Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 98
Текст из файла (страница 98)
С одной стороны, еще у истоков математики мы находим задачи, решающиеся одним умножением или деле. пнем, т. е. вычислением одного из значений функции вида !(э) = аз илз нахождением решения уравнения вида аз = Ь; но зто — типичные задачи лш«ейной алгебры, и их невозможно ни расс>«атривать, ни даже корректно ставить,не «мысля лнкейно>. С другой стороны, не толы<о эти вопросы, но почтя все касающееся уравнений первой степени уже давно отошло в область элементарногопреподавания,когда современное развитие понятий тела, кольца, топологнческого век.
торного пространства и т. д. выявило все значение основных понятий линейной алгебры (например, двойственности); именно тогда был подмечен существенно линейный характер почти всей современной алгебры, одной из отлнчительных черт которой н является зта «лннеаряэация», и линейной алгебре было отведено подобающее ей место. Поэтому проследить историю ее развития с точки зрения, на которой ыы стоим, было бы задачей столь же вак«ной.
сколь и трудной; и кы вынуждены будем ограпнчптьгя здесь замвчаннямз довольно общего характера. Из предыдущего видно, что возникновение линейной алгебры, несомнеэ. яо, было вызвано пуждамн вычислителей-практиков. Так, например, во всех практических руководствах цо арифметике, начиная с египетского папэ. руса Райвда, через Ариабхатту, арабон, Леонардо Пиаапского, неисчислн. мые «вычяслптельные книги» средних веков и эпохи Возрождения и вплоть ло почитаемых в наших начальных школах, важную роль играют более нлз менее ясно высказанные тройное правило и правило ложного положения»); но они, быть может, никогда не были чоы-лнбо иным, как извлечением для нужд практиков из более развитых научных теорий. *) См, 3.
Т г о р ! !«е, СеэсЫсрде бег Е!ешепгаг-Магэешагйц т. 1, 2-е изд., Вег)га — !.Мрз!д (Ч'. бе Сгпугег), 1921, стр. (50 — 155. :)!" 4О4 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ П И ГИ Что касается математиков в собственном смысле, характер их исследоваанй по линейной алгебре является функцией общей структуры их науки. В древнегреческой математике, как она наложена в «Началах» Евклида, были развиты две абстрактные теории лияейного характера, а именно, с одной стороны, теория величин ((П), Книга Ъ", см. Исторический очерк к главе 1Ч «Общей топологии»), с другой — теория целых чисел ((П), Книга ЧП). У вавилонян мы находим методы, значительно более близкие к нашей элементарной алгебре; они умели решать, н притом весьма изящно ((1), стр.
181- 183), системы уравнений первой степени. Тем не менее в течение весьма долго»о времени прогресс линейной алгебры аависит главным образом от прогресса алгебраической техники, н в этом аспекте, чуждом настоящему очерку, его я следовало бы рассматрнватгк так, для сведения линейной системы к уравнению вида аз = Ь достаточно, если речь идет лишь об одном яеизвестном, знать правила (по существу, сформулироваяные уже Диофантом) перенесения членов уравнения из одной его части в другую и приведения подобных членов; имея же дело с несколькими неиавестными, достаточно, сверх того, уметь последовательно исключать их, пока не останется только одно.
Поэтому з руководствах по алгебре вплоть до ХЧП1 века, в том, что относится к первой степени, цель считалась достигнутой, как только изложены зти правила; что же касается системы с одинаковым числом уравяений и неизвестных 1а другие системы и не рассматриваются), левые части которои не являютсн линейно независимыми формами, то неизменно довольствовались беглым замечанием, что это указывает на плохо поставленную задачу. В руководствах Х1Х века и даже некоторых более поздних эта точка зрения сохраняется и прогресс наблюдается лишь в обозначениях, позволив»яих записывать системы к уравнений с и неизвестными, и введении определителей, позволившем давать явные формулы решения этих систем в «общем случае»; этим прогрессом, честь которого принадлежала бы !!ейбницу ((ЧП), стр.
239), если бы оя развил и опубликовал свои идеи по этому поводу, мы обяааны главным обрааом математикам ХЧП1 и начала Х1Х веков. Но нам следует прежде рассмотреть различные идейные течения, гораздо более способствовавшие развитию линейной алгебры в том смысле, как мы ее понимаем, чем изучение систем линейных уравнений. Вдохновленный изучением Аполлония, Ферма (1Ча), даже до Декарта (Ч), приходит к пркяциаам аналитической геометрии, к идее классификации плоских кривых по пх порядку (цдее, которая, становясь постепенно привычной длн всех яатематиков, может считатьсл окончательно усвоенкой к концу ХЧП века) я выдвигает фундаментальный принцип, что уравнеяие первой степени представляет на плоскости прямую, а уравнеяие второй степени — коническое сечение,— принцип, из которого он ораву выводит «весьма красивые» тедствия, относящиеся к геометрическим местам.
В то же время он пред.тагает (!Чб) классификацию задач на задачи определенные, задачи, сводящиеся к уравнению с двумя неизвестными, уравнению с тремн неизвестными я т. д., и добавляет: порвые состоят в определения точки, вторые— .»цнии или плоского места, следу»о»цие — поверхности, и т. д. (...«талая «лдочо состоит е розысяании не одной лик«» то»ки или линии, но целой связан- ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Н ГЛАВАМ П И И! нап с каирасам иаверкнасти; атаиде и еакникатт иространстаеннме места и так те дли исследующих», там же, стр.
