Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 3
Текст из файла (страница 3)
( — 1)""' ож'йг' ') = ! однако Ф(з)=(Ф(з'), в' зрю') и п(з, 1)=п(ь', !)+б, > откуда и следует формула (14). Пусть з, з' ==5 таковы, что р=зз' имеет конечный порядок т. Пусть з=(з„.... з, ) — последовательность элементов из В, в которой зà — — з для нечетных ) и з! — — з' для четных 1. Тогда зг .„„=р =1, и формула (11) дает 1! — — р! 'з, 1(1 '2тп. (1о) Поскольку р имеет порядок т, все элементы 1„ ..., ! различны и !ге„— — 11 для 1(1((т.
Для каждого 1ен Т целое число п(з, 1) равно поэтому О или 2, и равенство (14) показывает, что с1,=!да. Иначе говоря, (П,ПИ) =1бз. По самому определению системы Кокстера суп!ествует, следовательно, гомоморфизм ы (Т„группы Ж в группу перестановок на )т, при котором 11, задается правой частью формулы (13). Тогда П„= П, для любой последовательности з=(з„..., з„), такой, что ез =з ... з„и утверждения леммы 1 сразу следуют из равенства (14). Лемма 2. Пусть з=(з„..., ь,), Ф(з) =(1„..., 1) и в =з, ... з . Пусть Т вЂ” множество элементов гг== Т, для которых т!(в, 1) = — 1.
Для того чтобы з бьлло приведенным разложением ю, необходимо и достаточно, чтобы все 1; были различны. Тогда Т, = [(и ..., 1 ) и Сагб (Т„) =1(в). Как легко видеть, Т ~[!И ..., 1,). Взяв з приведенным, находим сначала, что Сагб Т (1(ж). Далее, если 1; все различны, то п(з, 1) =1 в случае, когда 1 принадлежит последовательности [1„..., 1,) и п(з, 1) = О в противном случае.
Отсюда Т =(1п ..., Гч) и у=Сагб(Т )~(1(ю), что влечет прнведенность з. Предположим, наконец, что 1, = гг при 1 < /. Представляя з, в виде з; = из~и ', где и = з;э, ... з; „ получаем и =э| ... з;-~з~+~ . ° з~-Фры ° ° ° зе а это означает, что з не является приведенным разложением элемента в. ,Г1еммА 3. Пусть в~))т и з~5, причем 1(зи)~(1(ю). Для любои последовательности з = (з,, ..., з ) элементов из Б с в=э, ... з существует /, 1(!'(д, длл которого зз1 ... 3(-~=э~ ... 3! ~зр я 1.
ГРуппы кокстеРА 17 Пусть р — длина в и в'=яв. Ввиду замечания в п'3 1(в')=1(в)+ 1шоб2. Из условия 1(в') ='1(в) и соотношения !1(в) — 1(1в') !е 1(вв' )=1(8)=! следует тогда, что 1(в') =р — !. Выберем приведенное разложение (яь ° ° .. 8Р-1) элемента в' и положим з'=(я, 8;, ..., 8' 1) и Ф(8')= (11, ..., 1'). Ясно, что 8' — приведенное разложение в и что 11 — — 8. В силу леммы 2 элементы 1;,..., 1р все различны, и мы имеем п(8', 8) =1. Так как в — произведение элементов последовательности 8, то нз леммы 1 вытекает, что п(з, 8) = — = п(8', з) шоб 2, откуда п(8, 8) ФО.
Следовательно, 8 равно одному иэ элементов 11 последовательности Ф(з), откуда и следует утверждение леммы. Замечание. Множество Т„, определенное в лемме 2, состоит нэ элементов и1"81в", соответствующих тройкам (в', в", з)сна'Х)УХЗ, таким, что в=в"яв' и 1(в')+ + 1(в") + ! = 1(в). 5. Условие замены Под „условием замены" понимается следующее утвер- ждение о ()У, З)1 (3) Пусть в ~!У, 8~ 5 и 1(яв)~(1(в). Для всякого при- веденного разложении (я,, ..., 8„) элемента в существует такой индекс 1, 1(~1» д, что 881 ... 81 1 =81 ... 81 181. (16) В этом пункте предполагается, что ()У, 5) удовлетворяет условию (3); таковыми являются по лемме 3 системы Кок- стера, к которым применимы, следовательно, все наши ре- зультаты.
