Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 7
Текст из файла (страница 7)
а, с:Н, и доказательство закончено. ГЛ !Ч ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА Следствие. В предположениях теоремы 5 группа 6,/(О, () Л) либо является некоммутативной простой, либо сводится к единичному элементу. Согласно теореме 5, группа 6,!(6, Д х) либо проста, либо состоит только из единицы. Но условие (3) требует, чтобы она совпадала со своим коммутантом.
Отсюда вытекает утверждение следствия. Замечания. 1) Условия (2) — (4) не использовались при доказательстве того, что (6', В', й!', Я') является системой Титса. 2) Предположим, что ЯДУ=(1). Так как л и У нормальны в В, то каждый элемент из Е коммутирует с любым элементом из У, а тем самым и с любым элементом из 6,. Ввиду предыдущего следствия это означает, что 6, Д с— центр группы ОР 3) Предположение (3) вытекает из следующего условия: (3') У порождается коммутаторами Ь 'и ~Ьи, где и ~:— У Ь Я В Я ОР !!римеры. 1) Пусть й — поле, и — целое число ) О, 6 = 61. (п, й) и (6, В, л(, В) — система Титса, описанная в п" 2. Пусть У вЂ” верхняя строго треугольная группа, т. е.
подгруппа в В, состоящая из матриц с единицами на главной диагонали. Условие (1) теоремы 5 проверяется немедленно. То же относится к условию (2), так как У разрешима. Условие (4) выполнено, если п>2. Можно доказать (см. Ллг., гл. П, 3-е изд., з 10, упр. 13), что условие (3) выполняется, если и ~ 3 нли и = 2 и Сагд (й) ) 4, Прн этих условиях заключаем, что группа 6,!(6, Д 5) простая и что 6, Я Е— центр группы 6, (см. замечание 2).
Когда й коммутативно, то 6, = 81.(п, й), см. Ллг., гл. 111, 3-е нзд., 4 8, п'9. '2) Пусть й — простая алгебра Ли над С и 6 — группа ее внутренних автоморфизмов (см. гл. П1). Используя теорему 5, можно показать, что 6 — неабелева простая группа, ° Дополнение ГРАФЫ л.
Определения Опгаделвнив 1. Комбинаторным графом (или просто графом, когда исключены какие-либо недоразумения) называется пара Г=(А, 5), где 5 — множество и А — подмножество в а. (5), образованное множествами из двух элементов. Пусть Г(А, 5) — граф. Элементы из А называются ребрами, а элементы из 5 — вершинами графа Г.
Говорят, что две вершины х и д соединении если (х, у) есть ребро. Вершина называется концевои, если она соединена не более чем с одной вершиной, и точкой ветвления, если она соединена по крайней мере с тремя вершинами, Согласно общим определениям (Теор. множ., Сводка рез., 5 8), изоморфизм графа Г на граф Г'==(А', 5') есть биективное отображение 1 множества 5 на 5', которое переводит А в А'. Граф Г'=(А', 5') называется подграфом в Г, если 5' с: 5 и А' ~ А.
Говорят, что Г' — целый подграф в Г, если 5' ~ 5 и А' = А () д$(5'). Ясно, что любое подмножество множества 5 совпадает с множеством вершин одного и только одного целого подграфа графа Г. Для наглядности граф изображают фигурой, которая состоит из точек, соответствующих вершинам, и из отрезков, связывающих две точки тогда и только тогда, когда представляемые ими вершины соединены в графе. Например, фигура изображает граф с вершинами а, Ь, с, й, е и ребрами (а, Ь), (Ь, с), (с, й) и (с, е). 2.
Связные компоненты графа Пусть Г=(А, 5) — граф. Если а и Ь вЂ” две его вершины, то путем, связывающим а и Ь, называется всякая последовательность (хы ..., х„) вершин графа Г с хе — — а, х„= Ь, ло ГЛ. 1Н. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 2 в которой вершины Х~ и Х,+, соединены при 0(1<п. Целое число п)0 называется длиной рассматриваемого пути. Путь называется инъективным, если х~ Ф х~ для ! чь /. Путь (хы ..., х„), связывающий а с Ь и обладающий минимальной длиной, обязательно инъективен: в противном случае нашлись бы 1 и 1 с 0(1</(и и х,=хм так что последовательность (х„, ..., хо х~+и ...„х„) была бы путем длины < и, связывающим а с Ь.
Отношение „существует путь, связывающий а с Ь" между двумя вершинами а и Ь графа Г определяет отношение эквивалентности )т в множестве вершин 5. Классы эквивалентности по )т называются связными компонентами графа Г. Говорят, что граф Г связгн, если он состоит из одной связной компоненты, т. е. если любые две вершины в Г могут быть соединены по меньшей мере одним путем. ПРедложение 1. Пусть Г=(А, 5) — граф и (5„) — семейство гго связных компонент. Обозначим через Г целый подграф в Г с множеством 5 в качестве множества вершин.
(1) Для каждого аеи Л граф Г„связен. (й) Если Г'=(А', 5') — связный подграф в Г, то найдется такое а из Е, что 5'с: 5,. (ш) При а~ и никакой элемент из 5 не соединен ни с каким элементом иэ 5 (нначе говоря, каждое ребро графа Г является ребром в одном из Г,). ((ч) Пусть (5'„) — такое разбиение множества 5, что при А ~ 1х никакой элемент иэ 5' не соединен в Г ни с одним элементом иэ 5'„. Тогда каждое множество 5; есть объединение связных компонент графа Г. (1) Пусть а ен Е и а, Ь ен 5,.
