Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть Л вЂ” непустое подмножество в Е, -р — множество гиперплоскостей Н е=. 9, содержащих А, Л' — пеРесечение гипеРплоскостей Не= 9д и Р— Ячейки в Е, открытая в А' ($ 1, и' 3, предложение 7). Тогда й7(А)= = !у'(Л')=)Р'(Р) и !Р'(Л) порождается отраженияии относительно гиперплоскостей из 9д. Прежде всего докажем следующее утверждение: (1) Пусть С вЂ” камера, х и у — две точки из С и се — элемент группы (у, для которого се(х) = у. Тогда х = у, а се принадлежит подгруппе Ю'и, где Я вЂ” множество стенок камеры С, содержаи!их х.
Проведем индукцию по длине д элемента щ (по отношению к множеству 5 отражений относительно стеноккамерыС). Случай а=О тривиален. Если а -.1, то существуют стенка Н камеры С и элемент св' ~ *йт, такие, что св =энга' и! (се')=- =с! — 1. Поскольку 1(знсв) <1(ю), камеры С и се(С) по теореме ! из п' 2 лежат по разные стороны от Н. Поэтому С П се (С) с: Н, откуда у еи Н.
Тогда у = и'(х) и по предположению индукции х=у, а гв'~)у11. Так как у~ Н, то получаем Н аи 21 и се = знв' еи 'йтсь чем и заканчивается доказательство утверждения (1). Доказательство теоремы 2. Это утверждение следует из (1) и из леммы 2. Доказательство предложения 1. Мы знаем, что две различные ячейки не пересекаются и их замыкания не совпадают (э 1, п' 2, следствие предложения 3).
Это приводит н эквивалентности (1), (1!) и (ш). С другой стороны, ясно, что (ч!!) =!Р(ч1) Ф(ч) =1ь(!У) Ф(!), а утверждение (1) показывает, что (!)=Р(ч!!). Доказательство предложения 2. Пусть А" — аффиниое подпространство пространства Е, порожденное множеством Л. Очевидно, что )Р (Л) = Я7(А"). По предложению 7 из 5 1, и' 3, существует точка х ~ А", не лежащая ни в какой гиперплоскости Нен9 — 9д.
Пусть Р,— ячейка, содержащая х; она открыта в А"„и предложение 1 показывает, что йг (Рг) с= Я7 (А') с= В' (А) = !У (А") ~ Ю' ((х)) = Ф" (Р„), 96 гл. ч. ггтппы. погождшьныь отглжгниямн 4 откуда Ят(А)=(У(А')=Ф'(Р„). Заменив А на г, получаем 'йт (А) = Я7 (г"), откуда н следует наше предложение. Замечания. 1) Из теоремы 2 следует, что если С вЂ” камера, а Р— ячейка, то существует, и только одна, содержащаяся в С ячейка Р', которая переводится в Р элементом иэ Ят. 2) Из предложений 1 и 2 следует, что для всякого не- пустого подмножества А в Е сушествует точка а г= Е, такая, что йт(А)= йт((а)).
Сверх того, группа йт(А) является группой Кокстера (теорема 1). 3) Пусть С вЂ” камера в Е и 5 — множество отражений относительно ее стенок. Пусть ш еи 1Р' и (з,, ..., з ) — приведенное разложение элемента ш относительно Я. Если х~С инвариантно относительно ш, то з~(х)=х для всех 1. Это вытекает из предложения 1 и из следствия 1 предложения 7 гл. 1Ъ', 5 1.
4. Матрица и граф Кокстера группы нт Пусть С вЂ” камера, 5 =5(С) — множество ортогональных отражений относительно стенок С и М =(пг(з, з')) — матрица Кокстера системы Кокстера ((Р', 5) (гл. 1Ъ', 5 1, п' 9); напомним, что пт(з, в') есть порядок (конечный или бесконечный) элемента зз'группы йт (для е, э'~5). Если С' — другая камера, то единственный элемент ш еи йГ, для которого и (С) =С', определяет биекцию з~ — ~1(э)=шзш ' множества 5 на 5'=5(С'), причем гп(1(э), 1(э'))=пг(э, э'). Отсюда следует, что если задать действие Ф' на множестве Х пар (С, э), где С вЂ” камера и э~5(С), положив ш.(С, е)= (ю(С), вэш '), то каждая орбита 1 группы Ф' в Х будет пересекаться с каждым из множеств (С) ХЯ(С) в одной и только одной точке, которую мы обозначим через (С, э;(С)).
