Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 95
Текст из файла (страница 95)
~ (7) Если Е", Р" — левые А-модули и и", Е" — е Е', о'. Г -+ Р"— А-линейные отображения, то Х(пои', ц'оо)=,ь(и', о')оЖ(и, о), (8) Пусть и — эндоморфизм А-модуля Е. Если 1 — то'кдественный автоморфизм модуля Р, то Х (и, 4) есть эндоморфизм 470 ПРИЛОН1ЕНИВ 11 К ГЛАВЕ 1П коммутатпвной группы ХА(Е,Е). При этомдля любых двух эндомоРфизмов им из моДУлЯ Ь', согласно (7) и (8). имеем Х (и1+ им 1) = =:Х(им 1)+ Х(им 1) и Х(и1 о им 1) = Х(им 1) оХ(и„1). Отсюда, в частности, следует, что если  — кольцо и Ь' наделено структурой левого (соответственно правого) В-модуля, внешний закон которого лерестановочен с внешшы1 законом структуры А-модуля в Е, то ЛА(Е, Е) паделимо структурой правого (соответственно, левого) В-модуля, прц которой (соответственно для всех рбВ, 1ЕХА(Е, Е), ЛЬЕ. Точно так жс, если г' наделено структурой левого (соответственно правого) С-модуля, внешний закон которого иерестановочея с внешним законом структуры А-модуля в Е, то ЖА(Е, Е) канонически наделимо структурой левого (соответственно правого) С-модуля, прк которой (у )) (з) = у7 (х) (соответственно (1 "1) (*) = 1' (*) у) дЛя уй С,~6 ЖА(С,Е),хб Е.
Приэтом, ослиХА (Ь', Е) одноврел1енио наделено так структурамн В-модуля и С-модуля, то внешние законы этих двух структур, в силу предыдущих форвгул, перестановочнм. В частности, если à — цеятр кольца А, мы вновь получаем так, двумя различными способами, структуру. Г-модуля в ЖА(Ь', Е), определенную в и' 1 З 2 главы П. Пусть Е' и Е' — левые А-модули, и: Е' — о Е и ш Š— о Е'— А-линейные отображения. Если Е и Е' наделены структурами (скажем, левого) В-модуля, внешние законы которых соответственно перестановочны с внешними законами структур А-модуля, и если и В-линейно, то Ж(и, и) В-линейно. Действительно, если й и Й' означают экдоморфнзмы хшдулей Е и Ь", порожденные одним и тем х е элементом р б В, то, в силу предположения, йоиа.иой' и, значит, Я (и, о) а '~ ()1, 1 Р) = Я (й о и, о) = Х (н а й', о) = Я'(й, 11: ) о Ж (ю, о) ~ где 1Е и 1Р означают соответственно тождественные автоморфизмы модулей Е и Е'.
Так как,У (Ь,1Р) и Х (Ь', 1ю) — эндоморфизмы, 471 пеплохленик и Б Главк !!! порожденные елементоп р соответственно в Хл (Е, Г) и Х л (Е', Г'), то наше утверждение тем саалым доказано. Точно так;ке, если Р и Р' наделены структурами С-модуля, внешние законы которых перестановочны с впешннмн закояами структур А-модуля, и если о С-линейно, то Х(и, о) С-линейно.
Рассглотрилл группу с л (А„Г), где Р— левый А-модуль. Так как правые умножения $ — ь $а являются зпдоморфпзмаыи левого А-модуля А„то, согласно предыдущему, Хл (А„Г) канонически наделимо структурой левого А-модуля такой, что (а!) (ь)=- = ! (ьа) для всех т О 'ел (А„Р) и всех и и $ пз А. Пусть О, для каж- догохб Р— злементиз ол(А„, Р), определяемый формулой 9„(Х) = = Хх. Тогда отображение у ! х — > О„модуля Г в,'с л(А,, Г), называемое каноническим, Л-линейно.
Пгвдложенпв 7. Ианогалчесяое отображение у: х — эО„левого А-модуля Р в Ял(Ае, Р) есть изолюрфизл! А-модуля Р на Л-мгдуль Жл (А„Р); обратным ему !лзоморфизмолс слулсит Ь: Л' —: !'(1). Действительно, Л-линейность Ь непосредственно проверяется; так как очевидно уь Ь и Ь у являются соответственно тождественными отображениями Хл(А,. Г) и Р на себя, то тем самым предложение доказано. Заметим, что если Р наделено, кроме того, структурой В-модуля, внешний закон которого перестановочен с внешним законом структуры А-модуля, то канонический пзоморфизм х — +О„ также В-линеек. Предыдущие свойства являются аналогами свойств Е!Злу, рассмотренных в в'и' 2, 3 и 4; свойства же, рассмотренные в в'и' 5 и 6, имеют своими аналогами свойства ХЛ (Е, Г), доказавяые в в'и' 2, 3 и 4 1 2 главы П.
