Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней (947349), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Показать, что система Кокстера (йг, 5) и нумерация ансамбля ! приспособлены к (1, Я) (з 1 УпРажнение 24, л)) н что мно- жество;1 допустимых изомоРфизмав апаРтамента А на различные эле- менты в 21 совпадает с множеством фз для л оц 6 13) Вернемся к обозначениям упражнении 24 нз й 1: (1,л) — простран- ственный структурный ансамбль, снабженный системой Кокстера ()р, 5) и приспособленной нумерацией; ,) — множество допустимых изомор- физмов апартамента Ам ассоциированного с ()р, 5), на различные апартаменты ансамбля (1, 2(). Пусть, кроме тога, 6 — группа допустимых автоморфизмов ансамбля 1, сохраняющих Е. Группа 6 действует тогда на Ь и мы предположим, что она действует там граиэитизла. Пусть, наконец, С вЂ” камера в 1. А — апартамент в 2(, содержащий С, допустимый изоморфизм Ао из А, переводящий каноиическу~о камеру С„ апартамента Ао в С,  — стабилизатор камеры С в 0 и М вЂ” ста- билизатор апартамента А в О.
Ф а) Показать, чта если А' и А' — два апартамента из ой, содержащиа одну и ту же камеру, то существует й щ О, для которого й(А) А" эпплжншгмя и й(а) = а при всех а гм А'ПА". Показатгь что Гг транзнтивно действует яа множество пар (А. С), где Л щ 2( н С вЂ” камера в А. б) Показать, что отображение и г — ф-' и ф есть сюръектииный гомоморфизм В нэ йг с ялром ВПйг. Отождествить аатем дг1(В() г!Г) и йг. в) Показагь, что условия (Ф! !) и (угг( 2) упражнения 10, г) выполнены (использовать следующий факт: если апартамент в 1 содержит две камеры С' и С", то он солержит и всю минимальную галерею с концами С', С" (й 1, упражнение 24, б))). г) Показать, что условие (О) упражнения 1О, е] (а тем самым н н условие (Оч) упражнения ! 1) выполнены. (В обозначениях условна (О) рассмотреть апартамент Л' (соотв.
А") в 1, содержащий Сэ и Г' (соотв. С"). Используя упражнение 24, б) из й 1, показать, что Г ~: А' П А", и применить а).) д) Показать, что (6, В, М, 5) — система Титса и что (1, Я) канонически изоморфен ассоциированному с яей пронумерованному структурному ансамблю (упра кнение 12). 14) Пусть (6, В, М.
5) — система Титса„(1, Й) — ассоциированный с ней пронумерованный структурный ансамбль (упражнение 12). Показать, что 6, рассматринаемая как группа автоморфизмов ансамбля 1, удовлетворяет условияи упражнения !3. В обозначениях упра кнения 12 положим Л = кг(А,) и С = ~ге(Сг). Показать. что  — стабилизатор камеры С в 6. Пусть М вЂ” стабилизатор Л в 6. Показать, что Ж1(ВПМ) отождествляется с йг и что (6. В, М, 5) — насыщенная система Титса, ассоцяированная с (6, В, М, 5) (упражнение 3). !б) Вернемся к условиям и обозначениям упражнения 10. Предположим дополнительно, что группа Вейля йу пары (6, В) коиечиа, и обозначим через цэ элемент макспмальной длины в йг (й 1, упражнение 22).
Говорят, что две камеры С и С' противоположны, если ((С, С') = шч, а) Показать, что если С и С' противоположны, то камеры С' и С также противоположны. Показать, что любая камера С имеет противоположную камеру. Показать, что стабичизатор камеры С в 6 действует транзитивно иа множестве камер, противоположных С. б) Пусть С и С' — две противоположные камеры. Показать, что для любого ш еэ Уг' существует, и притом единствеинаи, камера См, обладающая следующим свойствам: если (зг, ..., зэ) (соотв. (з~г, ..., з~э)) — приведенное разложение элемента ы (соотв, а'= щэш-'), то существует ми.
иимальная галерея (Со = С, С!... С„= С') типа (з!, ..., зь, з(,..., з'„) (где и =А+ й), такая, что См = Сэ (использовать упражнение 22 из й ! н упражнение 10, г) и д)). Показать, что См и С, противоположны. в) Пусть йй — множество пар противоположных камер. Пря щ =(С, С')гмйй обозначим через Аж объединение камер См, построенных выше. Показать, что 1, снабженное множествам Я всех Аж для т чж И, есть структурный ансамбль (й 1, упражнение 24) п что система Кокстера (йу, 5) н нумерация ансамбля 1 приспособлены к (1, 2(). Определить каноническую биекцию % на множество, обозначаемое в упражнении24 к й1 символом ~.
Отождествить эти два множества. г) Пусть щ=(С, С') щйй с С = Се, н пусть Дг — стабилизатор А,„ в 6. Показать, что Я1(ВДйг) отождествляется с йу н что (6, В, 1эг, 5) является насыщенной системой Титов (воспользоваться упражиеияем 13), !б) Сохраним предположения и обозначении упражнения 13. а) Пусть С и С' — две камеры. Показать, что существует камера С", пРотивоположная как С, так н С'. (Взять С", противоположную С н такую, чтобы элемеит 1(С', С") имел наибольшую возможную длину.
