Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(ю!) Если х и у — два элемента пространства Т, для которых (х!Рд>0 и (у(е!):-:0 при всех !", то (х(у)>0. Если (х ! е!) > 0 и (у ! е!) > 0 при всех !', то (х ! у) > О. В условиях утверждения (1) предположим, что сушествует Г, для которого с; (О. Пусть 1 — линейная форма на Т, определенная равенствами 1(е!) = 1 и / !! !'(е!)= — с! ( ~ (сь ! пРи 1Ф !. ,ь! Векторы — х, е,, ..., е„удовлетворяют всем предположениям леммы 3, (й) (в качестве д взять метрическую форму на Т). Однако вытекаюшее отсюда заключение об их линейной независимости абсурдно, что и приводит к утверждению (!). Далее, если х= ~ с;е, ее Т и уя Т, то (х !у) = ~! с,(е, !у), ! так что (й) сразу следует из (1). б.
Теоремы конечности Лемма 7, Пусть А — множество единичных векторов в Т. Если существует такое вещественное число Л ( 1, что (а !а') (Л для любь!х а, а'ее А и а Ф а', то множество А конечно. Для а, а'ЕНА н а -ь а' имеем !! а — а' !)! = 2 — 2 ( а ! а') > 2 — 2Л. Однако, будучи компактной, единичная сфера 5 в Т допускает конечное покрытие множествами диаметром ((2 — 2Л) Ь. В каждом таком множестве содержится не более одного вектора из А. Отсюда следует утверждение леммы.
Обозначим через (7(ш) автоморфизм пространства Т, ассоцииро- в ь >. ггтппы пвгвмнцвнии, поеождвнныа отвхжвииями 1о! ванный с аффинным отображением ю е= Ч7 пространства Е в себя. Имеем и> (х+ 1)= и>(х)+ 0(и>) ° г для 1я Т и хе Е. Определен, таким образом, гомоморфизм 0 группы Чт" в ортогональную группу пространства Т. Ядром гомоморфизма 0 является множество переносов, принадлежащих группе 1Ч'. Твогвмк 3. (1) Множество стенок одной камерь> коне~но.
(В) Множество направлений еиперплоскостей из 9 конечно. (ш) Труппа 0()Р') конечна. Утверждение (1) сразу следует нз предложения 3, (ш) и из леммы 7. Докажем (й). Пусть С вЂ” камера и % — множество ее стенок. Множество ячеек в замыкании С (относительно 9) совпадает с множеством ячеек относительно % (Ч 1, п'4, предложение 9). Так как И конечно, то число ячеек конечно.
Поскольку каждая ячейка пересекается не более чем с конечным числом гиперплоскостей нз 9, множество гиперплоскостей, принадлежащих 9 и пересекающих С, конецно, так же как и множество Л(С) единичных векторов в Т, ортогоиальных этим гиперповерхностям. Следовательно, существует вещественное число Л к. 1, такое, что (а )а')»»Л для а, а'~А(С) и аФа'. Пусть теперь А — множество единичных векторов в Т, ортогональных гиперплоскостям из 9.
Пусть а, а' ~ А, а ~ а'. Если а и а' параллельны, то а = — а' и (а~ а') = — 1. В противном случае пусть вектор а (соотв. а') ортогонален к Н (соотв. к Н'). Тогда Н() Н' Ф О, и если х~ Н () Н', то существует элемент и> ен Чт, для которого х я и> (С). Векторы 0(ы). а и 0(и>).а' принадлежат тогда Л(С), и (а ~а') =(0(ю), а !0 (ю). а) »(Л, так что множество А конечно по лемме 7. Этим доказано (И).
Пусть теперь элемент и> ~ Ж' таков, что 0(ю).а=а для всех а ~ Л. Тогда 0(ге).1=1 для любого 1 >ув подпространствз в Т, порожденного векторами из А. С другой стороны, если 1ен Т ортогонален к Л, то 0(ен).1 1 для всех Н е= 9, откуда 0(ю). >=1, и, наконед„0(ы)=1. Так как 0(и>)(А)=А для любого элемента и> ен Чт, то группа 0(Чт") изоморфна группе перестановок конечного множества А, отхуда следует утверждение (ш). Пггдло>канин 4.
Пусть С вЂ” камера и (У() — множество ее стенок. Пусть Ф"» — подгруппа группы ЧГ, порожденная !02 ГЛ. У. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕИНЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ в ортогональными отражениями относительно гиперплоскостей из Я. Для Н еп Я обозначим через ен единичный вектор, ортогональныа к Н и лежащии по ту же сторону от Н, что и С. Следующие условия эквивалентны: (1) группа %'н конечна; (й) существует точка пространства Е, инвариантная отно- сительно всех элементов группы Ж'н, (ш) гиперплоскости из Я имеют непустое пересечение; (!ч) семейство векторов (ен)н „свободно в Т. Предположим, что группа М7 ~ конечна и имеет порядок й.
Тогда для любой точки а из Е точка о=,)~ й '.и(а) в Я В'н инвариантна относительно йтн, поэтому из (1) следует (й), Согласно свойству (П2) (см. начало 5 3), стабилизатор в К всякой точки из Е конечен. Следовательно, (й) влечет(!). Ввиду того что группа И'н порождена множеством отражений относительно гиперплоскостей из Я, неподвижные точки относительно Кн — это точки пространства Е, принадлежащие каждой гиперплоскости Н ен Я, откуда следует эквивалентность (й) и (ш).
