Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ье — — Ь, ... Ь . то Ь1 щ Ь/ (В () й/), 1 ~ <1' (~ ц. !8) Вернемся к обозначениям и понятиям из п'2. Пусть Р1 — вектоРное надпространство в йк, порожденное элементами е, ..., е! (1(~ 1' ~ (и — !). 1' ''' а) Показать, что для любого подмножества Х множества 5 подгруппа 6 (п'5) состоит из элементов а щ 6, таких, что а(!г,.) Р при всех у, которым отвечают е/ Ф Х. б) Пусть l — ансамбль, ассоциированный с системой Титса(6, В, йг, В) (упражнения !О и 12).
Показать, что отображение !, которое точке д6!1! ансамбля ! (здесь 6 обозначает подгруппу Оз ( ) группы О, т. е. стаби- 6) лнзатор надпространства г1) ставит в соотнетствие векторяое подпространство й(рг), является биекцией ансамбля / на множество Е векторных надпространств в Ьл ( ~ (0) н Ф Ьк), согласованной с действием группы О. в) Назовем флагом векторного пространства Е соверщенно упорядоченное ~о включению множество векторных надпространств в Е. Показать. что элементы а,, аа ансамбли ! принадлежат одной и той же ячейке в том и только том случае, когда (/(а,), ..., !(а„)) — флаг в Ьа. г) Показать, что 6 действует дважды транзитивно на множестве векторных подпространств размерности ! в Ьл.
Пусть пк2, и пусть Ь/,— подгруппа в 6, порожденная элементом, который переставляет е, н е„ оставляя неподвижными другие е!. показать,что (О, О11, Аг1) — система Н) Тнтса с группой Вейли порядка 2. д) Предположим, что поле Ь коммутатнвно. Положим 6'= Я. (п, Ь), В'= 0'ДВ, Ж'= 6'Пй! и Т' ЬР()В'=Т ДО', Показать, что Ь/'/Т' отождествлиется с юк и что (О', В', Ь!', 8) является системой Титов (рассуждать, как в и'2).
19) Пусть й — коммутативное поле характеристики чь 2 и 0 — квадратичная форма х,х +ха иа й. Показатуч что группа 8О(0) дважды з з траизитивио действует иа множестве изотропиых прямых в Ьз. Сравнить соответствующую систему Титса (упражнение 7) с системой. построенной в п'2 для а = 2 (ср. Алг., гл. 1Х, $9, упр. 15). 3 лак. 61. Н. БуРбаки бб ГЛ. |У. ГРУППЫ КОКОТЕРА И СИСТБМЫ ТИТСА Ь 3 20) Вновь используем обозначения из п'2, предполагая дополнительно поле Ь коммутатнвным. Имеем один из следующих случаев." (В!) л = 21 + 1, где 1 ь !. характеристика поли Ь отлична от 2, а на йл задана квадратичная форма 0 = «|х„ + + х!х!4.з + х|.!.| (С|) л = 21 (1 ~ !), а на Ь" задана знакоперемеиная форма Ф, такая, что Ф(е, е )=О для ! (|'(л, ! ь„."!(л н | ~), исключая случай |' ~1, /= и+ ! — 1, когда Ф(е|, е1) = 1; (а!) л = 21 (1ж 2), характеристика поля й Ф 2, а иа й" задана квадратичная форма а = х,х„+ ... + х,х, Обозначим через а, специальную ортогональную группу $0 (Сг) в случаях (В|) и (О!) н через $р(Ф) сичплектнческую группу в случае (С|).
Положим В,=а,()В, М,=а,()М и т,=а,()т=В,()Мь а) Показать, что действие группы М, на множестве прямых Ьег определяет гомоморфизм группы М, с ядром т, на подгруппу йг| группы !Вл, позволяюшнй отождествить %', и М,)т,. Показать, что )Р| — подгруппа гРУппы |Вл поРожденнаЯ: в случае (В|) элементами о = я .|„1 ! (1<1, и о! — — я я|я! в случае (С ) элементамн о = я я„, ! ( ! <1, и о! — — я; в сзучае (Р ) элементамн о =я з„.
