Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 100
Текст из файла (страница 100)
В противоположность тому, что имеет место для алгебр вад полем вевдествевных чисел, здесь не яужво отказываться 490 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 11 И 111 нв от каких характерных свойств ком»»утатнвных тел; этим н ограничиваются э течение всего Х1Х века. Но линейные свойства, например разыскание базиса целых чисел поля (необходимое для общего определения дискримннанта), играют во многих вопросах существенну»о роль, и, во всяком случае, у Дедь кинда, методы принимают типично «гиперкомплексную> окраску; при этом сам Дедекиид, не ставя перед собой н общем виде проблему алгебр, осознает этот характер своих работ иго, что роднит их, например, с результатами Вейерштрасса, относнщвмнся к гиперкомплексным системам над полем вещественных чисел ((ХХ!Ч), в частности том 2, стр.
1). В то же время определение строения мультипликативной группы единиц поти алгебравческих чисел, осуществленное в знаменитых сообщениях Днрнхле (ХЧ) и почти одновременно также Эрмитом, оказалось в высшей степени подходящим для прояснения представлений о модулях вад З, их системах образующих и их базисах, когда последние существу»от. Затем попнтие идеала, определенное Дедекиндом в полнх алгебраических чисел (как модули над кольцом целых чисел воля), в то время как эквивалентное понятие в кольцах полиномов (под наименованием «систем модулей») вводит Кронекер, дает первые примеры модулей иад кольцами более общими, чем Е;и теми же авторамн, а затем Гильбертом постепенно на частных случаях выкристаллнзовываетсн понятие группы с операторами с возможностью всегда построить, исходя из такой группы, модуль над надлежаще определенным кольцом.
В то же время арифметико-алгебранческое исследование квадратичных я билинейных форм и их «нрнведеввя> (или, что то же самое, матриц и их «ннвариантов>) приводит и открытию общих принципов решения систем линейных уравнений, принципов, которые из-за отсутствия понятии ранга ускользнули от Якоби *). Задачу ре»пения системы линейных уравнений с целыми коэффициентами в целых числах рассматривает и разрешает сначала е частном случае Эрмит в затем во всей общности Смит (ХХЧ); результаты последнего вновь получает лишь в 1878 г. Фробениус, в рамках обширной программы исследований, намеченной Кронекером, в которой принимает участие также Вейерштрасс; лишь попутно, в ходе этой работы, Кронекер придает окончательный вид теоремам о лннейяых системах с вещественными (нли комплексными) коэффициентами, излагаемым также в одном маловзвестном руководстве, с характерноа длн него скрупулезной аккуратностью, знаменитым автором «Алисы в стране чудес»; Кронекер же не снисходит до публикации этих результатов, оставляя это своим коллегам и ученикам; само слово «ранг» ввел лишь Фробениус.
В своих лекциях в Берлинском университете Кронекер (ХХЧ1) н Вейер«втрасс вводят также «аксиоматическое» определение определителя (как эвакопеременной полилинейпой функции п вектороэ л-»«ериого пространства, нормированной так, чтобы для единичной матрицы она принимала значение 1); оно равносильно определению, получающемуся *) О класснфнкацив систем л уравнений си неизвестными, определитель которых равен иул»о, оя говорит ((ХЧ!а), стр. 370): «рап11о рго11хшп тгйе«ог пейоИшв> (ее разъяснение пе было бы кратким). ИОГОРИЧЕГИИЙ ОЧЕРК К ГНЛВАЫ П И ЗИ 491 нз грассмановского исчисления, равно как и принятому е настоящем трактате; в своих лекциях Кронекер, пе ощущая нужды в наименовании н в форме еще не внутренней, вводит тензорное произведение пространств н «кроненеровское» произведеняе матриц (линейную подстановку, индуцированную в тензорном проиаведеннн заданными линейными подстановкаын в его сомножителях).
Этн изыскания не следовало бы также отделять от теории инвариантов, созданной Кзлн, Зрмитом и Снльвестром («ннварнаитнвистской троицей», как говорил позже в своих письмах Зрмнт) н являющейся с современной точки ареиия прежде всего теорией представлений линейной группы. Здесь появляется, в качестве алгебраического эквивалента двойственности в проективной геометрии, различение между сериями когреднентных и контр агредиентных переменных, т. е. между векторами пространства и векторамн сопряженного пространства; и тогда как раньше внимание обращалось в первую очередь на формы низких, а затем и произвольных степеней от двух и трех перемен нмх, теперь ке мешкая переходят к рассмотрению билинейных форм, а затем и полилинейных форм от нескольких серий «когредиентных» или «контрагредиентных» переменных, что равносильно введению тензоров; это осознается и становится общим достоянием, когда в 1900 г.
под влиянием теории инвариантов Риччи н Леви-Чивита вводят в дифференциальную геометрию «тензорное исчисление» (ХХЪ'П1), приобретшее позже большую известность благодари его использованию физикамн-«релятнвистамн». Уже прогрессирующее взаимопроникновение теории инварнантов, дифференциальной геометрии к теории уравнений с частнымн производнымн (особенно так называемой пробломы Пфаффа и ее обобщений) постепенно приводит геометров сначала к рассмотрению знакопеременных билинейных дифференциальных форм, в частности «билинейного коварианта» формы первой степени (введенного в 1В70 г.