Пусть в таком случае 1 — множество этих орбит. Для 1, 1ен 1 число тм — — пю(э~(С), эг(С)) не зависит от выбора камеры С. Матрица М ()г") = (ты),, является матрицей Кокстера и называется матрицей Кокстера группы (т. Граф Кокстера, ассоциированный с М(йт) (гл. 1Ч, $1, п' 9), называется графом Кокстера группы )г". Пусть С вЂ” камера. Для любого 1ги1 обозначим через Н,(С) стенку камеры С, такую, что з,(С) будет отражением относительно Н,(С), а через е;(С) — единичный вектор, орто- 4 з. группы первмнцении, порожденныв отрлжениямп дт тональный к На(С) и лежащий по ту же сторону от Н,(С), что н С. Отображение 1 Ну(С) назь|вается канонической индексацией стенок камеры С. Придложвнив 3. Пусть С вЂ” камера и 1, 1еи 7, тчь1.
Полозкам я,=за(С), Н, = Н,(С), еа =еу(С) и аналогично определим яп Нп ер (1) Если Н, и Ну параллельнь» то пу» — — оо и е; = — е . (й) Если Ну и Ну не параллельнь» то т» конечно и (е, 1е;) = — соз (и/т»). (4) (й1) (е; ~еу)(О. Если Н; и Ну параллельны, то яузу — перенос 5 2, п'4, предложение 5), откуда пт» — — оо. Далее, либо е, =е» либо е,= — еп Между тем существует точка а (соотв. а') в замыкании С, лежащая в Н, (соотв.
Ну), но не лежащая в Нг (соотв. На). Тогда (а' — а(ер)) О и (а — а')еу)> О, чем исключен случай е, = еу и доказано (1). Предположим теперь, что Ну и Н; не параллельны. Выберем в качестве начальной точку а ~ Н, П Ну и отождествнм Т и Е при помощи биекции ! а+С Пусть (т — плоскость, ортогональная к Н; Д Ну и проходящая через а. Положим Г = (т () Рн, (С) П Рну (С) (где Ре(С) — открытое полу- пространство, ограниченное гйперплоскостью Н и содержащее камеру С ($1, и'1)).
Пусть Р (соотв..Р') — полупрямая в (l, лежащая на Й,() (У (соотв. Ну(1)У) и содержащаяся в замыкании Г. При выборе подходящей ориентации на К множество Г будет объединением открытых полупрямых са в (т, таких, что О ((Р, Л) < (Р, Р'). Пусть Ят' — подгруппа в ((Г, порожденная я; и я;. Для всех бс би (р" гиперплоскости ьр(Н) и ю(Ну) принадлежат 9, содержат Н;П Ну и не пересекают С.
Поэтому они не пересекают Г ($1, и'5, предложение 10). Следствие предложения 7 из ф 2, и'5, влечет тогда (й). Наконец, утверждение (ш) сразу получается из (1) и (й), поскольку т»)2 для (чь1. Замечание. Формула (4) имеет смысл на самом деле при любых 1, 1 ~ 1. Действительно, п7пу» — О, есть пу» = оо, а если 1=1, то уп» вЂ” — 1 и (е,1еу)=1. 4 Зак. бс и. Вурбакк ЯВ ГЛ. Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМН Ю. Системы векторов с отрицательными скалярными произведениями Ламма 3. Пусть о — положительная квадратичная форма на вещественном векторном пространстве )' и  — ассоциированная с ней симметрическая билинейная форма. Пусть а„..., а„— векторы из У, т11кие, что В(а1, а!)(О при !чь1.
(!) Если сп ..., с„— ве1цественные числа, для которых с! Я с1а1 ) = О, то д ~ ~~'„! с, !. а1) = О. (й) Если а невыроэкдена и если существует линеиная форма 1 на $', такая, что 1(а1) ) О при всех 1, то векторь1 .а„..., а„линейно независимь1. Соотношение В(а„а!)(О при 1чь! тотчас дает неравенство д Д ! с, !. а1) ( д (Я с1а1), откуда следует утверждение (!). Поэтому в случае невырожденной формы о равенство ~л с1а1 —— О влечет .~~ ! с; |. а; = О. Отсюда для любой линейной формы ! иа у' получаем 2'„'1!сс!.)(ас)=О, а если сверх того )(а1)) О при всех 1, то с!=0 для любого 1'. Этим доказано утверждение (В).
