Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Ьп)и ', 1 1 =(х — аг) (х" — ав) ... (х — аи), Х а, ав" ° лиг ав х ав аи 1 а, а, Х " аи-1 а а Лз 1 В ав ав аз ". ° аи дог азать что определитель йев(р11) (и — 1)-го порядка равен а„п„... п„,й. 3) докаватвь тождество Хг Ув овв ° ° ° пгп )гвхв хв ов, ... авп пвхз Уз ° ° Пзп = Ноз!ИЛИННЙНАЯ АЛГГБРА гл. Ид ) б х а! ае ...
а„ а! х аз ... а„ а! аз х ... ас = (х — а! -ае-г ... — ас) (х — щ )(х †) ... (х — а„). а! аз аз ... х )Свести последний определитель к предыдущему.) 4) Вычислить определитель ~е -'ОЬ! Ь Ь ... Ь, Ь! а, + Ь, Ь, ... Ь! а с 'з .лс Ьа (Выразить йа с помощью ос !.) 5) Предполагая а! и Ь элементами поля такими, что а!+Ь,=~хО для каждой пары индексов (!, 1), доказать, что Ц (а) . а!) (Ь) — Ь!) е<! щ ' Ь( ' Ц (а,+Ь.) "(, 3- 6) Показать, что если Х вЂ” матрица из а строк и т столбцов, У вЂ” матрица из р строк и а столбцов. так что их произведение Я= = гХ есть матрица из р строк и ат столбцов, то при и( е миноры Ч-го порядка матрицы Я равны нулю, а при д ( а они задаются формулой йь п=ч;у, кхя „, К где Х пробегает множество всех подмнов!еств интервала )1, л), состоязцих ив д влементов.
(Воспользоваться форыулой (8) $5.) 7) Пусть 8=бег(а;;) — определитель и-го порядка; обозначим через й! для каждого индекса ! определитель, получающийся путем умножения в о каждого элемента аП (1 ( 1' (п) на ))!. Показать, что й!+Ле+ .+Ьз=(р!+))ат . +))с) Ь. (Рааложить о! по в-й строке.) 8) Пусть А=бес(а!1) — определитель п-го порядка и о — подстановка иа Я„; пусть, далее, Л! для каждого индекса ! (1 (1 ( л)— определитель, получающийся путем замены в о каждого элемента а;, (1 (1'~~в) элементом о! .. и р — число индексов, инвариаитных относительно подстановки о.
Показать, что Ь,+Лз-) —... +Ь„= рА. )Тот же метод, что и з упражнении 7.) 427 онведелиткли 9) Пусть А — квадратная матрица и-го порядка,  — ее подматрица из р строк и д столбцов и С вЂ” матрица, получающаяся путем умножения в А каждого элемента из В на один и тот же скаляр а. Показать, что каждый член полного разложения определителя матрицы С равен соответствующему члену полного разложения определители матрицы А, умноженному на скаляр вида а", где г) р+д — и и зависит от рассматриваемого члена.
[Обрааовать для бес С надлежащее лапласовское разложение.1 10) Пусть Г и Л вЂ” определители к-го порядка, Н и Х вЂ” любыс два подмножества интервала [1, к[, состоящие каждое нз р элементов, (1ь) (соответственно (Га)) — последовательность, полученная путем расположения членов множества Н (соответственно Х) в возрастюощем порядке; пусть, далее, Гн, к — определитель, получающийся путем замены в Г каждого столбца с индексом га (1 ( й ( р) столбцом определителя Л с индексом 1ю и аналогично Лк, и — определитель, получающийся путем замены в Л каждого столбца с индексом Вт (1 ( ( й (р) столбцом определителя Г с индексом 1ь.
Показать, что для каждого НГ[1, к[, состоящего из р элементов, Х)н,кЛк, и К тде Х пробегает множество всех подмножеств интервала [1, к[, состоящих из р элементов. [Воспользоваться формулами (9) и (11).) 11) Пусть Л вЂ” определитель квадратной матрицы Х и-го порядка н Л вЂ” определитель квадратной матрицы л Х, порядка( ). Пока/к "1 аать, что [Воспользоваться формулами (9) и (11).[ 12) Определитель с)ес(ам) и-го порядка называется цеитресимметрическим (соответственно косец ктросимметрическим), если а„;„, „Н,—— а, (соответственноао;„, „зг= — аО) для всех 1 и у. а) Показать, что центросимметрический определитель четного порядка 2р можно представить в виде проиаведения двух определителей р-го порядка, а пентросимметрический определитель нечетного порядка 2р+1 — в виде произведения определителей р-го и (р+1)-го порядков. б) Показать, что косоцентросимметрический определитель четного порндка 2р можно представить в виде произведения двух определителей р-го порядка.
Косоцевтросимметрический определитель нечетного порядка 2р+1 над А равен нулю, еслн в А соотношение 2$=0 влечет 9=0, и представйм в виде произведения акр и двух определителей р-го порядка в противном случае. гл. пк $7 ПОЛИЛИНКЙНАН АЛ1"ВЕРА 13) пусть а=де[(а11) — определитель л-го порядка и лов минор (и — 1)-го порядка, дополнительный и ап. Показать, что а1, а,е...аги Х, ат, аз...аи х, и Лз — У ( — 1)' 1 Ь1 х1у., ат аиз ° ° аии хи ! '.1 У1 Уз ° ° ° Уи Покааать, что если А=О, а элементы ай принадлежат полк', то определитель, стоялый в левой части, является произведением линейной формы от х„*„..., х„на линейную форму от у„у„..., у». [Воспользоваться упражнением 11 1 5 и упражнением 6 1 6 главы 11.) Привести пример, где этот результат теряет силу, когда кольцо скаляров А пе является полем.