!~(1<1, ног — — 'в|,ягяг з1+,я1. б) Пусть 5 — множество элементов о для ! (~!(~1. Показать, что ! 1 (6|, В|, М,, 5|) ивляется системой Титса. (Доказательство того факта, что подгруппа Н группы 6|, порожденная подгруппами В, и М|, совпадает с 6ь проводится так же, как в А1я., с)|ар. П, 3Я еФ, й !О, п' !3, н основывается иа двух замечаниях; !) Н содержит большую нижнюю треу|ольиую подгруппу группы 66 2) для любого набора $! сы Ь (2( |(л) существует матрица Ь =(Ь|!)снв,, в которой ьц —— ), ьп й| для 2(1(л — 1, а ь~„— — сл в случае (сг), Ь|„= О в случаях (В1) н (Т|!). Затем рассуждать так же, как в п'2, вводя подгруппы 6ь1= 6,()(61 6„1) для ! ~(1<1 и подгруппу аь! элементов в 6,, которые оставляют неподвижными: в случае (В,) векторы я, для | чь 1, 1 + 1, 1 + 2 и подпространство.
порожденное векторами е, е, и ег+ ! в случае (С) векторы е,. дли 1Ф1,!+ ! и плоскость, порожденную векторамн я и я в случае (П ) векторы е| для 1<1 — ! нли 1)1+2 и две плоскости, поРожденные соответственно векторами е! |, е|~| е|, е|+з. Показать, что 6|1 отождествляется нлн с 6Е(2, Ь), нли с $!.(2, Ь), или со специальной ортогональной группой из упражнения !9.) ' в] Показать, что граф Кокстера группы йт, принадлежит соответственно типу (В|), (С1) илн (!)!) (гл. ||1, з 4, и' !)., г) Показать, что для всякого подмножества Х ~ 5| подгруппа а, „ состоит нз элементов и ~ аь таких, что А| И!!) = г! при всех 1, которым отвечают о! Те Х, за исключением случая (О!), когда то же самое утверждение остаетсЯ веРным, если под )гг-, понимать подпростРанство, порожденное векторамн я„..., е,—, и е,+ь Получить отсюда, как н в упражнении !3, б), биекцию 1 ассоциированного с системой (аи В!) УПРАЖНЕНИЯ ансамбля на множество вполне изотропных надпространств ФО в случаях (ВГ), (С!) н на множество вполне нзотропных подпространств размерности ФО и чьг — 1 в случае (Р!).
Показать, что точки ап ..., а в / принадлежат одной и той же ячейке в том и только том случае, когда (/(а,), ..., !(аа)) — флаг. 21) Пусть А — дискретно нормированное кольцо (Ком. алг., гл. )/!, $ 3, и'6), ш — максимальный идеал, у — его образующая н К вЂ” поле отношений кольца А. Пусть 6 — группа БЕ (2, й),  — подгруппа в 6, /а ЬГ состоящая нз матриц ~ /, таких, что а, Ь, азы А н ссипГ (причем с а аа — Ьс = !), и М вЂ” подгруппа группы О, состоящая из матриц, у которых в каждом столбце н каждой строке имеется только один отличный от нуля элемент.
а) Показать, что Т = В Г) Н вЂ” нормальная подгруппа в М и что )Р = Н/Т бесконечная днэдральная группа, порожденная классами з /О 1) / 0 у) и з' матриц ( ) и ! / соответственно. ~1 О/ ~-у- О/ б) Показать, что (6, В, Н. 5) (где 5 =(з, з')) является системой Титов. в) Пусть Н= БЕ !2, А) — подгруппа группы О, состоящая из матриц с коэффициентами в А. Показать, что (Н, ВДН, Н, (з)) — система Титса. Сравнить ее с системой в упражнении 18, д). г) Пусть А — пополнение кольца А, и пусть 6, В, Н, Т вЂ” группы, определенные, как выше, но с заменой кольца А на А. Показать, что вложение 6 в О определяет изоморфизм / ассоциированного с (О, В) ансамбля Г (упражнение 10) па ассоциированный с (О, В) ансамбль /.
