Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Каждая ячейка лежит в одной из половин, определенных стенкой ьг. Если две ячейки содержатся в разных половинах, то мы скажем, что они лежат по разные стороны от С!или чта степка Сг их разделяет. ж) Пусть ю зм йт. Показать, что 1(ю) равно числу стенок, разделяющих камеры С н и (С). э) Показатьз что отображение зр, которое половине А (1) (санта. Я (1)) сопоставляет пару (1, 1) (соотв.
( — 1, 1)), есть биекция множества 2Е половин множества А на множество )7=(1, — 1) )ч г (ср. и'4). Заимствуя понятия леммы 1 нз и'4, показать, что у(ю (И()) = См(у(М)), каковы бы ни были ю щ йу и И( щ 20). 17] Сохраним обозначения упражнения 16 и предполохзпм, что группа В' конечна.
Пусть 9 — множество стенок в А. Каждой стенке Н зп 9 сопоставим половину Н+, определенную Н и содержащую камеру С. Показать, что элементы нз 2! можно пронумеровать так, что отображение ) -ь Д Н+ будет строго убывающим на интервале !<1 11, Спгб (9)). (Рассмотрим семейство Рт пересечений множеств Н, упаря.ючсн»ых по включению, и строго убывающую последовательность (Ее.. гч) максимальной длины элементов из 5. Для любого Н щ Ь су!цествует 1 такое, чта Н => Р1 при 1) 1 и Н ф г",, Показать, что Гз-Н" () Р, ь) 18) Пусть А — апартамент (упражнение 10). Перегибом апартамента А назовем такой его эндоморфизм л, что лг=л и каждая камера а А является образом при л либо О, либо 2 камер. а) Пусть и — перегиб апартамента я и С вЂ” камера в А такая, что л(С) = С.
Для любой смежной с С камеры С'мы имеем либо л(С') = С; либо л(С ) = С. Если и щ С, то л(п) и. Пусть (С, =С, С,, С»)— галерея. Показать, что либо л(С!) С! длп всех 1, либо (Се, л(С,),... ..., л (С„)) неминнмальна (и имеются две одинаковые последовательные камеры). Получить отсюда, что минимальная галерея с концамн, инвариантпыми относительно л, сама инвариантна относительно л. Если (С Сь Сп..., С„) — минимальная галерея и л(С») Ф С», то существует такой индекс 1, 0 <1<», что л(С1) = С при 0<1<1 и л (С1) Ф С) при !<!<и. б) Пусть Са Сз — две различные смежные камеры и л, л' — два перегиба апартамента А, Предположим, что л(Сз) = С, и л'(С,) =Се. Пусть С вЂ” камера.
Рассмотрим три следуюгцих условия: (1) л(С) С; (2) б (С, Сз) < б (С, Сз); (а) л'(С) чь С. Показать, что (1) =(ь (2) =р (3), и получить отсюда, что эти три условия эквивалентны. Показать, что л (соотв. л') — единственный перегиб лзно- УПРАЖНЕНИЯ 51 мсества Л, переводящий С, (соота. С1) а С, (соотв. Ст!. 1Пусть усло/ вие (2) выполнено, и пусть (С!, Сз,..., С„=С) — минимальная галерея. гl I \ /г / Показать, что л (С ) — единственная камера, отличная от л (С.) и ( (е1) г содержащая перегородку л (С1ПС;+!).) Показать, что л ((2) и л ((в) образуют разбиение множества 6 камер в Л и что л(а) =л'(а) = а для всех а щ л (А) () л'(А).
Показать, что отображение А в себя, совпадаю- щее с л' на л(А) и с л на л'(А), является инволютнвным автоморфиз- моч множества А. Он называется отражением относительно перегородки С, () С,. Показать. что это — единственный нетривиальный автоморфизм множества А, оставляюьций неподвижным все точки С~ () Сэ (использо- вать упражнение 5,б)). в) Пусть А — апартамент, ассоциированный с системой Кокстера (йу, 5).
