Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 91
Текст из файла (страница 91)
ность, что и р; поэтому ( — 1) =( — 1) -( — 1) Каждое линейное отображение с модуля )> Е з модуль С может и р быть записано з виде и=- ~~> ср, где Рр — сужение и на >Л Е (О""р©г): >~=о положим пи= ~~ ( — 1)ги„; ч есть оператор на множестзе.~(Ле, с), 1 =-О имеющий сзонм квадратом нейтральный оператор.
При этих согла>пениях из предыдущего и формулы (13) вытекает, что отображение. сопрязсенное к каяоническому пзоморфизму ф, задается формулой 11р — Чп 11р с!ПЛПЛПссВЙНАЯ АЛГ!.ВРА ГЛ сп, Наконец, имеет место следующее предложение: (1свдлонскянв 5. Пусть и — авпгоморфизм моду,т Е и и — его каноническое продолжение на Д Е. Автоморфизм. котпрагредиеитный к и, задастея формулой и = (с(ЕС и) ' - ср о и о ср (30) 11редположим сначала лишь чтс! и есть шсдоморфизм модуля Е.' и применим формулу (18) с заменой х' и-вектороь! е; по определению определителя, иьсеем 'и (е') = (с)еС 'и) е' = (с1оС и) е' (% (с, предложение 4); это показывает, что (с(е1 и) ср (х) =- и (ср (и (х))).
или (йеС и) ср = 'и оср о и. (31) откуда п следует (30), когда и — автоморфпзм. 3 а меч а н и е. В случае, когда !с= Йе1и обратим, на (61) выте— ! кает, что о= а сср! 'и„, оса! есть эндоморфнзм модуля Е такой, что и о и — тождественное отображение Ь' на себя. С другой стороны. заменяя в (22) л на е, получаем для каждого андоморфнзма и модуля Е формулу, аналогичную (31)! — ! (с(ес и) ср=и ср си.
откуда вытекает (в предиоложенлн обратимости а), что и о а также есть тождественное отобрюкенне Е на себя н, следовательно, и является автоморфизмом модуля Е. Иными словами, стим способом получаетсл новое доказательство теоремы 2 1 6, равно как н выражение для обратной матрицы через транснонаровалную к взаимной матрице (1 6, я' 5).
у. Исггго.ггсввание внуссгугеннизс пгроивведений над вегсгггогзнаиии ггугасгнтзансгггвами ((ранее внутреннее произведение х С- х допускает простое нстолконанпе в случае, когда Е сеть векторное пространен во пад полем С, а х — ненулевой разлвжимьсй р-вектор. Действ!стелт!о, пусть У вЂ” р-мерное надпространство в Е, определяемое р-вектором х (й 7, и' 3); как мы видели (~ч 5, и' Э), векторное пространство Д (с канонически отождсствимо с подпространством про- цвоиствк!и!Ость пля енвшнки Алгкеры стравства >! Е, порожденным единичным элементом из Е и г-векторами у, >! ...
Л у„где г изменяется от 1 до и, а у; пробегают У. Тогда сужение на Д У произвольной линейной формы "' с >! Е*, определенной па >1Е, есть линейная форма на Д!, и каждая линейная форма на Д У может быть получена таким способом (гл, 11, з 4, предложение 5). Теперь. илгеет место следующее предложение: Пгвдложвнпв 6. Пусть Š— векторное пространство конечной размерности и, х — ненулевой разложимый р-вектор над Е и У вЂ” определяемое им в Е р-лгерное надпространство. Для каждой определенной на >1 Е линейной формь> х' внутреннее произведение х ! х' есть элемент подпространсгпва /~У пространства /~Е; при эпю.н суэ>гение на Д У линейной формьг х' соответствует элементу х ! х' при каноническом изоморфизлге /~ У на >т Уь р (и' 5) относительно базиса х пространства /~ У. Действительно, выберем в Е базис (е!) такой, что х=-.е, д ...