Пусть (/, Я) (соотв. (/, Я) — структурный ансамбль, ассоциированный с (О, В, Ч) (соотв, (О, В, Й) (упражнение 12). Показать, что Г(Я)~: Я, ио что Г (Я) Ф Я, если А Ф А . (Заметить, что апартаменты из Я (соотв. Я) взаимно однозначно соответствуют подгруппам, сопряженным прн помаши влементов нз 6 (соотв. 6) с Т (соотв. Т). 22) Пусть 6 — группа и  — ее подгруппа. а) Установить эквивалентность следующих условий: 6) В ДЯВЯ-' имеет конечный иилекс в В для всех д гж О: (!!) любой двойной смежный класс ВяВ относительно В является конечным объединением левых смежных классов относительно В. Более точно, показать, что для любого угм 6 индекс а подгруппы В Г) ЯВЯ-' в В равея числу левых классов относительно В, содержащихся в двойном классе ВАВ. Показать, что у А < У .
ра ДлЯ всех У, й Щ О. ХА д' И Мы буден предполагать в дальнейшем, что условия (1) и (В) вьполнены, и обозначим чеоез /г некоторое конмутативное кольцо. Для Г щ 6/В (соотв. ! си В)6/В) обозначим через аг отображение 6 в Ь, определенное следующим образом: а (у) =О, если д чч/, и аГ(д) =1, если у щ /. Пусть В (соотв. Н) — Ь-модуль, порожденный а для всех ! сн О/В (соота. Г ся В',О/В). б) Показать, что существует, н притом единственная, линейная форма р на /„такая, что р(а,) =1 для всех ! гж 6/В. в) Пусть фен ь и ф ем Н. Показать, что прн всех к си 6 отображение 0„: у ь-м ф(у) ф (у-'х) принадлежит к /. и что отображение ф ч ф х ь — ы р (8„) тоже принадлежит к В. Если, кроме того, ф гм Н, то ф ч ф си Н.
Показать, что 53 ГЛ. !Ч. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА $2 отображение (<р, ф)>-ы <р ф ааделяет Н структурой алгебры над й, до- пускающей ал в качестве единичного злеиента, и определяет на 5 структуру правого Н-модуля. Алгебра Н называется алгеброй Гекке группы 6 относительно под- группы В и обозначается через Нз(6, В). г) Показать, что при 1, 1'ш В(6/В имеет место соотношение пк — — Х ш(1,1: 1") пгя где ш (1, 1', 1") — число смежных классов относительно В, содержащихся в 1ПЕ1' для любого йш1", д) Группа 6 действует на Ь левыми переносами.
Показать, что действие Н па 5 определяет изоморфизм алгебры Н иа коммутант полу- чающегося при этом линейного представления 6 в 5. з е) Предположим, что 6 — кояечнал группа и что характеристика кольца й не делит порядок группы 6. Показать, что кольцо Нз(6, В) абсолютно полупроста над й (Алг., гл. ЧП1, э 7, и' 5) (воспользоваться теоремой Машке (гл. Ч, Дополнение) и предложением 3 из Алг., гл. ЧП1, и 5. и' !).» е) Предположим, что 6 — топологическая группа н  — ее открытая компактная подгруппа. Показать, что условия (!) и (П) выполнены и что, когда й = )! или С, произведение ~р * ф совпадает со сверткой относи- тельно правой меры Хаара на 6, нормированной условием р(В) = ! (см. Ингзгр. гл.
ЧШ, $4, и'5). 23) Пусть (йг, 5) — систеиа Кокстера н й — коммутативное кольцо. Предположим, что при всех з ш 5 заданы дэа элемента Лз н Из кольца й, такие, что Лз=Лз. н и =р „когда з и з' сопряжены в )Р. Положим Е=й и обозначим через (егз) каиокический базис в Е. ! н'! а) Показать, что иа Е существует однозначно определенная струк- тура алгебры над й, такая, что для любых зна 5 н ш щ )р' "'-=( .. е„„, если 1(зщ) )1(ш); Лзеы+ рзезя„если 1(зш) <1(ы). (Ввестн при помощи этих формул эндоморфизм Р, пространства Е, -! полагая езе,з — — Рз(ш), н эндоморфизм Яз=!Рз1, где ) обозначает автоморфизм пространства Е, определенный соотношением 1(е ) = е Показать, что РЯ1= 62Рз для з, 1ш 5, заметив при этом, что условия 1(зы1) =1(ш) и 1(зш) 1(шг) влекут равенство зш ш1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