Редложвнне 1 11усть 8 е 3 в ен )У и 8 — (8, ... 8 )— приведенное разложение для в, Возможнь1 только два случая: а) 1(яв =1(в)+ 1 и (8, 8„..., 8 ) — приведенное разло- жение элемента яв. б) 1(яв)=1(в) — 1 и существует индекс 1, 1(1~(д, такой, что (81 ° . ° 81 — 1 81+1 ° ° яч) будет приведеннь1м разложением элемента яв, а последова- тельность (8, Я,, Я! о 8 и ..., 8„) — пРиведенным Раз- ложениея в.
Положим в'=яв. Согласно формуле (3) и'1, !1( ) — 1(в') !(1(8)= 1. 18 ГЛ. ПС ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА Рассмотрим отдельно два случая: а) 1(ю') ) 1(ю). Стало быть, 1(ю') = д+ 1 и в' = 88, ... 8, так что (8 8И эч) — приведенное разложение ю'. б) 1(ю')8-'1(ю). По свойству (3) тогда найдется индекс 1, 1(1(д, для которого выполнено равенство (16). Имеем и=88, ... 8~,8г ы ...
8 . ОтКУДа И'=8, ... 8(,эг,ы 8„. Так как о — 1~(1(в')» о, то 1(ю')=о — 1 и (эп ..., 8~ 8;+„..., 8 ) — приведенное разложение для ю'. Лемма 4. Пусть юане' — элемент длины д) 1, Р— множество его приведенных разложений и Р— отображение Р в некоторое множество Е. Предположим, что Р(в) = Р(8'), коль скоро 8=(8„..., 8 ) и в'=(81, ..., 8 ) — элементы множества Р, удовлетворяющие одному иэ следующих условий: а) 8~ = — 8( или эч=э'„; б) для ( нечетного и й четного существуют такие 8 и 8' / в 5, что 8~=88=8 и 8„=8;=8'.
Тогда Р постоянно. во (8~ . эд) 8~ = (81 эч) В...=(эп 8',, ..., 8„8'„8„8, ..., 8 ) для д — й четного и 1(й='д вч+Г А (8~ 8! 8~ 81 8~ эг . 8А) для д — й нечетного и 1»..й~(д. (17) А) Для 8, 8'ЕЕР положим Т=(81, 8„..., 8 1). Покажем, что если Р (8) Ф Р(8'), то Т ~ Р и Р (Т) чь Р (8). В самом деле„ Ге=81 ... 8', значит, 8(в=ээ ... 8', имеет длину < д. Согласно предложению 4, существует индекс 1, 1(1(д, такой, что последовательность и =(8'„ 8„ ..., 8 ,, 8,.+„ ..., 8„). принадлежит Р. Условие а) дает тогда Р(и)= Р(в').
Если бы )чь д, то по тем же соображениям Р(8) = Р(и), откуда Р(8) = Р(8'), вопреки предположению. Значит, 1=д, откуда т = и ьп Р и Р (Г) = Р (в') Ф- Р (8). Б) Пусть 8 и 8' — элементы в Р. Для любого целого числа 1, 0~~1(у, определим последовательность 81 из элементов множества Я следующим образом: э !. ГРуппы кокстегл 19 Обозначим символом (Н1) утверждение „е! ен 0, е1+, ен 0 н г(е1) ~Р(е1~!)". Из (А) следует, что (Нт) =)~(Н1„,) для О < ! < д; но Условие б) пРотивоРечит УтвеРжДению (Нч).
Следовательно, утверждение (Н,) несправедливо, и так как з =в' и е, =е, то Р(е) = Р(з'). Пггдложаниа 5. Пусть М вЂ” моноид (с единичным элементом 1) и ! — отображение 8 в М. Пусть гп(з, з') — порядок произведения зз' для любых двух элементов з и з' из Ъ. Доложим а(з, з') = (! (з)!'(з'))', когда сп(з, з') = 21, ! конечно, (1(з)1(з')) 1(ь), когда т(з, з')=2!+1, ! конечно, (18) 1, когда и (з, з') = со. Если а(з, з')=а(з',ь) для всех зчьз' из 8, то существует отображение д группы (ч' в М, такое, что у(ю)=1(з!)" 1(з„) (19) для любого элемента а! ен (ч' и любого его приведенного разложения (зо ..., зч).