186; адесь уже виден зародьпэ и-мерной геометрии). Этот Отрывок. выдвигая принцип размерности е алгебре и алгебраической геометрии, намечает слияние алгебры и геомет рии, целиком согласующееся с современными идеями, хотя, как известно понадобилось более двух веков, прежде чем ояо овладело умами. Все же эти идеи привели скоро к расцвету аналитической геометрив. достигшему всей своей полноты в ХЧП1 веке в трудах Клеро, Эйлера, Крамера, Лагранжа н многих других.
Линейный характер формул преобразования координат на плоскости и в пространстве, который не мог не заметить уже Ферма, отчетливо выступает, например, у Эйлера ((Чрпа, гл, П вЂ” П1, в Арревд„гл. 1Ч), осповывающего на нем классифнкацню плоских крнвых, э татке поверхностей по их порядку (инзарвантнояу именно вследствие линей. ности этих формул); ато Эйлер ((ЧП1а), гл. ХЧП1) вводит также слово ааК»- ийаз» (»родство» ")) для обозначения отношения между кривыми, которые могут быть получены одна иэ другой преобразованием в»ща а'= аа, у'= Ьу (не замечая, однако, ничего геометричеснн инвариантного в этом определении, остающемся связаняым со специальным выбором косрдинатных осей) Несколько позже мы видим Лагранжа (1Ха), посвящающего целын мемуар.
долгое время пользовавшкйся заслуншнной известностью, типично линейным н полилинейным аадачам трехмерной аналитической геометрии. К этому же времени в связи с линейной задачей, состоящей в рааыскапии плоеной кривой, проходящей через заданные точки, оформляется, сначала несколько эмпирическим путем, понятие определителя у Крамера (Х) и Безу (Х1). развитое аатем разлнчнмми авторами, это поннтие с его основнмми свойствами получает окончательный знд у Коти (Х1П) и Якоби (ХЧ1а).
С другой стороны, в то время как мзтематнни проявлялв тенденции~ несколько пренебрежительного отношения к уравнекням первой степени, рт шеяие дифференциальных уравнений представляло, напротив, главную задачу; естестненно, что среди этих уравнений уже очень рано выделили линейны~ уравнения с настоянными нлн переменными коэффициентами и что их изучение способствовало выявлению значения линейности и всего с ней свнзанного. Это заметно уже у Лагранжа (1Хб) н Эйлера (ЧП1б), по крайней мере в том, что касается однородных уравнений; ибо этн авторы не считают нужным сказать, что общее решенне неоднородного ураэненин есть сумма частного решения и общего решения соответствующего одяородного уравнении, н и» делают из этого принципа никакого употребления; отметим также, что.
утверждая, что общее решение однородного линейяого уравнения и-го порядка есть лянейяая номбинацвя и частнмх решеяяй, онн не добавлнют, что этв решения должны быть линейно независимыми, и не делают никаких попыток к выяснению этого последнего понятия; ясность в этн вопросы, кан и в рял других, внесли, по-видимому, лишь лекции Кон»и в Политехнической пиале ((Х!Ч), стр.
573 — 574). Но уже Лагранж(там же) вводит таня»е (працаа. лишь для вычислительных целей и без яанменоваяия) уравнение Ь»(у) =. С *) Э русской литературе — аффянность.— 77ергв. 486 ПОТОРИЧКСКИй ОЧЕРК К 1'ЛАВАМ П К 1П сопряженное к линейному дифференциальному уравнению Ь(д) = О, — типич- ный пример двойственности в силу соотношения »1(«) Лх=- ~ (. (»! Мох.
~з ° справедливого для у и», обращающихся в нуль на ко»щах интервала интегрирования; еще точнее, мы видим здесь, за 30 лет до того, как Гаусс явно определил подстановку, сопряженную к линейной подстановке трех переменных, несомненно периый пример «функционального оператора» Х.«, «сопряженного» к оператору Г„заданного посредством билинейной функции (здесь интеграла гауз ох). В то же время, н снова с Лагранжем (1Хв), линейные подстановки, прежде всего двух и трех переменных, сумелв завоевать арифметику. Ясно, что иножество значений функции Р'(х, у), где х и у принпмают все целые значения, ке изменяется, когда х и у подвергаются произвольной линейной подстановке с целыми коэффициентами и определителем, равным 1; на этом фупдамевгальном замечании Лагранж основывает теорию представления чисел формакк и приведения форм, а Гаусс одним шагом, всю дерзость которого нам стало трудно теперь оценить, выделяег понятия эквивалентности и класса форм (см. Исторический очерк к главе 1); в этой свлзи он улснлег необходимость некоторых элементарньзх принципоз, относящвхсн к линейным подстановкам, е, в частности, вводит понятие транспонированаой, нлн сопряженной под.тановки ((ХНа), стр.
304). Начиная с этого момента арифметическое и алгебраическое исследование квадратичных форм от двух, трех, а позже л перемеваых, тесно связанных с ними билинейных форм, а в более блиакий нам период обобщение этих понятий на бесконечное число переменных образуют, вплоть до нашего времени, один из наиболее плодотворных источников прогресса линейной алгебры (см. Исторический очерк к главе (Х). Но, что явллется, быть может, еще более репгнтельвым прогрессом, в тех же «Исследованиях» (см. Исторический очерк к главе 1) Гаусс создает теорию конечных коммутативных групп, встречающихся там в четырех различных аидах, а именно: адднтивной группы целых чнсел по (целому) модулю»в, культипликативпой группы чисел, взаимно простых с л», по модулю л», группы классов бинарных квадратичных форм и, наконец, мультвплвкатнввой группы корней э»-й степени из единицы; причем, как мы уже отмечали, Гаусс явно трактует все эти группы как коммутатнвные гру«шы, нли, лучше скааать, модули над Х, изучает их строение, нх отношения изоморфизма и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
