, х,(3уг) = (Ьг (х,~!у!)) (хКЯ =- Ьлк гп(г Зу) = У(э' у сг уг) и предложение доказано. о, лензорное произведение двух линеиных оп!обри о!гений Пусть А — кольцо, Е и Е' — правые А-модули, Р и с" — левые А-модули, и: Š—.
Е' и о: à —. Г' †.Л-линейные отобрагкепия. Непосредственная проверка показывает, что отображегпге (х, у) — > . и(х)во(у) произведения ЕХР в Е'Я гР' удовлетворяет условиям (2). Поэтому существует, и притом единственное, 7-линейное отооражоние ги Ез,гР в Е'газ гГ' такое, что ж (.гЯ'.у) =. и (х) Я и (у) (й) 463 шиложкпиь ы к глхю ~п для всех хйЕ, урр. Это отображение обозначается иеоО и называется тензорнмм произведением линейных ольобрахеений и и о.
Если и, и„ие принадлежат Яз(Е, Е') и о, о„о„принадлежат Хз (г, Р"). то, в силу (3), (и,+и,)био=-. (н,фо) —, (и,во), ) иЯ(о, + о,) = (ибсоь) -;-(ибйое). > (4) Пусть Е" — правый А-модуль, У'" — левый А-модуль и и': Е' — + Е", о': Р' — ь Р" — А-линейные отображения. В силу (3), (5) (и' ь и) бй(о' о о) = (и' ® о ) ь (и ® о) Более общим образом, пусть А и А' — два кольца, Š— правый А-модуль, Е' — правый А'-модуль, Р— левый А-модуль и Р' — левый А'-модуль. Пусть, далее, х: А — ьА' — гомоморфизм относительно кольцевых структур, а и: Š— аЕ' н ш Р— ьР'— Х-линейные отображения такие, что и(хЛ) =- и(х) ~р(Л) и о(Лу) = =вр(Л)о(у) для всех хйЕ, уйр, ЛйА.
Отображение (х,у) —. — и(х)®о(у) произведения Екр в Е'<3вр' по-прежнему удовлетворяет условиям (2), пбо, в частности, и(хЛ) ф о(у) =(и(х) <р(Л))во(у) =и(х)Я(ср(Л) о(у)) = и (х)~о(Лу). Поэтому существует, и притом единственное, Х-линейное отображение ш Е®хР в Е'® а Р' такое, что ш(х®у) =и(х)®о(у). Если нет опасности смешения, иногда и это отображение обозначают ифо; очевидно, оно обладает свойствами, аналогичными (4) и (5). З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