Лемъ1А 4. ПУсть 1;!=(вн!) — симметРическаЯ квадРатнаЯ матрица порядка и с вещественными коэффициентами, такая, что а) дц О при 1Ф1; б) не существует разбиения множества (1, 2, ..., и) на два непустых подмножества ! и 1 таких, что если (1, 1) ее еи1К 1, то у!1=0; в) квадратичная форма д(х1, ..., х„)= ~~г д1!х1х! на К" !,! положительна. 'Тогда (!) Ядро й! формы д имеет размерность О или 1. Если 11!шй(= 1, то й! порождено вектором, у которого все коор- динаты ) О, (!!) Наименьшее собственное значение матрицьс 1;! обла- дает кратностью 1, а соо1 ветствующий собственный вектор г А к гРРппь! пеРемешгнИЙ, пОРОжденньп'. ОТРАжениям!! Ев имеет либо все положительные координаты, либо все отрицательные.
Ввиду положительности квадратичной формы д ее ядром М является множество изотропных относительно д векторов (Алг., гл. 1Х, 5 7, и'1, следствие предложения 2). Пусть а„..., а„— канонический базис в 1(". Если ~с;а;енЛ', то ! по лемме 3 и ~) с;).а; ~ й(, откуда ~~~у».)е,1=0 для лю- 4 3 бого !. Пусть теперь ! — множество тех 1, для которых с~~О. Если ! Ф 1, то дн~сс)(О при (ен! и суп~ с~!=О при 1Ф 1, откуда д»=О для 1Ф ! и ! ен !.
Условие б) дает тогда, что либо 1=1о, либо (=(1, ..., п). Следовательно, у любого ненулевого вектора из л1 ни одна из координат не равна нулю. Если бы д(щМ)2, то пересечение ядра й! с гиперплоскостыо, задаваемой уравнением х~ — — О, имело бы размерность ) 1 вопреки тому, что мы только что получили. Кроме того, из предыдущих рассуждений следует, что если б(тЛ'= 1, то й' содержит вектор с положительными координатами.
Этим доказано утверждение (1). С другой стороны, известно, что собственные значения матрицы 1г вещественны (Алг., гл. 1х, $ 7, и'3, предложение 3) и положительны, поскольку форма д положительна. Пусть Л вЂ” наименьшее среди них. Тогда матрица 1'„1' = 1;1 — Л7„ будет матрицей вырожденной положительной формы а', у которой недиагональные элементы такие же, как и у (г.
Следовательно, (г' тоже удовлетворяет условиям а) — в). Так как ядро М' формы а' — собственное подпространство матрицы Я, соответствующее собственному значению Л, то утверждение (Н) вытекает из (1). Леммь 5. у!усть векторы е,, ..., е„, порождающие Т, таковы, что а) (е, ~е~) к О при 1~ 1; б) не существует разбиения множества (1, ..., п) на два непустых подмножества ! и ! с (ен е~) =О при 1е= ! и ! ен !. Тогда возможны только два слуцкая; 1) (е,, ..., е„) — базис пространства Т; 2) п = б(т Т+ 1; существует семейство (с,),<,<„веи(ественных чисел Р О, таких, что ~~„'~~ с,е,=О, и всякое семейство (с) вещественных чисел, для которых ~ с',.е,.=О, про- 1~~(п Ф порционально (с1). положим д» вЂ” — (е~ ~е1).
матрица чг=(д») удовлетворяет всем предположениям леммы 4: условия а) и б) леммы 4 100 ГЛ. У. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ е совпадают с условиями а) и б) нашей леммы, а в) выполнено по той причине, что ~! днх!х! — — ~ !! х,е, !г'. Ядро и! !, ! ! квадратичной формы д на )х" с матрицей (с есть множество всех (сп ..., с„) ее (х", для которых .с". с;е, = О. Когда Л' = (О), ! векторы е, линейно независимы, и имеет место случай 1). Когда же РВш Л! > О, лемма 4, (1) показывает, что имеет место случай 2). Лемма 6. Пусть (еп ..., е„) — базис в Т такой, что (е! ! е1) ( О при !' Ф у. (1) Если х= ~ с;е, — элемент из Т. для которого (х !е!)>О ! при всех !, то с, >0 при всех !'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