Лишпнцем и затем изучепиого Фробеннусом), а в завершение к созданию Э. Картавом (Х Х1Х) н Пуанкаре (ХХХ) исчисления внешних дифференциальных форм. Пуанкаре вводит нх, имея е виду образованна интегральных иквариантов, как выражения, фигурирующие в кратных интегралах, тогда как Картан, несомненно руководствуясь своимн исследованиями по алгебрам, вводит их более формальным способом. ио также не упуская заметить, что алгебраическая часть его исчисления тождественна с грассмапавским внешянм умножением (откуда и принятое им наименование указанных форм), н тем самым окончательно определяя истинное место творения Грассмана.
Перевод вневзннх дифференциальных форм на язык тензорного исчисления непосредственно обивруживает прн этом нх связь с антисимнетрнческими тензорами, что, если оставаться на чисто алгебраической точке зрения, показывает, что оии так же относятся к знакопеременным полилннейным формам,как ковариантные тензары — к произвольным полилинейным формам; эта сторона дела еще более проясняется современной теорией представлений линейной группы; ею обнаруживается, например, существенная тождественность определения определителей, данного Вейерштрассом н Кронекером, н определения, вытекающего нз грассмановского исчисления.
Мы подходим так к современному периоду, когда аксиоматический метод и яонятне структуры (вначале только чувствуемое, определенное же лвзпь 492 кстОРическии ОчеРН к Гллвлм и и гг! совсем недавно) позволяют рааделнть понятая, до того безнадежно перепл». генные, формулировать то, что было неотчетливым или неосознанным, и дока зать в присущей им общности теоремы, которые были известны лишь длн частных случаев. Пенно, один нз создателей аксиоматического метода и также один из первых математннов, оценивших значение твореяия Грассманз, дает в 1888 г. ((ХХЧП), гл. 1Х) аксиоматическое определение векторных пространств (конечной или бесконечной раамерности) над полем вещественяых чисел и, с вполне современным обозначением,— линейных отображений одного такого пространства в другое; несколько позже Пиккерле нытаетсв развить применения так понимаемой линейной алгебры к теории функций, правда, в направлении, оказавшемся мало плодотворным; все же его точка зрения позволяет ему усмотреть в «лагранжевском сопряженном» частный случай сопряженного линейного отобран»ения — то, что вскоре еще более выявляется, притом не только для обыкновенных дифференциальных уравнений, но также для уравнений в частных производных, по мере выхода памятных работ Гильберта и его школы по гнльбертовым пространствам и их примененинм к анализу.
В связи с атнми последними исследованиями Теплиц (ХХХ1), тоже вводя (но посредством координат) наиболее общее векторное 1»ространство над полем вещественных чисел, делает фундаментальное замечание, что для доказательства основных теореы линейной алгебры не нужна теория определителей, что позволяет без труда распространить их на пространства бесконечной размерностн; он отмечает также, что так понимаемая линейная алгебра естественно применима при любом основном поле. С другой стороны, с введением Банахом в 1922 г.
пространств, носящих теперь его имя»), встретились, правда в проблеме столь же топологической, сколь и алгебраической, пространства, не изоморфные своему сопряженному. Уже между конечномерным векторным пространством и его сопряженным нет «канонического» изоморфизма, т. е. определяемого его струнтурой, что давно нашло свое отражение в различении когредиентного н контрагредиентного. Тем не менее представляется несомненным. что различение пространства от его сопряженного окончательно утвердилось лишь после работ Банахз и его школы; в »тих же работах была обнаружена важность понятия факторраамерности.
Что касается двойственности, или»ортогональности», между векторными подпространствами пространства и его сопряженного, то спо соб, которым ее формулируют ныне, представляет не только внешнюю аналогию с современной формулировкой основной теоремы теории Галуа (см. гл. Ч) или с понтрягинской двойственностью локально компактных коммутативных групп; последняя восходкт к Веберу, который в 1886 г. в связи с ариф метическими исследованиями заложил ее основы для конечных групп; »двойственность» между подгруппами и подполами в теории Галуа выявляется Дедекиндом и Гильбертом; а ортогональность векторных подпространств. очевидно, имеет своим нсточннком прежде всего двойственность линейных *) А именно полных нормированных векторных пространств над полем вещественных нлн комплексных чисел.
истОРичкский Очыгн к главам г! и !!! многообразий в проективной геометрии, а также понятие и свойства ортогональных многообразий в евклндовом нли гильбертовом пространстве (откуда и ее наименование). В наше время все эти нити сплетаются воедино в руках таких алгебраистов, как Э.
Нетер, Артин и Хассе, и таких топологов, как Понтрягин и Уитни (не без взаимных влияннй, оказаннмх одними на других), н каждая из этих областей приобретает законченный вид, резучьтаты чего излол!сны в настоящем трактате. В то же время производится критическая проверка, имеющая своев целью исключить в каждом пункте предположения, не являющиесядействительно необходимыми н особенно те, которые преграждали бы путь зем кли нным приложениям. Так подмечают возможность заменить в понятии векторного пространства тела кольцами и, создав общее понятие модуля, рассматривать сразу эти пространства, коммутатнвные группы, модули спецяального вида, уже исследовавшиеся Кронекером, Вейерштрассом, Дедекиндом, Штейницем, и даже группы с операторами и применять ко всем из!, например, теорему Жордаиа — Гельдера; в то же время посредством различения правых и левых модулей осуществляется переход к некоммутативному случаю, к чему вело современное развитие теории алгебр американской (Веддерборн, Диксон) и, особенно, немецкой (Э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