[Принять за А кольцо Х/(6) и и разным 2.] 14) Доказать тождество О 1 О а,+аз аг+аз ... аг+аи аз+аг О аз+аз ... аз+а» 1 аз+аз аз+аз О ... аз+а» и = ( — 1)и 2» 1 Я а„...а1 та1,1...ои. 1=1 а»+а, ив+аз а»+аз О [Использовать упражнение 13.] й 7.
Определители над полем; разложимые 1о-векторы иад векторным пространством В этом параграфе рассматриваютсл лиьть конечномер1иае векторные пространства над полем. 1. Свободные системы утавлолсимыж [р-ветгтотзов ТеОРемА 1. Пусть Š— векторное пространство конечной размерности и над полем. Д'ля того чтобы р векторов х1 (1<1< р) образовывали в Е свободную систему, необходимо и достаточно, чтобы разложимый р-вектор хгЛ ... Лхэ не равнялся нулю. Действительно, если векторы х образуют зависимую систему, то один из них равен линейной комбинации других (гл.
11, 3 3, предложение 1); при его замене атой комбинацией внешнее произведение хгД ... тих разлагается в сумму внепгних произведений, содержащих каждое дза одинаковых множителя и, следовательно, равных нулю. в опгкдклиткли над полки; глэложимык р-вкктогы 429 Если, напротив, х; образуют свободную систему, то в Е существует к — р других векторов, образующих вместе с векторами х~ оазис пространства Е; р-вектор х,Л... Лхр будет тогда (с точностью до знака) элементом соответствующего базиса для /1 Е ($5, и' 6) и, значит, не равен нулю. Теорема я се доказательство непосрсдствевпо распростравяются яа бескопечяомсрямс пскторвмс пространства.
По поводу обобщения па модули пад кольцом см. упрыжвевяс 2. Пгкдложвник 1. Ранг о(Х) матрици Х над нолем К равен наиболыивму из целых р, для которых в Х существует по крайней мере один ненулевой минор р-го порядка. Действительно, о(Х) есть наибольшее число линейно независимых столбцов матрицы Х (гл. 11, э 6, п' 7), иными словами (теорема 1), — столбцов, внешнее произведение которых отлично от нуля; но тем самым предлогкепие доказано, поскольку компоненты внешних произведений произвольных р столбцов матрицы Х вЂ” это, с точностью до знака, не что иное, как ее миноры р-го порядка (з 6, п' 3).
Из этого предложения получается новое доказательство теоремы 2 з 6 для частного случая квадратных матриц над полем: как мы внаем (гл. П, з 6, предложение 4), для обратимости такой матрицы необходимо и достаточно, чтобы ее ранг равнялся ее порядку, а в силу предложения 1 для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы не равнялся нулю. .М. Приметсение определителей и решению линейньсгс уравнений над полем Понятие определителя позволяет представить в сжатом виде условия существования решений системы (скалярных) линейных уравнений над колем К и выражение для решений такой системы, когда они существуют.
Рассмотрим систему т линейных уравнений с и неизвестными над К: яцек,. = р, (1 < 1.=. т). с=с полилинейнля ялгеввя Гл. 1п, 1 7 Матрица А =(а,,) этой системы имеет тем самым т строк и и столб цов. Пусть  — матрица из т строк и и+1 столбцов, полученная путем окаймления А (и+1)-и столбцом (()с); как мы знаем (гл. И, $6, предложение 5), для того чтобы система (1) обладала решением, необходимо и достаточно, чтобы А и В имели одинаковый ранг. Предположим, что А — матрица ранга р (который предложение 1 в принципе позволяет вычислить) и что первые р ее столбцов а, (1 < ь < р) образуют свободную систему (чего всегда можно добиться, подвергнув индексы 1 надлежащей подстановке); для того чтобы В была матрицей ранга р, необходимо и достаточно чтобы столбец у=-(()с) являлся линейной комбинацией столбцов а,, иначе говоря (теорема 1), чтобы а~Л - Ла„Лу=-6.
кли еще чтобы все миноры (р+1)-го исрядка в В, столбом которьсг имеют индексы 1, 2, ..., р и и+1, равнялись нулю. Допустим, что это условие выполнено и, кроме того, первые р строк матрицы А линейно независимы (чего всегда можно добиться, подвергнув индексы 1 надлежащей подстановке); тогда множество всех решений системы (1) совпадает с множеством всех решений системы, образованной первымк р уравнениями (1) (гл.
П, $4, теорема 2). Иными словами, можно предполагать, что р = т и, следовательно, и ~т; при произвольном задании элементов $,„,ь (1 а; й ( и — т) элементы $ь с индсксамп < т будут определяться системой т уравнений с т неизвестными т э-т а,,э,. = Р,— 2 аь,ьс„,„ь (1, ь' ~ т), (2) а по предположению определитель сь этой системы, являющийся не чем иным, как минором матрицы А, образованным ее первымн т столбцами, отличен от нуля; тем самым система обладает единственным решением, причем оно задается формуламн Крамера ($ 6, предложение 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
