Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 18
Текст из файла (страница 18)
По предложению 4 (имплнкация (!) ~()(!)) гиперплоскость Е не является стенкой камеры С. Следовательно, каждая стенка камеры С принадлежит 2. б) По-прежнему предполагаем С =Ре(С). Пусть Н вЂ” гиперплоскость из 8, которая не является стенкой камеры С; положим 9'=й-(Н). Согласно предложению 4 (нмпликация (ш))>(!)), выпуклое множество Ре,(С) не пересекает Н, значит, Ре (С) с: Рн (С) и С = Рз (С). Проведя индукцию по числу элементов множества $, получим, что если б — конечное подмножество в 8, не содержащее ни одной стенки камеры С, то С=РЯ-Е(С).
в) Пусть а — точка в С. Тогда очевидно, что Сс:Ри(а). Пусть а' — точка в Ри(а). Поскольку замкнутый отрезок (аа') компактен, множество б гиперплоскостей Нен 9, пересекающих 78 ГЛ, У, ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 5 (аа'], конечно. Так как а и а' лежат строго по Одну сторону от каждой стенки камеры С, то никакая стенка камеры С не принадлежит б. Поэтому из б) следует, что С=Рв е(С).
Так как а'еиРв-в(а), то а'еиС. Таким образом, мы убедились, что Рм(а) с: С, а это доказывает первую часть предложения. г) Для доказательства последнего утверждения предложения достаточно, очевидно, показать, что подмножество Р из С, являющееся ячейкой в Е относительно 3)1, будет также ячейкой в Е относительно тР нли что любая гиперплоскость Н еи э, пересекающая Р, содержит Р. Пусть, таким образом, Н вЂ” гиперплоскость, пересекающая Р, но не содержащая Р.
Будучи открытым в своем аффинном носителе, Р не лежит целиком по одну сторону от Н. Значит, и С не лежит целиком по одну сторону от Н, и, следовательно, гиперплоскость Н не принадлежит Ф. Этим заканчивается доказательство. Замечания. !) Формула (6) и предложение 9 показывают, что замыканием камеры С служит пересечение замкнутых полупространств, ограниченных стенками камеры С и содержащих С. 2) Пусть Р— ячейка с гиперплоскостью Ь в качестве носителя. Мы хотим показать, что существуют две камеры, для которых Р— грань.
Пусть У( — множество гиперплоскостей Н 4= Е из Р. Положим А=РЯ(Р) и обозначим через Ре и Р открытые полупространства, ограниченные Е. Множество А открыто и содержит Рс: Л, а поскольку любая точка из Е принадлежит замыканию полупространств Р+ и Р, множества С+ = А Д Р+ и С =А() Р непусты. Они являются камерами. Далее, гиперплоскость Е пересекает Ря(Р) = = Ря(С+).
Предложение 4 показывает, что Š— стенка камеры С, а ячейка Р, пересекающая Ь () Ре(Р), является гранью С+. По тем же соображениям Р— грань камеры С . Наконец, пусть С вЂ” камеры с гранью Р, и предположим, например, что Р" =РА(С). Согласно предложению 4, множество .Ря(С) пересекает Р и, следовательно, совпадает с Ря(Р). Имеем С = РС (С) = РА (С) () Ри (С) = Ре () Ря (Р) = С 5.
Двугранные углы Напомним (А(у., сЬар. П, 3' ед., 9 9, п'3), что два аффинных подпространства Р и Р' пространства Е называются параллельными, если существует вектор 1 в Т, такой, б е ГипеРплоскости, кАмеРы и ячеики 79 что Р'=с+ Р. Ясно, что отношение „Р и Р' параллельны" является отношением эквивалентности на множестве аффинных подпространств пространства Е. Леммь !. Две непараллельные гиперплоскости имеют не- пустое пересечение.
Пусть Н и Н' — две непараллельные гиперплоскости и а Р:- Н, а' ен Н'. Тогда найдутся две гиперплоскости М и М' векторного пространства Т, д.чя которых Н= М+ а и Н'= =М'+ а'. Поскольку Н и Н' непараллельны, М Ф М', откуда Т=М+М'. В таком случае существуют и САМ и и' ее М', такие, что а' — а = и — и', и точка и + а = и' + а' принадлежит Н П Н'. Леммь 2.