гу. Два ггаионичесггиж изоморфизма Пусть Š— правый А-модуль, Р— левый А-модуль, 6 — коммутативная группа и лт — коммутативная группа всех отооражений~: Е х Р— э 6, удовлетворяющих условиям (2). Как мы видели (и' 1), существует канонический изоморфизм Н на сх(ЕЯлр,6).
С другой стороны, в Хз (Е, 6) существует канонллческая структура левого А-модуля, а в Хз(Р,6) — каноническая структура 472 ПРИЛОЯ1ЕНИЕ П К ГЛАВК 111 правого А-модуля (и' 7). Поэтому можно рассматривать группы ХА(Е, Хх(Г, 6)) н ХА(Г, Хх(Е, С)). Отображение / произведения Ех Г в С канонически отождествпмо с отображением Ь' в множество С~всехотображенпйГв6(Теор.
мн., Рез., 4 4,п'14); выралкая, что этопоследиееотображениепрпкадлежмит ХА (Е. Хх(Г,6)), получаем как раз условия (2). Телл самым имеем канонический пзоморфизм В па ХА(Е, Хх(Г, 6)). Аналогично определяется канонический изоморфпзм Н на Х,1(Г, Хх(Е, 6)). Эти пзоморфпзмы позволяют отождествлять группы Н, Хх (ЕЯА Г,'6), ХА (Е Хх(Г. 6)): ХА(Г Хх(Ь16)). Предположим теперь, что Е и 6 являются, кроме того, левыми (соответственно правыми) В-модулями и что внешний закон В-модуля,'в Е перестановочен с внешним законом А-модуля. Тогда ЕЗАГ канонически наделимо структурой левого (соответственно правого) В-модуля (сл1.
и' 3), а Хо(Е, 6) канонически наделимо структурой левого А-модуля (и' 7). Поэтому можно рассматривать группы Хс (ЕфАГ, 6) и ХА (Г, ХВ(Е, 6)). Они являются соответственно подгруппалш групп Хх(ЕЯАГ,С) иХА(Г,ХЕ(Е,С)). Разыскивая условие, при котором отображение 1: Е х à — ~6, удовлетворяющее условиям (2), соответствует элементу из ХВ (ЕЯА Г, 6) или элементу из ХА (Е, ХВ (Ь', 6)), в каждом из этих двух случаев иаходвм одно и то же условие 1(Рх, У) =Р1(х, У) ~(х(), у) = Пх, у) й (соответственно тождественно относительно ~ЬВ, хб Е, уЬГ.
Аналогично, предположим, что Г и 6 — левые (соответственно правые) С-модули и что внешний закон С-модуля в Г перестаповочен с внешним законом А-модуля. Тогда для того, чтобы отображение 71 Е Х Г вЂ” э 6, удовлетворяющее условиям (2), соответствовало элементу из Хс(Ь"8,1Г,С) илп элементу пз ХА(Е,Хс(Г,6)), необходимо и достаточно, чтобы 7 удовлетворяло одному и тому же условию 7'(х, УУ) = У1 (х, У) )(х уу)=1(. у)у) (соответственно тождественно относительно уРС, хЬЕ, уЬГ. Таким образом, установлен следующий ре:лультат: 473 гггиложкник гт к ГлАВе ггг Пекдложкппк 8.
а) Пусть д' для каждого уб Хв(ЕЗлР,6) есть отображение Р в Хв (Е, 6)., определяемое требованием, чтобы (у' (у)) (х) = д (хЗ у) оля всех х к Е, у ч Р. Тогда у — э е' есгпь иволсорфивм коммутативной группы Хв (Е Злр, 6) па группу Хл (Г, Хв (Е, 6)) . б) Пусть Ь' для каждого Ьб Хс (ЕЗл Р, 6) есть отображение Е в Жс (Р, 6), определяемое требованиелг, чтобы (Ь' (х)) (у)==Ь(хЗу) для всех хР Е, у Р Р.
