Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 97
Текст из файла (страница 97)
мн., гл, П1, 3 6, следствие 4 теоремы 2); по так как Ь„для каждого )ь р М принадлежит подмодулю в Е, порожденному теми ах,, для которых Хб С, откуда следует, что С= — Е, то Пагй (Е) < Сагй (М); так яге устанавливается, что Сагй (М) сь Сагй (Е), и предложение доказано. Заметим, что вторая часть этого доказательства имеет силу независимо от каких бы то пи было предположений о кольце А. В случае, когда А удовлетворяет условиям предложения 12, кардинальное число произвольного базиса свободного А-модуля Е называется также размерностью Е и обозначается йгпгл Е илн й)нгЕ.
3 а м е ч а н и н. 1) В случае, когда Л вЂ” тело иЕ обладает конечным базисом, предыдущее определение совпадает с данным в н' 2 $3 главы П, 2) Условия предложения 12 выполнены, в частности, для каждого соммуегатиеггоге кольца А (с единицей), ибо, в силу теоремы Круля (гл. 1, 1 8, теорема 2), существует гомоморфизм кольца Л на поле (гл. 1, 1 3, теорема 2); в случае, когда Е обладает конечным базисом, мы так другим способом вновь получаем следствие 2 теоремы 2 1 5. 3) Большинство свойств конечномерных векторных пространств уже пе распространяетсн на конечномерные А-модули пад коммутативным кольцом А. Налример, идеал в А не обязательно обладает базисом (см. главу П, 1 1, п' 8, замечание 1 после определении 8, и главу НП, 1 1, упражнения 1 и 12); подмодульр свободного модули Е может быть свободным, отличным отРи иметь туже размерность, что и Е, как показывает пример главных идеалов в А; тот же пример (в случае, когда Л есть кольцо целостности) показывает, чго *) Багз (Е) означает мощность (кардкнальное число) множеглва Е.— Перев.
~80 пгиложение 11 к Главе 1п свободный подмодуль свободного А-модуля не обязательно обладает дополнением. У п Р аж н е и и я, () Пусть Š— правый А-модуль и р — левый А-модуль. Пусть, далее, 1 — функция, определенная на множестве с всех конечных последовательностей Их„у,), (х, у,) (, „у П (п проиавольно) алементов из Е Х Р, со значениями в множестве С, такая, что 1'1Ихаау,), ", (*а уа))=1Их,(1) уаы)) " (х,г.) Уа(а))) для каждой подстановки а б аха; 1Иха а ха ча) . (хаа уа)) =1 Ига уа) (ха уа) . ("'а уа)): 3' 1И а Уа+Уа) ' (ха Уа))=1Ихы Уа) (ха Уа) (ха Уай' 4'1И Ь, уа)," (, у„))=1И а, Ьу),, (', уа)) Покааать, что существует, и притом единственное, отображение у группы е (а)ар в с такое, что 1Иха, у ), ..., (х, у ))=У(~~ (хг® у )).
а=1 ]заметить, что если ~~~ (хз®уз)=~ч~ (х,'Яу,'), то разность ~ ~(хз, уз)— с,~ — ~~ (х', у,') в модуле Хгеаг) есть линейная комбинация с целыми коэффициентами элементов одного из типов (().] 2) а) Пусть Š— коммутативная группа, наделенная структурами правого и левого векторных пространств над полем К, внешние законы ноторых перестановочны. Предположим, кроме того, что размерности Е как правого и левого векторных пространств над К обе равны одному и тому же нонечному числу а.
Показать, что в Е СущЕСтауст СЕМЕйетаа (аа)1<, „ЭЛЕМЕНТОВ, яВЛяЮщЕЕСя баЗИСОМ Е для каждой из этих двух структур венторного пространства над К. (Заметить, что если (Ь,), ,< — семейство т <; а элементов из Е, свободное при каждой из двух структур векторного пространства в Е, и У вЂ” правое, а Иг — левое векторные подпространства, пороакдениые элементами Ьр то либо У+И' чь Е, либо У,') СИ' и РУ 1) СУ не пусты; в этом последнем случае показать, что у+а, где у б УГ] СИ' и з б И' Д С)', образует вместе с алементами Ьг семейство го + ( элементов, свободное при каждой из двух структур векторного пространства в Е.] б) Пусть Р— коммутативная подгруппа в Е, являющаяся его векторным подпросгранством при каждой из двух структур векторного пространства в Е и такая, что обе индуцироваиные структуры векторного пространства в Р обладают одинаковой размерностью р < а (см.
упражнение Зб). Показать, что существует семейство (аг)1 1<„ а элементов из Е, являющееся базисом для каждой из двух структур ПРИЛОЖПНИБ 11 К ГЛАВК 1П векторного пространства в Е, первые р элементов которого образуют базис для двух структур векторного пространства в У. )1от же метод.) в) Пусть (51)1 1 — семейство п — 1 элементов из Е, свобод- 1 1<1<э-1 кое при каждой иэ двух структур векторного пространства з Е. Пусть, далее, у' — левая и И' — правая гиперплоскости, порожденные этим семейством. Показать, что если р (: И' (соответственно И'С р), то у=И'. (Испольауя соотношение у' Г И', показать, что если а Ч И', то множество тех Ь р К, для которых Ха б И~, есть идеал,! "3) а) Пусть К=Кз(Х)' — поле рацнояальных дробей над полем К„(гл.