Вернемся к обозначениям упражнения !6. Пусть С, и С, — две смежные камеры и 1 — такой элемент из Т, что стенка 1,г является носи- телем перегородки С, ()С,. Пусть М( — половина А, определенная йг и содержащая С1 (для / =-1, 2). Показать, что отображение л, определен- ное равенством л(а) а, если а щ Мп н л(а) =1(а), если ля Мз. есть перегиб апартал1ента Л, для которого л(Сз) = Со и что отражение отно- сительно перегородки С, () Сз есть отображение ам-э 1(а).
19) Пусть Л вЂ” апартамент. Предположим, что лля произвольных раз- личных смежных иамер С, н Ст существует перегиб (упражнение 18) множества А, переводящий С, в Сэ Пусть С вЂ” камера в А и (С;]; г — семейство камер, смежных с С и отличных от С.
Обозначим через зг отражение относительно перего- родки СПС! (упражнение !8, б)). Положим 5=(з!(1~ы() и обозначим через %' группу автоморфизмов апартамента Л, порожденную элементами 5. а) Показать, что для любой камеры С' найдется такой элемент вщйт, что С'= в (С) (провести индукцию по длине Ы(С, С')), б) Показать, что (йу, 5) является системой Кокстера. (для 1 ев 1 положить Р =(в ы йу (в(С) слг(А)), г где л — перегиб, переводящий С! в С, и показать, что условия предло- жения 6 выполнены.
Для доказательства выголиимости условия (С') сле- лует заметить, что если в~Р и юз ФР,, то ~г ~! в (С) () вз (С) с л (А) () згл,. (А). Так как камеры в(С) и вз1(С) — смежные, то мы получаем отсюда, что з! = взтв ' (упражнение 18, б).) в) Пусть Р— ячейка камеры С. Показать, что стабилизатор йт Р ячейки Р в йг порождается элементами з; щ 5, для которых Р()С()Сь (Пусть в гы йуп с 1 (в) > 1, и пусть 1ы 1 таково, что ю = з,ю' с ((в')= =1(в) — 1. В силу предложения 6 имеем в'я Р, откуда ю (С) с э!' с зтлг (А), Рс л! (А) () зал!(А) и зг я йгл.) В частности, в (С) = С тогда и только тогда, когда в = 1.
г) Показать, что отображение а! — э йг( ! является изоморфизмом апартамента А на апартамент, ассоциированный с (йт, 5) (упражнение 16), и что этот изоморфизм совместим с действием группы йу. 20) Пусть А — ансамбль и 5 — множество, Мы скажем, что А про лрлероааи множеством 5, если задано отображение ( множества Л в 5 52 ГЛ. гЧ. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА $ ! такое, что для любой камеры С ансамбля А су кение ( на С есть биекНия камеры С на 5.
Если Р— ячейка в А, то ((Р) называется ее типом. Пусть А — пронумерованный ансамбль. Эндоморфнчм ф ансамбля А наэываетси оолустнмым„если а и ф(а) имеют один п тот же тип три всех а щ А. а) Пусть ф — зндоморфизм ансамбля А. Показать, что если в А ес (а) ~~~~~ озгинакоаый то ф — допустимый эндоморфизм. Показать, что если А — апартамент к л — его перегиб (упражнение 18), то л — допустимый эндоморфизм. б) Подмножество О ~: А называется выауклым, если длн любого а щ А — 0 существует допустимый зндоморфпзм ф ансамбля зэ, такой, что ф(х) = х при всех х щ 0 н ~! (а) Ф а. Показать, что пересечение выпуклых подмножеств всегда выпукло и что для любого подмножества Ощ А существует наименьшее выпуклое множество, его содержащее. Это выпуклое множество называетсн аылуклой ооолочкой множества 0 н обозначается символом Г(О), 21) Пусть (йг, 5) — система Кокстера и А — ассоциированный с ней апартамент (см.