д е; достаточно доказать справедливость предложения для х' =.ен (где Н вЂ” произвольное подмножество интервала !1, и1); но, так как х=-=ее, где А=11, р1, она непосредственно следует из формул (21) и формулы (24), примененных к векторномт пространству Слвдствпв 1. >(ля того чтобы сужение линейной формы х' на /~ 1' было тождественно нулевым, необходимо и достаточно, ч>пабы х г х'= О. Согласно (29), эквивалентным условиеы является гу(х)Лх'=-О. Следствие 2. Пусть х — ненулевой разложимый р-вектор над Е, !' — определяемое им в Е р-лгерное подпространс>пво, х'— ненулевая разложимая д-форма на Е, И" — определяемое ею в Е* д-мерное подпространство и И' — (и — д)-лгерное надпространство в Е, ортогональное кИ'.
Тогда х! х' при о< р естьразложимь!й , 'р — д)-вектор, равный нулю, если Йпг (Уп И) ) р — д, и определяю- и>ий подпространство УПРУ в противном с.гучае. Действительно, пусть П= УП И', и предположим, что г-ыерно; в таком случае всегда можно предполагать, что е„..., е, зо н кура а 1К!ЛИЛИНКЙНАЯ АЛГКБРА гл. !п,)8 образуют его базис, а ер„,..., е„,„,— базис дополнения к П относительно И', тогда х' есть скалярное кратное ея, где Š— объе!!нпенне интервалов (г+1, р) и [р+п — д — г-'1, п~, и справедливость утверждения следствия вытекает пз формул (21). Аналогичные предложения имеют место, если поменять ролямп Е и Е* и заменить правое внутреннее пронзведенио левым. Сформулировать их мы вообще предоставим читателю; частный случай аналога следствия 2 предложения 6, относящийся к произведению х ~ е'=!Р(х), где х — разложпмый р-вектор, дает следующее предлол!еиие: П1'кдлон!вник 7.
Пусть Š— векторное пространство конечной размерности и; если х — ненулевойразложимл!йр-вектор надЕ, !по !р (х) — ненулевая разложимая (п — р)-форма; если Р— надпространство в Е, определяемое зтим р-вектором х (3 7, п' 3), то подпространством в Е*, определяемым, еу(х), является надпространство, ортогональное к Слкдствик. Каждый (п — 1)-вектор над и-мерным векторным пространством Е разложим, Достаточно применить предложение 7, поменяв в нем ролями Е и Е* и приняв р — 1 (см.
упражнение 7). Луста Š— (к+1)-мерное векторное простраыство иад полем К, Рт! Ее — сопряженное пространство, Š— пространство /!( Е и У'— п — р простраыство Д Е"; каноническое отображение !у пространства Е и+1 пар' (отыоснтельыо бааиса е' в 7! Е") дает ыри факторизации проектнзку!о быекцию еу пространства Р(Е) на Р(Е'), которая, на основании ! сказанного вы' 5, не зависит от выбора базиса е' в 7!(Еи и называется канонической. Ее сужение ыа грассмаывап Е „(Е) (17) является!бнекцней на ба р (Е*), отыосящей каждому р-мерному проеытивному линей-! иону мыогообразню п(У) из Р(Е) (гл. 11, Лриложеыве П1, а' 3) (и — р — 1)-мерное проективное линейное многообразие й (Уе) в Р (Е*), где уе означает подпространство пространства Е*, ортогональное к 1е (предложение 7).
диойсткынпость длн нпкшнкй ллгкк ы 451 У и р а ж н е н и я. 1) Пусть Š— модуль, обладюощий копеч нкм базисом, состоящим из «элементов, х — и-вектор пад Е и .с'— (И+о)-форьга на Е; х канонически отождестаны (! 5, предложение б! ~ результатом их, антпсимметриролзннл контраварнзптшмо тензора х, И-го порядка, а х' — с антнсимлютрироэанным конзрнаптным тензором (Иг-г!)-го норидка. Показать. что если в смегпапноы тензоре х,х' ллл каждого (; такого, что 1:. ! .