Тогда Ь вЂ” Ь' есть ивоморфизль группьь Жс(ЕЗяГ, 6) на группу Хл(Е. Хо(Р, 6)). 9. Ко,илу гпатпивносгпь и ассоииапьивноспгь тпенворного проивееденин Пусть Š— правый и à — левый А-модуль. Р можно рассматривать также как правый Л'-модуль, а Е' — как левый Л'-модуль, где А' — кольцо, противоположное А. Пгкдложкпик 9.
Сущесгпвует, и притом единственный, игомврфигм о коммутативной группы ЕЗлР на коммутативную группу РЗльЕ такой, что о(хЗу)=уЗх для всех хЕ Е и урГ (вкоъа|утатпвностьв тензорного произведения). Действительно, отображение (х, у) — > уЗх произведения К'гср в ГЗль Е удовлетворяет условиям (2), если вспомнить, что произведение Хх (соответственно уХ) при структуре левого (соответственно правого) Аь-модуля в Е (соответственно в Р) есть, по опро делению, произведение хй (соответственно Ху) при структуре правого (соответственно левого) А-модуля в Е (соответственно в Р). Поэтому (предложение 1) мы получаем У-лиггейное отображение о группы ЕЗлР в РЗльЕ' такое, что а(хЗу)=уЗх. Так же определяется Х-линейпое отображение т группы РЗльЕ в ЕЯлГ такое, что т(уЗх)=хЗу, и ясно, что о ы т — взаимно обратные изоморфизмы. Изоморфггзм и и обратный изоморфизм т называются каноническими; в случае, когда Е (соответственно Р) наделено структурой В-модуля (соответственно С-модуля), внешний закон которой перестановочен с внешним законом структуры А-модуля, эти изоморфизмы очевидно являются также изоморфизмами структур В-модуля (соответственно С-модуля), канонически определяемых в ЕЗлР и РЗльЕ (в' 3).
474 ПРИЛОЖЕНИЕ 11 К ГЛАВЕ 1Н «О) Пусть теперь А и  — кольца, Š— правый А-модуль, Р— ком- мутативная группа, наделенная структурами левого А-модуля и правого В-модуля с перестаповочнычи внешнимп законами и 6 — левый В-модуль. Пусть С вЂ” коммутатпвная группа Х1ек" кс1 и  — ее под- группа, порожденная элементамн следующих типов: (х,+х., Г, з) — (х„у, з) — (х„у, ), ') (х, у, —; — ум в) — (х, у„") — (х, у,, з), (х, у, 11д- се) — (х, у, г,) — (х, у, ге), (0) (ХА, У, з) — (х, ),У, "В (' ур ") (' у р) со всевозможными х, х„хэ пз Е, у, у1, у, из Р, г, в„з„пз 6, 1 б А и р Р В. Коммутатпвная группа С(В обозначается ЕЗАРЗв6 или просто ЕЗРЗ6, если это пе может повлечь путаницы. Кано- нический образ (х, у, г) с С в С|Р обозначается хЗУЗ".
Коли д — Х-линейное отображение ЕЗАРЗЕ6 в коммутатив- ную группу Н, то отоораженне (х, у, в) — ь)(х, У, з)=-д(ХЗУЗз) очевидно удовлетворяет условиям / (Х1+ Хм У, 3) = 1 (х1, У, 2) -~; ( (Хе, У, з), 1 (х, у, + ум в) =. 1(х, у„в) + ~ (х. ум с), )(х, у, 11+1,) =)(х, у, в1)-';-/(х, у, ге), 1(х), у, з) = )(х, Ху, г), 1(х, у)А, з) = 1(х, у, пг). Обратно, пусть ~ — отображение ЕхРх6 в Н, удовлетворяю- щее условиям (10); рассуждая тогда, как при доказательстве предложения 1, заключаем, что существует, и притом единст- венное, Х-линейное отображение я группы ЕЗАРЗв6 в Н такое, что /(х, у, )= — д(ХЗУЗг) для всех хРЕ, уРР, гР6. Тем же рассуждением, что и при выводе следствия предложе- ния 1, устанавливается следующее свойство единственности. Пусть Н вЂ” коммутативная группа и 11 — отображение ЕКРК6 в Н, удовлетворяющее условиям (10) п такое, что Ь(ЕхРх6) порождает Н; продположим, что для каждой коммутативной группы Е и каждого отображения 1 произведения ЕХРХ6 в Е, удовлетворяющего условиям (10), существует Х-лннойное ото- брая1ение я группы Н в Е такое, что )= доя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