Если з(С', С") =,ь ше, то существует камера С„смежная с С" н такая, что 64 гд !Ч ГРУППЫ КОКСТПРА И СИСТИЛЗЫ ТИТСА 4 з ! (! (С', С~)) ) ! (! (С'. С")). Используя условие (О) упражнения ! О, показать, что можно предполагать С, з» А! ! и что тогда С, будет противоположна к С.) б) Пусть А зы Й. Показать, что существует однозначно определенный ннволютнвный автоморфизм (ие обязательно допустимый) 1, который и' переводит каждую камеру из А а противоположную камеру (использовать упражнение 22, в) к й !). Пусть Р н Р' — две ячейки в Е Показать, что если Р'=1„(Р) для некоторого А змзЛ, содержащего Р и Р', то то же самое верно и для каждого А зм 2(, содержащего Р и Р'.
(Если Р Р'ы А ПА' и А, А'зж з)(, рассмотреть качеру С (соотв. С') в А (соотв. А'), содержащую Р (соотв. Р'); рассмотреть А" зы х(, содержащий С и С' и использовать условие (СД 3).) Мы скажем тогда, что ячейки Р н Р' противоположны. Показать, что для того чтобы две ячейки имейи общую противоположную, необходимо н достаточно, чтобы они были одного и того же типа Т, и что ячейка, противоположная к ячейке типа Т, есть яченка типа ыоТыо в) Пусть Аз — апартамент, ассоциированный с системой Кокстера (%', 3) (й 1, упражнение !6), и пусть ~ — множество допустимых изоморфнамов апартамента Ач на различные элементы в Я.
Если а — какаято половина Ач, определенная стенкой Е (й 1, упражнение !6), и если ф ~;з, то мы скажем, зто ф(а) — лолуоларгаменг ансамбля 1 со стенкой ф(Е). Показать, что ф (Ц зависит только от ф (а), ио яе от пары (ф, а). Пусть О, я Оз — два различных полуанартамента с однззй и той же стенкой Е, Показать, что существуют фси„! н стенка Еэ в Аэ, такие, что Е - ф (Еэ), а 0; будут образами относительно ф двух половин апартамента Аз, определенных стенкой Еь (Выбрать перегородку Р, лежащую в Е, и две камеры С, и Сз.
одна из которых лежит в Оь а другая— в Оз, такие, что С, содержит Р, а Сз — перегородку, противоположную к Р в О, (которая также противоположна Р в 00; рассмотреть апартамент в 7, содержащий С, и Сз.) 17) Сохраним условия и обозначения упражнений !6 и !6.
Выберем элемент ф зж,'), переводящий каноническую камеру С апартамента Аз (й 1, упражнение !6) в каноническую камеру Сэ ансамбля Е и обозначим через М, как в упражнении !6, г), стабилизатор апартамента ф(А,) зыз)( в группе О. Для любого подмножества 0 апартамента Ач обозначим через Вр подгруппу в О, оставляющую неподвижными все точки нз ф (О), Имеем В=В. и В()й!=В а) Пусть и — половина апартамента Аь содержащая С.
Показать, что В» действует транзитивно на полуапартаментах ансамбля Е имеющих в качестве стенки стенку Е в ф(п) и отличных от ф(а). (Пусть Х— такой полуапартамент, Р— перегородка, содержащаяся в Е, н С'— камера в ф(а), содержащая Р. Йспользуя упражнение 16, в) и упражнение 13, а), показать, что ! существует элемент я ы 6, дли иоторого д(Х0ф(а)) ф(А») н и(С') С', Показатзь что п(Р)=Р, и нз упражнения 22, в) к й ! вывести, что д ~ В».) Получить отсюда, что ВЕ действует дважды транзитивно на полуапартаментах со стенкой Е н что (В , В , ВАП !У) является системой Титов с группой Вейля порядка 2 (см.
упражнение 7). б) Пусть О, н О, — два выпуклых подмножества в А„таких, что С с О, с Оь причем существует однозначно определенная половина а в Аэ, для которой О, з= а и Оз <ь а. Тогда О, =ОЛП а (й 1, упражнение 21, в)). Показать, что В = В В и В П В = В ПМ. (Рассмотрев галерею минимальной возможной длины с одним концом в С, а другим, содержащим точку аз:-Оз — Оь показать, что существуют две смежные УПРАЖНЕНИЯ г г l г камеРы С, и Сз в Ао, такие, что С, ~ ВР Сз1= Ож СхУ.О! и С1() Сз содержится встеике/.' половины а. Положим С/ ф(С1), Е2 ф(С/ПОР) Г и С = ф (/.').
Показать, что выпуклая оболочка множества О! () С равна Вз. ПустьЬ км В РТогдаЬ(С )=СР откуда Ь(Е) Е и Ь(Сэ)чьС,. Получить отсюда, что выпуклая оболочка множества Ь(С,)О/. явлиется полуапартаментом Х со стенкой /., отличным от ф(а), и что существует элемент Ь'ш Во, дли которого Ь' (ф (Ао)) = Х () 1р (а). Показать, что Ь Ь (а) а для всех а щ д(//1() Сз) и что Ь Ь щ Впк) в) Пусть (а!) — половины апартамента А, содержащие С и ' 1(1(е пронумерованные таким образом, что отображение /! ~ П а/ 1<1<! является строго убывающим (э 1, упражнение !7). Показать, что В= г г г = В ... В и что если Ь1, Ь/ и , причем Ь, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