Предположим, что существует точка а в Е, принадлежащая всем гиперплоскостям Н ~ Я. Пусть 1~ Т вЂ” вектор, для которого а+!~С. Так как (ен!ен)(0 для Н, Н'еий1, Н ~ Н' (предложение 3), а (1!е,) > 0 для всех Н енЯ, то лемма 3, (й) влечет линейную независимость векторов ен, Н ен Я. Поэтому из (ш) следует (1ч). Предположим, наконец, что семейство (ен)н „, свободно. Пусть а — точка в Е. Для любой гиперплоскости Н ен Я существует вещественное число сн, такое, что Н состоит из точек а+! в Е с (г(е„)=он.
Так как семейство (е„) свободно, существует вектор ! еи Т, такой, что (1!ен) =си для всех НепЯ, и точка а+ ! нз Е принадлежит любой гнперплоскости Й ен Я. Следовательно, (Гч) влечет (ш). Замечания. 1) Поскольку Ж' порождена отражениями относительно стенок камеры С, предыдущее предложение дает критерий конечности этой группы. Мы вернемся к этому вопросу в п'9. 2) Пусть г — вещественное аффинное пространство конеч. ной размерности и 6 — его группа автоморфизмов. Для любого цен 6 обозначим через 6(а) ассоциированный с д автоморфизм пространства переносов У пространства Р.
Предположим, что образ 6(6) — конечная подгруппа в 61,(У). Тогда на У существует скалярное произведение, инвариантное относительно (А'(6) (Ннтегр., гл. у'П, $3, п'1, пред- т о 3. ГРуппы пеРГмешении. пОРО>кденные ОтРАжениями 103 ложение 1), Если сверх того 6 порождена отражениями и, снабженная дискретной топологией, действует на г" собственно разрывно, то мы можем применить к П все результаты предыдущего параграфа.
7. Разложение линейного представления группы %' в Т Пусть ! — множество вершин графа Кокстера группы йт (и'4), и пусть У вЂ” подмножество в !, такое, что вершины из У и ! — У не связаны между собой. Пусть С вЂ” камера, з — каноническая биекция множества ! На множество отражений относительно стенок камеры С и В'лс — подгруппа, порожденная образом з(У). Тогда из предложения 8, п'9, $1, гл.
1ьс, следует, что )Р— прямое произведение двух своих подгрупп )Р'с,с и Ю'с !, с. Пусть С' — другая камера и з' — соответствующее ннъективное отображение! и 1Р'. !т(ьс видели (п'4), что если ис ее )Р' переводит С в С', то з'(с) = и>з(/) и> ' при с ~ !. Так как В'! с — нормальная подгруппа в В', то з'(с) ~ (Р'! с для всех !ЕНУ. Отсюда следует, что подгруппа )Рлс не зависит от выбора С. Поэтому везде в дальнейшем мы будем обозначать ее просто через йтзь Определенне группы йг с годится для любого подмножества ! ~ /. Но если какая-нибудь вершина нз ! соединена с вершиной вз ! — !, то Сг' не будет нормальной подгруппой и будет зависеть лс от выбора камеры С. Пусть Тс — подпространство и Т, состоящее из векторов, о инвариантных относительно всех элементов группы П((Р'!), и пусть Т! — подпространство, ортогональное к Тс.
Так как о о В'! — Нормалысая подгруппа в )Р', то ясно, что Т!, а следовательно, и Т! инвариантны относительно П(%'). Пргдложеиие 5. Пусть У„..., У, —.иножества вершин связных компонент графа Кокстера группьс %'. Для 1~(р(з положим о гь йтр —— и'с, тр — — т!, тр — — т!, то = 1 1 тр. с~я<я (1) Труппа % — прямое произведение подгрупп г//р(1(р(з). (й) Пространство Т вЂ” прямая сумма ортогональных надпространств То, Т„..., Т„устойчивых относительно (У(В').
с (и) Для любого с/, 1 с/( з, надпространство Т, пространства Т состоит из векторов, инвариантных относительно 0(йта). Оно разлагается в прямую сумму тех Тр, для которых 0 = р (~ з и р Ф с/ 104 гл, ч, ггтппы, погождюгныв отгьжаниями т (1ч) Пусть С вЂ” камера. Подпространство Т» (1 - ' р ' з) порождено векторами е;(С) для ! ~ У» (в обозначениях и'4). (ч) Представления группы В' в подпространствах Т» (1 (р« в) абсолютно неприводимы, нетривиальны и попарно неэквивалентны. Утверждение (!) следует из результатов гл. 1Ч, 5 1, п'9.
С другой стороны, как мы уже видели, надпространства Т» инвариантны относительно (У (!Р') и то же верно для Т,. Пусть С вЂ” камера. Так как йт порождена отражениями гч !С), / ! ~ У», то ясно, что ҄— подпространство, ортогональное к е,(С) для ! ен У», откуда следует (1ч). Сверх того при ! е— = У„, ! енУ, и р Фу будет тп,! —— 2, поскольку (1, !) не является ребром графа Кокстера, т. е. (е,!е!)=О. Отсюда непосред/ ственно получаем (В), а затем и (1й), ибо Т, ортогонально к Т .
Наконец, пусть $т — инвариантное относительно (У (Ф' ) подпространство в Т». Для любого !~У, вектор е, либо принадлежит Р, либо ортогонален к (У ($2, и'2, предложение 3). Пусть А (соотв. В) — множество тех ! ен У„, для которых е,ен(т (соотв. е, ортогонален к т'). Очевидно, что (е; !е!) =0 при !енА и 1ен В, а поскольку У связно, приходим к заключению, что либо А= Я и )т =(0), либо А=У и !/ = Т». Следовательно, представление группы (Р" в Т» иепрнводимо, а потому и абсолютно неприводимо в 5 2, и'1, предложение 1. Оно нетривиально по самому определению пространства Т, Наконец, последнее утверждение в (ч) сразу следует из (й().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