Лусть Н и Н' — две различные гиперплоскости в Е и !', ~' — две аффинные функции на Е, такие, что Н (соотв. Н') состоит из точек а ~ Е, в которых )(а) =-О (соотв. 1'(а)=О). Наконец, пусть Š— гиперплоскость в Е. Предположим, что выполнено одно из следующих условий: а) гиперплоскости Н, Н' и Е параллельны„ б) гиперплоскости Н и Н' не параллельны и Н() Н'~ Е. Тогда существуют два вещественных числа 7,, 7;, не равные одновременно нулю и такие, что Е состоит из а е= Е, в которых обращается в нуль аффинная функция Е=Х.(+ Утверждение леммы тривиально, если Е = Н, и мы можем предположить, что существует точка а на Е, а~ Н. Положим Х=Г'(а), Х'= — )(а) и у=7.~+7'.~'.
Тогда Х' ~ О, поскольку а ~ Н. Далее, ввиду Н Ф Н' существует точка Ь ее Н, не лежащая на Н', и, значит, )(Ь) =О, )'(Ь) Ф О, так что д(Ь) = — 1(а).Т'(Ь) отлично от нуля. Множество Т., точек, в которых обращается в нуль аффинная функция д Ф О, будет гиперплоскостью в Е, причем а ~ Еп ибо д(а) =О. а) Предположим, что Н и Н' параллельны.
В любой точке пересечения Е, П Н обращаются в нуль функции д и т, а следовательно, и )', поскольку 7' Ф О. Значит, эта точка принадлежит и Н'. Но так как Н и Н' параллельны и различны, то они не пересекаются и, стало быть, Е, () Н= Я. Лемма 1 показывает, что 1,, параллельна Н. Но а ее Е и а я Е„поэтому Е=ЕР б) Предположим, что Н и Н' ие параллельны. По лемме 1 существует точка с в Н ()Н'. Снабдим Е структурой векторного пространства, выбрав в качестве начала точку с.
Тогда ао ГЛ, Ч. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 6 НЙ Н' будет векторным подпростраиством коразмерности 2 в Е и, поскольку а Ф Н, векторное подпространство М в Е, порожденное НЙН' и а, будет гиперплоскостью. Так как НЙН' ~ЕЙСК! и аея ЕЙ 1 н то М ~АЙНО откуда М =Е=1, ПРедложение 10. Пусть С вЂ” камера, Н и Н' — две ее стенки и Š— гиперплоскость, пересекающая Пн(С) Й Пн (С). Предположим, что Н отлична от Н' и что выполнено одно из следующих условий: а) гиперплоскости Н, Н' и Е параллельны; б) гиперплоскости Н и Н' не параллельны и НЙ Н' с- Е. Тогда Е пересекает С. Пусть Ь (соотв. Ь') — точка на грани камеры С с носителем Н (соотв.
Н'). Совершенно очевидно, что любая точка Отрезка (ЬЬ'), отличная от Ь и Ь', принадлежит камере С. Рассмотрим аффинную функцию ), обращающуюся в нуль на Н и такую, что 7(х)) 0 для х из Рн(С). Введем аналогичную аффинную функцию 1' для гиперплоскостн Н'. Применяя лемму 2, мы можем найти числа Л, Л' и аффинную функцию у, обладающие указанными там свойствами. Тогда (л, л') ~ (о, о) и д бой х ЕЙп (с)Йп ° (с) будет 1(х) > О, ~'(х) > О, а Л.)(х)+Л'.1"'(х)=0, откуда ЛЛ' < О. Сверх того у(Ь)= Л'.1'(Ь) и у(Ь') =Л.1(Ь'), а так как 1(Ь') ) О, 1'(Ь) > О, то д(Ь).у(Ь') < О.
