Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Тогда существует, и притом единственный, Х-изоморфпзм ф группы ЕЗАРЗв6 475 ПРИЛОЖЕНИЕ ГГ И ГЛАВК ЫЛ на Н такой, что й=»роО, где О означает каноническое отображе- ние(х, у, г) — »хЗуЗз произведения ЕХГ ХС в ЕЗАЕЗ»6. Построим снова коммутативные группы Н, обладающие указанными свойствами. Поскольку внешние законы структур А-модуля и В-модуля в Р пврестановочны, лгожно (В' 3) канонически определить в ЕЗАР структуру правого В-модуля и, следовательно, образовать группу Н=(ЕЗАр)ЗВС. Пусть Ь вЂ” отображение (х, у, з) (хЗу)Зз произведения ЕХЕХС в Н; оно очеВидным образом удовлетворяет условиям (10), и группа Н порождается множеством й(ЕХРхС). Наконец, пусть» — отображение ЕХЕхС в коммутатнввую группу и, удовлетворяющее условиям (10).
Для каждого з О 6 отображение (х, у) — >г'(х, у, г) удовлетворяет условиям (2), а потому (предложение 1) существует Х-ллы нейное отображение я, группы ЕЗАЕ в Х такое, что д, (хЗу) = =-/(х, у, з), каковы бы ня были хб Е и у бр. Рассмотрим отображение (и, г) — » д. (и) произведения (Е ЗА г ) Х 6 в Е. Имеем я: ч, (и)=д, (и)+у, (и), д.
(и,+и,) =д.(ил)+д,(и,) и (первое и третье из этих соотношений очевидны, когда и имеет вид х З у, и распространяются на общий случай по линейности). Поэтому существует У,-линейное отображение д группы (Е ЗАР) ЗВС в Е такое, что д((хЗ у) З з)=1(х, у, з) для всех хб Е, уб Е, з О С. Аналогичное рассуждение можно провести для Е З А (Р Зв6), так что нами установлено следующее предложение: Пгедложение 10. Существует, и притом единственный, изомор физм Ф: ЕЗАЕ ЗвС»(Е ЗАЕ) ЗВС такой, что р (х З у З з) =- (х З у) З з, и однозначно определенный изоморфивм Ф Е ЗАР ЗВС вЂ” »Е ЗА(Р ЗВС) такой, что»р (х З у З ) = х З (у З з) (»ассоциативность» тепзор- ного произведения).
476 пгиложкник и к главк пз Эти изоморфизмы, а также обратиьто нм нзоморфпзмы и композиции 1роф ' и «ро 1р ' называются канонически.ии. Если, например, Г наделено структурой С-модуля, внешний закон которой перестаповочен с впешпнмп законамн структур А-модуля и В-модуля в Е, то, как в п' 3, устанавливается, что Е ®А Е ®в С канонически наделпчо структурой С-модуля п что предыдущие канонические пзоморфизмы С-линейпы; аналогично, когда Е(соответственно 6) наделено структурой модуля, внешний закон которой перестановочен с внешним законом А-модуля (соответствекно В-модуля) в Е (соответственно 6).
Сказанное выше допускает обобщение на случай л — 1 колец А, (1: 1< п — 1) и и модулей Е,, Ез..., Е„, Предполовснм, что Е, есть правый А,-модуль, ń— левый А„,-модуль и Е, при 1 < 1< п наделено структурамн левого А,,-модуля и правого А,-модуля, внешние законы которых перестановочны, Тогда тензорное произведение Е, ®А, Е ®А,... ®А„«Е„, ®А„«Е„, нли просто Е, ® Е, ®... З Е„, определяется таким образом, что Х-линейные отображения этой группы в коммутативную группу Е взаимно однозначно соответствуют отображениям Е, х Е х... х Е„в Ь, удовлетворяющим условиям, которыо обобщают условия (10) и формулирование которых мы предоставим читател1о.
И здесь имеются изоморфизмы «ассоциативности«, которые читатель определит по приведенному выше образцу. В случае, когда все А, совпадают с одним и тем же коммутатпвным кольцом А, мы вновь получаем тензорное произведение Е, 8 Е 8 ... ® Еги определенное в и' 7 $ 1 (без его структуры А-модуля).
.«0. Изменение основного ноль«1а Пусть А и  — кольца и р — гомоморфпзм А в В, преобразующий единичный эломе1п в единпчльш элемент. Каждый левый (соотвотственно правый) В-модуль Л' может рассматриваться как левый (соответственно правый) А-модуль, если считать а.х=-д(а)х (соответственно х а=хр(а)) для всех хб У и ач А; выполнение аксиом унитарного модуля прн этом очевидно. Каждый гомоморфнзм В-модуля йХ в В-модуль Х будет также гомоморфизмом относительно соответствующих структур А-модуля в йг и 1'«'. пгиложвнив и к ГлАВБ 1<1 477 В частности, В, наделенное структурой правого В-л<одуля (т.
