Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Обратное утверждение очевидно. Замечание, Пусть т конечно и О =л/т. При и ~ У обозначим через С„объединение открытых полупрямых А, с началом О, таких, что п9 < (йн сн) < (и + 1) 9. Тогда С„для — т(п < т суть связные открытые множества, образуюшие разбиение множества Š— Ц0„(мы полал гаем 0„= р„„(0)). Значит, это камеры, определенные в Е системой т прямых Р„(1(п(т). Имеем С,А — — рыь(С) и С,„, =-р, э(С). Кроме того, С„=-С тогда н только тогда, когда пеп2тХ. Следовательно, группа В' действует на ка- мерьГ С„просто транзитивным образом. Докажем, наконец, что если элемент Гве= йт таков, что камеры С и щ(С) лежат по разные стороны от прямой О, то !(ЕГс) = ! (щ) — 1 (длина берется относительно системы 5 = (э, э')). Действительно, тогда Ге (С) = С„, где — т (п < О.
Если и= — 2й, то щ =(зэ') н зГе=-е'(эз')" ', откуда 1(щ)=2й н !(зщ)=2й — 1 (гл. 1Ч, $1, и'2, замечание). Если п= = — 2й+ 1, то щ =(эз') з и зте =(э'з) откуда !(ш) = 2/г — 1 и !(ЕГв) = 2/à — 2. Ч. Т. Д. $3. Группы перемещений, порожденные отражениями В этом параграфе через Е обозначается вещественное аффинное пространство конечной размерности д и через Т вЂ” его пространство переносов. Предполагается, что Т снабжено скалярным произведением (т. е, невырожденной положительной симметрической билинейной формой), обозна- т ч з. ггэппы пагамащвнии, погожданныа отгл>каниями д! чаемым через (1(Р). Для любого вектора теи Т положим '111= (1 ~1)'*. Функция с((х, у) =З х — у ~! есть расстояние на Е, определяющее топологию пространства Е ($ 1).
Обозначим через 9 некоторое множество гиперплоскостей в Е и через Я7 группу перемещения евклидова пространства Е, порожденную ортогональными отражениями эн относительно гиперплоскостей Н ~ 9 Я 2, п'4). Предположим, что выполнены следующие условия: (П1) для любого в е= Я7 и любой гиперплоскости Н = — 9 гиперплоскость в(Н) принадлежит множеству 9; (П2) группа В', снабженная дискретной топологией, действует в Е собственно разрывно.
Поскольку Е локально компактно, замечание в $ 4, п'5 книги Общ. топ., 3-е нзд., гл. Ш, показывает, что условие (П2) эквивалентно следующему: (П'2) каковьч бы ни были компактные подмножества К и Е пространства Е, множество элементов щ е= Ф', для которых ю(К) пересекается с Е, конечно. 1, Предварительные результаты Лвммл 1. Множество гиперплоскостей 9 локально конечно. Действительно, пусть К вЂ” компактное подмножество в Е. Если гиперплоскость Н еи 9 пересекаетК, то множество эн(К) тоже пересекает К, поскольку любая точка нз К П Н остается на месте при действии эн. Поэтому множество Нен9, пересекающих К, должно быть конечно в силу условия (П'2).
Таким образом, к Е и 9 можно применять определения и результаты $1. Мы будем называть просто камерами, ячейками, стенками и т. д. относительно %' камеры, ячейки, стенки и т. д., определенные в Е множеством 9. Перемещение и> ен%' переставляет между собой камеры, ячейки, стенки и т. д. Ламма 2. Пусть С вЂ” камера. (1) Для любого х яЕ существует элемент и> сии, такой„ что и> (х) ~ С, (11) Для любой камеры С' существует элемент и>~Ят, такой, что и>(С')=С. (й() Труппа )(т порождена множеством ортогональных отрижений относительно стенок камеры С.
Пусть % — множество стенок камеры С и (эти — группа, порожденная отражениями относительно стенок камеры С '92 ГЛ, У. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 1 Докажем утверждение (1). Пусть х ~ Е и У вЂ” орбита точки х относительно группы Ягм. Достаточно доказать, что У пересекает С. Пусть а — точка камеры С. Существует замкнутый шар В с центром а, пересекающий орбиту У. Так как шар В компактен, то условие (П'2) из п'1 показывает, что множество В П У конечно. Поэтому существует точка у ~ У, такая, что И(а, у)(а(а, у') для всех у' из У. (1) Мы хотим доказать, что д ЕЕС. Для этого достаточно показать, что если Н вЂ” стенка камеры С, то у ~ Вн(С) (см.
$ 1, и'4, предложение 9). Так как анен%'и, то зн(у) ~ У, откуда (рис. 1) а(а, у)э(д(а, зн(у))' (2) в силу неравенства (1). Существуют точка Ь ы Н и два вектора 1 и и, такие, что а=Ь+1, у=Ь+и и вектор и орто- зн(у) Рис. ь гонален к Н. Тогда зн(у)=Ь вЂ” и и неравенство (2) эквивалентно неравенству (1 — и ~1 — и)((1+и ~1+и), или, что равносильно, неравенству (1 ~ и) ) О. Из этого неравенства следует включение д ен 1 д (С).
(й) Пусть С' — какая-то камера и а'енС'. По только что доказанному существует Гэ ~%'и, для которого в-'(а') ЕЕ С. Следовательно, камера С' пересекается с ш(С). Но так как Гв(С) есть объединение камеры ш(С) и ячеек с пустой внутренностью ($1, п'2, предложение 3), то С'= ГЕ(С). (ш) Чтобы доказать равенство УР' = егм, достаточно доказать включение з„,~ 27 для всех Н'~ 9.