Точки Ь и Ь' лежат строго по разные стороны от гиперплоскости Е, и существует точка с из Е, лежащая на (ЬЬ') и отличная от Ь, Ь', а потому принадлежащая С. 6. Примеры: симплициальные конусы и симплексы а) Пусть а — точка пространства Е и (е„..., ег) — базис в Т. Любая точка из Е записывается тогда однозначно в виде х=а+5,.е,+ ... +$г.ею (7) где $О ..., $г — вещественные числа. Обозначим через е,' аффинную функцию на Е, которая при любом х ГЕТЕ, запнсаином в виде (7), принимает значение $Н Обозначим, далее, через Н, гиперплоскость, состоящую из тех х, для которых е1(х)=0, а через 9 множество гнперплоскостей Н„..., Нг. Для любого подмножества У множества 1=(1, 2, ..., Г() положим Ну = П Нь Для любой последовательности (е„..., ее) чисел, равных О, 1 нли — 1, обозначим через Р(ен ..., Ее) множество тех хеи Е, для которых е,'(х) имеет тот же знак (Общ.
топ., гл. 1Ч, $ 3, и'2), что и ен при в $1. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, КАЛ1ГРЫ 11 ЯЧЕЙКИ 8! всех 1 из !. Ясно, что ячейками в Е относительно 9 будут множества р(е„..., е„) и что эти множества попарно различны. Носителем ячейки Р(еи ..., Е„) служит Н», где У— множество 1ее1, таких, что е1=0. В частности, камерами будут множества вида Р(еи ..., е»), где каждое из чисел е, равно 1 или — 1.
Множество С=р(1, ..., !), состоящее из х с е,'(х)>0 при любом 1ен1, является камерой, которая называется открытьсм симплициальным конусом с вершиной и, определеннь1м базисом (еи ..., е„). Его замыкание прн й> ! состоит из точек х, таких, что е;'(х)>0 для любого 1'Г-:1. В противном случае замыкание пусто. Для любого подмножества У ~1 обозначим через С» множество точек х пространства Е„для которых е1(х) =0 при Лен У и е1(х) > 0 при 1 ~ 1 — !. Тогда С» — ячейка с носителем Нм являю1цаяся открытым симплициальиым конусом с вершиной а в аффиниом пространстве Нл Далее, С = О См В частности, стенги 1 ками камеры С служат гиперплоскости Н, для 1~1, а ее грань, содержащаяся в Н„совпадает с С!и. Ни одно из множеств Ни Нм С, С» и г(е„..., е») не изменится, если перейти от базиса (еи ..., е») к базису (А1е„..., Х»е ) с Х, > 0 при всех 1.
б) Пусть теперь в Е задана аффинно свободная система ТОЧЕК, СКажЕМ (ась а,, ..., а»). ИЗВЕСТНО, Чта КажДаЯ тОЧКа в Е однозначно записывается в виде х=йь.аь+ "-+ ь» ° а» где $», ..., 5» — вещественные числа и $о+ ... + Е» = ! (А1р., сЬар. П, 3' ед., 5 9, и'3). Определим аффинные функции 1„..., 1», полагая, что функция !1 ставит в соответствие каждой точке х число $1 из предыдущей формулы. Обозначим через Н, гиперплоскость в Е, определенную уравнением !1(х) =О, а через ф множество гиперплоскостей Нь, Н„..., Н». Наконец, положим 1=(О, 1, ..., а). Назовем открытым симплексом с вершинами аьь ..., а„множество С точек х из Е, таких, что 11(х) > 0 для любого 1'ее!.
Это одна из камер в Е относительно ф. Замыкание С камеры С состоит из точек х е= е, таких, что !1(х)>0 для любого Ля!. Это выпуклая оболочка конечного множества (аь, ..., а»), и легко видеть, что экстремальными точками С будут ар, ..., а„. Для любого подмножества Ус:1, отличного от 1, положим Н = П Н, и обозначим через С» множество точек х 1 из Е, таких, что !1(х) > 0 при !я К и 11(х) < 0 при 1' я! — У. Множество С» является открытым симплексом в аффинном ве гл. у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