Пусть 0 — множество приведенных разложений произвольного элемента и! ен (Р' и Р— отображение 0 в М, определенное соотношением г" (з,, ..., з,) =1(з!) ... 1(з ). Докажем индукцией по длине элемента и!, что Р постоянно, откуда будет следовать утверждение предложения 5. Случаи !(ю)=0, 1 тривиальны, и мы предположим, что у)2 и что утверждение доказано для всех элементов и! с 1(и!) < о. Пусть длина ю равна д и з, э' — элементы из 0 . Согласно лемме 4, достаточно доказать, что Р (е)= Р (з') при условиях а) и б), сформулированных в этой лемме.
а) Из формулы Рч (з! ° ° ° зч) =1(З!) Р "(З2 ° ° . зч) Р;~'(з! ° ° ° зч-!)1(зч) для ю' — — з, ... в,, и ю" =з ... з и из предположения индукции следует, что Р (е) = Р (в'), если з, =з', или я =3 б) Пусть су1цествуют такие два элемента з, з'чн 5, что з =э~ =э, з =з'= з' для нечетного !' и чЕтнОго й. ДоСтаточно обсудить только случай з Ф з'. В этом случае последовательности е и е' будут двумя различными приведенными 20 ГЛ. 1Ч ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА в разложениями в в диэдральной группе. порожденной з и з'. В соответствии с замечанием из и'2 порядок Гп элемента зз' обязательно конечен н в обозначениях этого замечания з = з и з'=з'„. Следовательно, Р (з) = а(з, з') и Р (з') =а(з' з,), откуда Ри (з) = Р (з').
б. Характеризация грува Кокстера Теогемк 1. Для того чтобы пара ()т", 5) была снеге.чо1с Кокстера, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие замены (3) из п'5. Лемма 3 из и'4 показывает, что системы Кокстера удовлетворяют условию (3). Обратно, предположим, что условие (3) выполнено. Пусть 6 — группа и ! — отображение 8 в 6, для которого (1(з)1(з')) = 1 всякий раз, когда з, з' ~ 5 и зз' имеет конечный порядок тп. Из предложения 5 следует существование отображения у группы В' в 6, такого, что у(в)=1(з)" !(з,), (20) каков бы ни был элемент' в=в, ...
з длины д. Для того чтобы доказать, что пара (У', Я) является системой Кокстера, достаточно убедиться в том, что д — гомоморфизм, а это следует из формулы й( )=7(з)К( ) вена, в~)1', (21) поскольку Я порождает )Р'. Предложение 4 из п'5 оставляет только две возможности: а) 1(зв) =1(в) + 1; если (з„..., з ) — приведенное разложение в, то (з, з„..., з ) — приведенное разложение элемента зв, откуда и следует (21). б) 1(зв) =1(в) — 1; положим в'= зв. Тогда в =зв' и 1(зв') =1(в') + 1. Поэтому нз а) следует, что д (в) = =!(з) д(зв), откуда 1(з)д(в) =д(зв), ибо (!(з))э=1.
7. Семейства разбиений Пусть (Яу, Я) — система Кокстера. Для любого з нз Я обозначим через Р, множество элементов в ~ )Р', таких, что 1(зтс) >! (в). Тогда имеют место следующие утверждения: (А) П Р. = (1). Фнз э к ГРуппы кокстеРА Действительно, пусть ю =Ф 1 в Ф и (з„..., зц) — приведенное разложение. Тогда д) 1 и (з„..., з„) — приведенное разложение элемента з,ю. Поэтому ((Гс)=д, !(з,и)= =д — 1 и тем самым жфР,, (Б) Для любого з из 5 множества Р, и зР, образуют разбиение группы !)т. Пусть вен Ф' и вен 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