Но Н' — стенка по крайней мере одной камеры С' 5 1, п'4, предложение 8), и существует Гв ~ ЯУ , для которого С' = Гэ(С). Следовательно, существует стенка Н камеры С, такая, что Н'=ГЕ(Н), откуда зн =ГЕ зн Ге 'сийг и' Е З Х ГРУППЫ ПЕРЬМЕШЕНИП, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖГННЯМИ 93 2. Связь с системами Кокстера Теонемк 1. Пусть С вЂ” камера и 5 — множество отражений относительно ее стенок. (1) Пара (((Г, 5) есть система Кокстеро. (й) Пусть и ~ йт и Н вЂ” стенка камеры С. Соотношение !(знш) > !(ю) означает, что колеры С и аг(С) находятся по одну и ту же сторону от гиперплоскости Н. (й1) Для любой камеры С' существует единственный элемент ш е= (Р, такой, что ш(С) =С'. (!У) Множество гиперплоскостей Н, для которых зн~ %', совпадает с 9.
Каждый элемент множества 5 имеет порядок 2, а по лемме 2 группа )у' множеством 5 порождается. Для любой стенки Н камеры С обозначим через Рн множество в ~ Ф', таких, что камера С и камера ш(С) (которая не пересекает Н) лежат по одну сторону от Н. Мы должны проверить условия (А'), (Б') и (В) из гл. 1Ч, в 1, и'7. (А') 1 ен Рн. Это очевидно. (Б') Р„не имеет общих элементов с зн.РН. В самом деле, гс(С) н зна(С) находятся по разные стороны от Н, и, значит, если ш(С) лежит по ту же сторону от Н, что и С, то знш(С) — по другую.
(В) Пусть ш ~ Рн и Н' — стенка камеры С, для которой геен,ФР„. Нам нужно доказать, что шзц,— зцш. По предположению гс(С) лежит по ту же сторону от Н, что и С, а шзе.(С) — по другую сторону. Значит, гезя,(С) и и(С) будут по разные стороны от Н и соответственно камеры з„,(С) и С лежат по разные стороны гиперплоскости ш '(Н). Пусть а — точка грани камеры С с носителем Н'. Точка а=з„,(а) принадлежит замыканиям двух камер С и з„,(С), которые соответственно содержатся в двух открытых полупространствах, ограниченных ~о-'(Н). Поэтому а ~ ш '(Н) и, значит, Н'= ю '(Н). Приходим к заключению, что з„, = ш 'е и, откуда шзв = енсе.
Коль скоро это установлено, утверждения (1) и (й) следуют из предложения 6 гл. ЪЧ, 5 1, и' 7. Кроме того (там же, условие (А)), Д Р„=(Ц. (3) н я Лемма 2 показывает, что Ф' действует на множестве камер транзитивио. Если, далее, элемент ш ~ )!Г таков, что ш (С) = С, то ю ~ Рн для любой стенки Н камеры С, откуда Гл. у. ГРуппы, пОРОжденные ОТРАжениями в соответствии с (3) ю=!. Тем самым доказано утверждение (ш).
Пусть, наконец, Н вЂ” гиперплоскость, для которой знееВ'. Если бы Н Еь 9, то существовала бы по крайней мере одна камера С', пересекающая Н ($1, и' 3, предложение 7). Каждая точка пересечения Н П С' инвариантна относительно эн и тем самым принадлежит камерам С' и эн(С'). Значит, С'=зн(С'), что противоречит (!!!), поскольку эн ~ 1.
Следствие. Лусть Х вЂ” множество отражений, порождающее группу йт. Тогда всякое отражение, принадлежаи!ее йГ, сопряжено с каким-нибудь элементом множества Е. Пусть 9' — множество гиперплоскостей вида Ге (Н) с Гс=(т" и Н св 9, такими, что эн ен Х. Поскольку Ят порождается семейством (зн)в, и множество 9' устойчиво относительно йт, мь. можем применить к чт' вместо 9 все результаты этого и'.
Но теорема 1, (1У) показывает, что всякое отражение группы Ж' имеет вид зн с Н~ 9', откуда и вытекает утверждение следствия. 8. Фундаментальная область. Стабилизаторы Напомним (Ннтегр., гл. ЧП, 5 2, и' 10, определение 2), что множество Ю пространства Е называется фундаментальной областью для группы й!Г, если любая орбита в Е относительно й!Г пересекает Л в одной и только одной точке. Это эквивалентно следующим двум условиям: а) для любого х ьн Е существует элемент Гв ~ йт, такой, что Гв (х) ен Л; б) если х, у ен Р и Гв ен 'йт таковы, что у = Ге(х), то у = х (но возможно, гс Ф 1). Докажем три следующих утверждения. Теотема 2. Какова бы ни была камера С, ее замыкание С является фундаментальной областью для группы Ч7, действуюи!ей на Е. ПРедложение 1.
Пусть Р— ячейка, С вЂ” камера, такая, что Рс:С, и пусть ГвенЧ7. Следующие условия эквивалентны: (1) ю (Р) пересекает Р; (! !) Гв (Р) = Р; (!й) ю (Р) = Р; (1ч) ю оставляет неподвижной хотя бы одну точку из Р; (ч) Гв оставляет неподвижной каждую точку Р ячейки Р; (ч1) ю оставляет неподвижными все точки замыкания Р; ч а ГРуппы пеРемешенни, пОРОжденныГ отРджениямн вз (Уй) се принадлежит подгруппе в )Р', порожденной отражениями относительно стенок камеры С, содержащих Р. ,(ля любого подмножества А ~ Е обозначим через )Р'(Л) подгруппу в )Р', состоящую из элементов, которые оставляют неподвижными все точки множества Л. ПРедложьние 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