Существует, следовательно, путь с = (хы ..., х„) в Г, связывающий а с Ь. Для любого !, 0 =1 'и, путь (хь, ..., х,) связывает а с х; в Г, откуда х,~5,. Таким образом, с является путем в Г„связывающим а с Ь. Значит, граф Г, связен. (й) Пусть Г'=(А', 5') — непустой связный подграф в Г, а — элемент нз 5' и 5,— связная компонента в Г, содержащая а. Для любого Ь из 5' существует путь с, связывающий а с Ь в Г' и тем более в Г. Следовательно, 5'с: 5,. (ш) При заданных различных и и р из Л и вершинах а~5, и Ьее5 не существует пути, связывающего а с Ь, и, в частности, не существует ребра. соединяющего а и Ь.
ДОПОЛНЕНИЕ. ГРАФЫ (!ч) Пусть а ~ 5' и 5, — связная компонента а Г, содержащая а. Для любого Ь из 5, существует путь (х,, ..., х„) связывающий а с Ь в Г. Если 0 (! < и и х, ен 5', то х, ен 5', поскольку х, соединяется с хГЫ Следовательно, по индукции х,.я5' для 0(1(п и, в частности, Ь х„ принадлежит 5'„. Отсюда 5, ~ 5'„.
Следствие 1. Для того чтобы граф Г(А, 5) был связным, необходимо и достаточно, чтобьс не существовало разбиения (5', 5") множества 5 на два непустых подмножества, таких, что никакой элемент иэ 5' не соединен ни с каким элементом из 5". Пусть Г не связен и 5' — одна из его связных компонент. По предложению 1 (!) 5" =5 — 5' непусто и никакой элемент из 5' не соединен в Г ии с одним элементом из 5", как это утверждает предложение 1 (ш).
Предположим теперь, что Г связен и что (5', 5ч) — разбиение с упомянутыми свойствами. В силу предложения 1 (!ч) множество 5' содержит по крайней мере одну связную компоненту. Значит, 5'=5 и 5" = О, вопреки предположению. Следствие 2. Для того чтооы подмножество 5' множества 5 было объединением связных компонент, необходимо и достаточно, чтобы никакая вершина иэ 5' не соединялась ни с какой вершиной иэ 5 — 5'. Это условие достаточно по предложению 1 (!ч) и необходимо в силу утверждения (ш) последнего предложения. д.
Леса и деревья Пусть Г=(А, 5) — граф. Циклом в Г называется всякая последовательность (х,, ..., х„) различных вершин графа Г, в которой п)3, вершина х, соединена с х~~, при 1(1<п и вершина х„соединена с хн Граф Г называется лесом, если он не содержит циклов.
Любой подграф в Г тогда тоже будет лесом. Связный лес называется деревом. Таким образом, связные компоненты леса являются деревьями. Пведложение 2. Пусть Г=(А, 5) — лес с конечным числом вершин. (!) Если Г обладает хотя бы одной вершиной, то у него есть концевая вершина. ГЛ. Пс ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА (В) Если Г имеет по крайней мере две вершины, то существует разбиение (5', 5") множества вершин на два не- пустых подмножества, таких, что две различные вершины, принадлежащие одновременно к 5' или к 5", не будут соединены. Предполо>ким, что Г имеет по крайней мере одну вершину. Пусть (х„..., х„) — инъективный путь максимальной длины в Г. Вершину хь нельзя соединить ни с какой вершиной у, отличной от хь, х„..., х„, ибо тогда в Г существовал бы путь длины и+ 1, а именно (у, х,, ..., х„), Вершина х, не соединена ии с какой вершиной х;, 2(1(п, в протезном случае (х„, х„..., х,) был бы циклом в лесу Г.
Значит, вершина хь — концевая. Докажем (В) индукцией по числу т вершин в Г. Случай та=2 тривиален. Пусть т' 3 и утверждение (В) доказано для графов с Гп — 1 вершинами. Пусть а — концевая вершина в Г (см. (1)). Применим предположение индукции к целому подграфу, получающемуся из Г выбрасыванием вершины а. Существуют, следовательно, два непустых подмножества 5( и 5>' в 5 с 5(Ц57 = 5 — (а), причем никакая пара вершин из 5> (соотв. 5>') не соединена.
Так как а соединена не более чем с одной вершиной в Г, то она не соединена ни с какой вершиной одного из множеств, например 5>'. Тогда разбиение (5>, 5';О (а)) множества 5 обладает требуемыми свойствами. Ч. Т. Д. Для любого целого числа и 1 обозначим через А„граф с вершинами 1, 2, ..., и и ребрами ((, 1), где 1 — (= ~ 1: 3 -1 и Говорят, что граф Г есть цель длины Гп' эО, если он изоморфен А,„~>. Это эквивалентно существованию в Г инъективного пути (хь, ..., х ), содержащего все вершины, причем вершины х; и х> не соединены при 11 — 11) 1. Пгедложение 3. Для того чтобы граф был цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел конечное ненулевое число вершин и был деревом без точек ветвления. Предположим, что граф à — цепь (хь, ..., х ) с перечисленными свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