е. структурой Вв), может также рассматриваться как правый А-модултб поэтол<у, если Š— левьш А-модуль, можно ооразовать тензорное произведение В 3лЕ (где подразумевается, что В наделено структурой, определяемой гомоморфизмом о). Так как В наделено также структурой левого В-модуля (структурой Вс), а внешние законы в В, и Ве перестановочны, В®лЕ канонически наделимо структурой левого В-.иодуля (в' 3). Мы говорим, что этот В-модуль получен из Е путем рас>пирет>я кольца скаляров посредством о до В, и обозначаем его Е<з, э1 или просто Е<вв если можно пе опасаться путаницы.
В случае, когда А есть подкольцо центра кольца В, содержащее единичный элемент, а о в каноническая инъекция А в В, мы вновь получаем модуль Е<в>, определенный в в'1 $ 2. Возвращаясь к общему случаю, будем называть Х-линейное отображение ср: х — >1®х модуля Е в В®лЕ=Е<в1 ка>соническим. Для всех а б А и х б Е имеем ср (ах) = 1 ® (ах) = р (а) ® х = д (а) (1 <б> х) = О (а) ср (х), иными словами, ср А-линейно (относительно структуры левого 4-модуля в Е<в» получающейся из его структуры В-модуля, как описано в начале этого в').
Канонический образ «>(Е) модуля Е в Е<в> порождает В-модуль Е<в>. Пггедложвнив 11. Для каждого А-линейного отображе>сия модуля Е в левый В-модуль Р существует, и притом единственное, В-линейное отображение 1 лсодуля Е<в> в Г такое, сто л (х) = >' (1 <3 х) для веет, х а Е, Это доказывается так же, как предложение 2 т2, с использованием предложения 1, установленного в и' 1. Согласно и' 3, для как<дога А-линейного отобр а>вен ив д модуля Е в левый А-модуль Е' отображение я — "-18 а модуля Е<в> в Е;в> В-линейно; при этом, обозначая через <р' каноническое отображение Е' в Е<в>, пс<ееьс у(«>(х))=(1 З д) (1З х) = — -1 ® у(х)=«>'(д(х)) для каждого х б Е, т.
е. ао <р=-<р' О я. Очевидно, д есть единственное В-лпнейное отображение Е<о> в Е<о> такое, что д (1 8 х) =1 З б(х). 478 ПРИЛОЖЕНИЕ П К ГЛАВЕ П1 Пусть теперь С вЂ” кольцо и о — гомоморфизы В в С, преобразующий единичный элемент в единичный элемент. Тогда можно рассматривать, с одной стороны, С-модуль (Е<в э>)ес,в>, а с другой — С-модуль Е~с, в.о>, которые мы будем дли упрощения обозначать (Лев>)ес> и Е<о>. Коммутатпвными группами этих модулей служат соответственно С З в (В К АЕ) и С >3 АЕ.
Но С-модуль С Я в ( В Ех>АЕ) канонически отождествим с С-модулем (С >Е>вВ) Е(улЕ (предложение 10); с другой стороны, С-модуль С б(>в В отождествим с С-модулем С, посредством изоморфизма уф() — « -«уо(р) (предложение 3), и этот иаоморфизм есть также изоморфизм относительно структуры правого А-модуля в С ЗЕВ, определяемой гомоморфизмом о, и структуры правого А-модуля в С, определяемой гомоморфизмом о в р. В итоге мы получаем изоморфизм О С-модуля (Е<в>)<с> на С-модуль Ееен называемый, как п изоыорфизм, обратный ему, каноническим, такой, что 0(у® (р ® х))=(усф)) ® х для всех хбЕ, рб В, уб С. Если >(> н ц' означают соответственно канонические отображения Е в Е~с> и Е<э> в (П<в>)с>, изоморфизм О отождествляет «у'о>р с >)>.
Пусть Š— А-модуль, обладающий базисом (ах)ьеь, и ц — каноническое отображение х — «1 К х этого модуля в Е<в э>, из следствии предложения 5 вытекает, что (еу (ах))> Еь есть базис В-модуля ЕЕв, о>. Для того чтобы ц было инъективныьь необходимо и достаточно, чтобы о было инъективным, ибо «р(~> ехах) =- лч 0(ьх)(1 З ах)- хеь хее Аналогичные определения и свойства получим, отправляясь от правого А-модуля Е. 11. ллрименениет равмерность модул» Пгедложение 12. Пусть А — кольцо и Š— свободный левый А-модуль. Еслиауществуетгомомору>изм, кольца А в тело 1>, переводящий единичный элемент в единичный элемент, то любые два базиса Е над А равномощны.
Действительно, пусть о — гомоыорфизм А в В и еу — каноническое отображение модуля Е в векторное пространство Е>р,э>' как мы видели в п' 10, для каждого базиса (а>) модуля Е (<р(ах)) 479 пгиложении 11 к ГлАВе 1п есть базис в Е<п ой ьгы видим таким обрааом, что если Е обладает конечным базисом над А, то каждый другой базис конечен н состоит из такого же числа элементов (гл. 1), 3 3, теорема 3). Предположим теперь, что Е обладает бесконечным базисом (ах)хеь, и пусть (Ь»)»ем — другой базис этого модуля. Пусть С()ь) для каждого )ьб М вЂ” конечное множество тех Хб Е, для которых компонента Ь» с индексом Х относительно базиса (ах) отлична от нуля, и С=Ц С()х). Имеем Сагй(С)~(Сагй(М) *) »ем (Теор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