и, свернуть й-й контраннрншпный индекс с (и-ел)-м ковариантньпг, то полученный так коварпантный тензор д-то порядка также будет антпсимметрированным, и притом канонически ото>кдествимым с д-форьго1! х ' х'. 2) Пусть х=х, д... Г( х„— разложимый и-вектор над копсчномерныи векторным простра1гст!пш Е, являющийся внешним произведением р линейно независимых векторов хб пусть, далее, у'— с-форты (о: ' «) и -' — произвольный алемент из /г Е". !!оказатго что '' — (у /!=!=- йи,л!'и и>(л(-з1* , С' и где П пробегает множество вгел подмножеспг интервала 11, ! ), состои щнх нз З элементов, а Е означает дополнение к Н относительно (!., и).
(Взять в Г базис, и элементамп которого служат х; .! 3) Пусть Г, — ковечномерное векторное пространство и х— произвольный элемент пространства /! и. Множество г"' тет линейсыз форм у' яа и, для которых элемент х ! у' пространства Д ! равен нулю, образует в и" подпространство. Показать, что подпространство !' в !', ортогональное к !', есть нанмсныпее нз подпрострэнств !у прострзпгтва Г., для которых х прннадлегкнт /!! 11'. б) Пусть Е -- модуль, обладающий конечпылг базисом. состоящим нз «элемонтов, Обра~а«ьь««ро«ззедс«иглг х тг д элементов .г н у пз /!г Е относительно базиса с модуля /т Е казываотсн э.н мент — ! ~! (Ч (х) Л й (у)) где ~(-. изоморфизм, соответству|ощпй базису с.
Это произведение определено лишь с точностью до обратимого множи. тела, зависящего от выбранного базиса с. Показать, что если х - р-вектор н ч — д-вектор, то нрн ид д:: л будем иметь х)(у - О, в противном в,"е глучас х (г!! есть (ит у — «)-вектор такой, что в т/ х —.. (- !)'ь '! ш '! х (/ у. Обратяое произведение ассоциативно и дистрпбутнвно относительно сложения н определяет в /~ )( злге.
браичесную структуру, изоморфпую структуре внешней алгсбры. Выразить компоненты х (( у через компоненты х и у. 5) Пусть Š— л-мерное векторное нростраиство, х — разложимый д-вектор, у — разложимый д-вектор и у (соответственно ру) — подпространстно в Е, определяемое !г-вектором х (соответствеино д-век- 29' полилинкииля ллгнгн л гл.ш. 18 тором у).
Длн того чтобы 1-( 1Р=Е, необходимо н достаточно, чтобы хЧу чь 0; тогда (р-(-д — а)-вектор х т у разложим к определяет векторное надпространство З'Г))Р. *б) Для того чтобы р-вектор т нал е-мерным векторным простран. ством Е был разложнмым, необходимо к достаточно, чтобы з )г (з г1 х) = О для каждого реален<иного (л — р — 1)-вектора х. (Для установ- ленин достаточности условия пряменкть его, взяв в качестве х внеш- ние нроизведоння и — р — 1 векторов базиса, и вывести существо- вание л — р линейно независимых линейных форм и,' (1 ~~ 1 ( и — р) яа Е таких, что гр(з) /1 и(=О ) 7) а) Дать прямое доназательство (без использования нзоморфиз- мов ф„) разложкмостн каждого (л — 1)-вектора над и-мерным вектор- ным пространством.
б) Пусть А — коммутативная алгебра пад полем Х, обладающая базисом, образованным единичным элементом 1 н тремя злементамя с,, с„аз, все попарные произведения которых равны нулю. Пусть, далее, Š— А-модуль Л' и (ег)резца — его канонический базис. Пока- зать, что бивектор *= с, (ез гЧ ез)+се (ез Л ег)+се(е, Л е ) нераэложим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