упражнение 16, обозначений которого мм придерживаемся). а) Показать, что существует, и притом единственная, нумерация (называемая канонической) множества А, для которой тип ячейки Р совпадает с типом, определенныч в упражнении 16, в). Мы будем всегда рассматривать А с этой нумерацией. б) Покачать, что допустимыми автоморфнзмами апартамента А являютси действия элементов группы йу. в) Пусть 0 — подмножество в А, содержащее хотя бы одну камеру. Установить эквивалентность следующих условий: (!) О есть пересечение половин множества А (упражнение 16, е)), содержащих 0; (!1) 0 выпунло; (!и) каковы бы ии были ячейки Р, и Рт, содержащиеся в О, выпуклая оболочка множества Р~ О Рз содержится в 0; (!У) каковы бы пи были камера С, и ячейка Р, содержащиеся 'в О, и какова бы нн была гачерея (С„..., С„), обладающая наименьшей возможной длиной н такая, что Р щ С„, имеют место включении С! <: О, 1«'<л.
(Для доказательства нмпликации (!!!) р (!Т) использовать упражнение 15, 6).) При доказательстве нмпликации (1т) 4з (1) провести рассуждение от противного. Пусть О' — пересечение половин апартамента А, годеРжаших О. ПУсть ащ0' — О, Се — камеРа в О и (Се, Сь ., С„)— галерея наименьшей длины, для которой а щ Сл Тогда С! с (У для всех О Показать, что существует такое целое число 1, Оц.') ( и, что С; ~: 0 и С!+, (С О, Пусть М (соотв. М') — половина А, определенная стенкой— носителем перегородки С!!)С!ь1 и содержащая С! (соотв. С!+,).
Показать, что 0(С М. Пусть Ь щ ОЙ(А М) и Г (С(, С!,..., Ср) — галет l рея минимальной возможной длины, для которой Ь !в Ср. Тогда Сь О, !. й < р, и С' щ М . Пусть л — перегиб апартамента А с образом М' (упражнение 16, в)). Тогда л (С!) = С!+о н галерея а (Г) неинъективиа (упражнение 16, а)). Если Г' (Сг+!, Сз',..., Ср' з, Ср) — галереи, которая получается из л(Г) удалением одной из двух последовательных а а гз одинаковых камер, то галерея (С1, С(+!, Сг,, Ср т, Ср) будет уже минимальной, согласно определению галереи Г.
Из условия (!Т) вытекает тогда, что С)+, <= О. Противоречие.) УПРАЖНЕНИЯ 22! Сохраним обозначения упражнений 16 н 21. а) Пусть ! ш Т н и ш йт. Показатгь что камеры С н и (С) разделены стенкой Ег в том и только том случае, когда 1(1и) ( 1(и) (воспользоиаться перегибом на половину А~ (!)), б) Пусть из ш Ч7. Установить эквивалентность следующих условий: (И 1(иио) = ! (гео) — 1(и) для всех и ом Ф'! (!!) 1(!ио) ( ! (ио) для всех 1оы Т; (111) каков бы нн был элемент ! ш Т, камеры С и ио (С) разделяются стенкой 1.г.
Для доказательства импликации (!1!)М)з(!) воспользоваться упражнением !б, ж)). Показать, что элемент ио с описанными свойствами определен однозначно и существует в том и только том случае, ногда группа йг конечна. Тогда им является элемент наибольшей длины в В', характеризуемый тем, что (1ч) ! (зио) ( ! (гео) для всех з ш 5. Кроме того, мох= 1, из5ио — — 5 н !(из) = Сагб (Т). в) Пусть группа Ф' нонечна. Показать, что для любой камеры Сэ существует, и притом единственная, камера — Со, такая, что Со()( — Со) ие содержится целиком ии з какой половине апартамента А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