1Ч, 4 3). В К определены: 1' струнтура левого векторного пространства над К, в которой произведением 1 и элемента и р К на оператор 1 5 к янляется рациональная дробь 1(х) и(х); 2' структура правого векторного пространства над К, в которой произведением и 1 элемента и б К на оператор 1 б К является рациональная дробь и(Х) 1(Х'). Показать, что внешние законы атих двух структур перестановочны, структура левого векторного пространства имеет размерность 1, а структура правого векторного пространства — раамерность 2. Получить отсюда примеры коммутативных групп Е, наделенных структурами левого и правого векторных пространств над К, внешние ааконы которых перестановочны, а размерностями яэляютс» произвольные целые числа.
б) Получить иа а) пример коммутативной группы Е, наделенной структурами левого и правого векторных пространств над К, внешние законы которых перестаковочны и которые имегот одинакоаую конечную раамерность, ко при этом Е содержит подгруппу Е, устойчивую относительно обоих внешних законов на Е и такую,что две индуцированные в Е структуры векторного пространства имеют различные размерности., 4) Пусть К вЂ” тело, 1, — его подтело, Кь — тело К, рассматриваемое как правое векторное пространство надЬ, и Е=,у;ь (К1)— кольцо зндоморфизмов этого векторного пространства.
Вследствие того, что левые умножения определяют в К структуру левого векторного пространства над К, внешний закон которого перестановочен с внешним законом пространства Кю Е оказывается канонически наделимым структурами левого и правого векторных пространств над К, внешние законы которых порестановочны (в' 7; см. главу 11, Ь 5, в' 5 и упражнение 4).
Сопряженное (К1,)" к К1. содержится в Е; зто — правое векторное подпростраиство над К и левое векторное подпространство над Ь (относительно структуры, получающейся путем сужения тела скаляров К структуры левого векторного пространства в Е до Ь). В случае, когда Ь содержится в центре тела К, структуры векторного Ь-простраяства в Е, получающиеся путем сужения до Ь тела сналяров двух структур векторного К-пространства з Е, совпадают. П. Бурбаки ЦГИЛОЖЕНЕЕ 11 К ГЛАВЕ 1Н Далее предполагается, что Ь содержится в центре тела К, а раз мерность Кь конечна и равна и. а) Показатге что (Кь)» имеет размерность 1 при структуре правого векторного пространства над К. [Заметить, что (Кь)» имеет размерность и при структуре векторного пространства над Ь.) б) Вывести, что в этом случае Е есть а-мерное правое векторное пространство над К.
[Показать, что если (аз) — базис пространства Кз, относительно Ь и и„ вЂ” ненулевая линейная форма на Кю то элементы ази» образуют в Е базис для структуры правого векторного пространства над К.! в) Пусть Р— правое векторное пространство кояечной размерности над К и Рь — векторное пространство над Ь, получающееся путем сужения его тела скаляров до Е. Показать, что если и, — ненулевая лянейнаа форма па Кю то отображение х' —.
иэ х' пространства Р*, сопряженного к Р (рассматриваемого как векторное пространство над Е), на пространство (Рь)», сопряжеяное к Рь, является изоморфиэмом Р» на (Рз,)». [При доказательстве инъективности этого отображения использовать а).[ 5) Пусть К вЂ” тело конечного ранга над своим центром Е и Е— подтело этого тела, содержащее Я. а) Показать, что структурм левого н правого векторных пространств в К относительно Е имеют одинаковую размерность. б) Показать, что свойства а), б) н в) из упраязиения 4 еще сохраняются в этом случае.
[Заметить, что если и» вЂ” ненулевая линейная форма на Хх и и» вЂ” ненулевая линейная форма на Кю то (и»» и») ).= .=и, (а» Х) описывает (Кх)», когда Х опнсьзвает К, и воспользоваться упражнением 4в.) 6) Пусть А — кольцо, à — его центр, Š— правый А-модуль, Р— левый А-модуль, а Е» и Р» — их сопрязкенные модули. Отображение ) модуля Е» Я„Р» в А называется двояко»им»длин, если 1(аю)= = аг(ю) я [(юэ) = )(ю) а для всех юбЕ»6)гР» и а бА. Показать, что существует, и притом единственное, Г-линейное отображение ф модуля.Е ®1Р в Гмодуль Е всех двояко линейных отображений Е» ® Р* в А такое, что (ф (х 8 у)) (х' Ку') =-(х', х> (у. у'Ъ. При этом, если каждый из А-модулей Е и Р обладает конечныы базв- сом, то ф есть бнекцня,Е 6)1 Р на Е. историчкский очкрк К ГЛАВАМ 11 и 1П (Римские цнфры относятся к библиографии, помешанной з конке настоящего очерка.) Линейная алгебра является одновременно и одной из древнейших, я одной из новейших отраслей математики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
